對一類數(shù)列問題的思考

譚芳芳 李三平

摘 要 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，等差數(shù)列的通項與等差數(shù)列各項和的有關(guān)問題是考查的重點之一， 從多角度加以分析作答有利于培養(yǎng)發(fā)散思維能力、分析問題和解決問題的能力。本文將通過一個例子對其中的一類問題進行分析討論。

關(guān)鍵詞 數(shù)列 等差數(shù)列 高中數(shù)學(xué)

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A

Reflections on the Problems of Number of Columns

TAN Fangfang， LI Sanping

（Shaanxi Normal University， Xi'an， Shaanxi 710100）

Abstract The number of columns is one of the important contents of high school mathematics， general term arithmetic sequence with the number of columns and related issues is one of the key test， the answer to be analyzed from many angles help develop divergent thinking skills， analytical and problem-solving capabilities. This article will use an example of a class of problems to analyze and discuss.

Key words arithmetic sequence； number of columns； high school mathematics

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想也是密不可分。等差數(shù)列是對數(shù)列知識的進一步深入和拓廣，等差數(shù)列的通項與等差數(shù)列各項和的有關(guān)問題是考查的重點之一， 從多角度加以分析作答有利于培養(yǎng)發(fā)散思維能力、分析問題和解決問題的能力。下面將通過一個例子對其中的一類問題進行分析討論。

例 已知等差數(shù)列{}，{}的前項和分別為和， 若對一切正整數(shù)均有 = （，，，均為常數(shù)且滿足≠0）， 求的值。

分析1：當?shù)炔顢?shù)列的公差非零時，由等差數(shù)列的函數(shù)思想知：，是關(guān)于的一次函數(shù)，因而可設(shè)出它們的形式。隨之作為已知條件來求，為任何正整數(shù)時的值。

解法1：數(shù)列{}，{}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)可知：，均為的一次函數(shù)。由 = ， 故令 = （）， = （）。

則的前項和

= = = ，

的前項和

= = = 。

故 = = 。

點評1：從等差數(shù)列的函數(shù)思想出發(fā)，結(jié)合已知條件，設(shè)出兩個數(shù)列的通項公式，進而作為已知條件進行解題。此類方法看著有些繁瑣，但此法具有普遍性和實用性，能夠解決，為任何正整數(shù)時的值。

分析2：假設(shè) = {}， 故 = ， 由已知條件 = ， 分別求，， …，， …，的值，再使用分數(shù)的性質(zhì)設(shè)出數(shù)列的每一項進行解題。 此法亦適用于為任何正整數(shù)時的情形。

解法2：由 = ，分別取值1，2，…，，…，得出，

= ，= ， …，

= ， …， = 。

令，分別是數(shù)列，的某一項，故可令 = （）， = （）。

因為{}，{}是等差數(shù)列，滿足 = ， = 。

所以

= （2）， = （2），…， = （）， = （）， …， = （）， = （）。

=

=

= =

點評2：此題是利用數(shù)列的基本量來解決，

即 = ，進而與已知條件 = 聯(lián)系起來，通過分數(shù)的性質(zhì)求解了該題。此法亦具有普遍性，能夠解決，為任何正整數(shù)時的值。

分析3：已知 = ， 而等差數(shù)列的前項和公式是 = ， 又結(jié)合等差數(shù)列的中項性質(zhì) + = 2 （ + = 2）。這樣便可求解，均為奇數(shù)（令 = 2， = 2）時。

解法3：由等差數(shù)列的性質(zhì)知： + = 。

= = 。

因為 = ， 所以 = 。

于是 = 。

點評3：此法很簡便，利用等差數(shù)列的中項性質(zhì) + = （ + = 2）使得問題變得容易。但它具有局限性，只適用于求解（，均為奇數(shù)）的問題。

求解等差數(shù)列通項與其各項和的問題需要靈活運用它的性質(zhì)， 通項公式及求和公式。 從多角度用不同方法對這類問題求解， 可以有效地將相關(guān)知識融合為一個整體， 使得知識系統(tǒng)化， 便于對知識的靈活運用。

參考文獻

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