關(guān)于不定積分的一個(gè)應(yīng)用

吳麗華

【摘 要】本文借助不定積分的定義與計(jì)算，從另外一個(gè)角度給出了一些三角及反三角恒等式的證明。

【關(guān)鍵詞】不定積分 三角恒等式 反三角恒等式

不定積分是《高等數(shù)學(xué)》、《微積分》等課程中微積分學(xué)的基本內(nèi)容之一，讓學(xué)生理解和掌握不定積分的概念及其計(jì)算是教學(xué)的重點(diǎn)。教材中介紹了一系列的計(jì)算不定積分的方法，如湊微分、換元法、分部積分法等等。學(xué)生在實(shí)際計(jì)算時(shí)，往往會(huì)采用不同的方法來(lái)處理，這有可能會(huì)得到不同形式的結(jié)果，此時(shí)學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)，不知道到底哪種結(jié)果是對(duì)的？事實(shí)上，只要方法得當(dāng)，計(jì)算無(wú)誤，不定積分的結(jié)果在表示形式上不同是存在的。其實(shí)，學(xué)生只要抓住不定積分的定義及同一函數(shù)的任兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)，明白不同的方法導(dǎo)致的不同結(jié)果本質(zhì)上是暗示了某些恒等式的存在，這就不難理解了。

本文將針對(duì)幾個(gè)具體的不定積分，采用不同的方法，從中得到一些常見(jiàn)的三角，尤其是反三角恒等式。

一、不定積分

定義1：若定義在區(qū)間上的函數(shù)及可導(dǎo)函數(shù)滿足下列關(guān)系：對(duì)任一都有

或

則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。

定理1：（1）如果一個(gè)函數(shù)有一個(gè)原函數(shù)，那么就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù)；

（2）如果

且

則 （為某個(gè)常數(shù)），

即的任兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)。

證明：（1）若，則對(duì)任意常數(shù)有

上式說(shuō)明，若是的一個(gè)原函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù)，都是的原函數(shù)。

（2）由， 可得

，

于是

（某個(gè)為常數(shù)），

即

（為某個(gè)常數(shù)）.

定義2：在區(qū)間上的，函數(shù)的全體原函數(shù)，稱為在區(qū)間上的不定積分，記作。

由定義2知，若，則。再由定理1易得如下結(jié)論。

定理2：若

且

則，某個(gè)為常數(shù)。

證明：由 及可知

，

于是由定理1的第二個(gè)結(jié)論即得所證。

二、三角恒等式

下面通過(guò)幾個(gè)具體的例子，結(jié)合不定積分的相關(guān)結(jié)論，證明一些三角恒等式。

例1：證明（1）；

（2）

證明： （1）

（2）

（3）

聯(lián)立（1）（2）（3）式，由定理2得

（4）

在（4）式中令得

將代入（4）式即得所證。

例2：證明

證明：

由定理2有

在上式中令得于是等式得證。

例3：證明當(dāng)時(shí)，

（1）；

（2）；

（3）。

證明：當(dāng)時(shí)，

由定理2知

上式中均令得

于是當(dāng)時(shí)，（1）（2）（3）式得證。又當(dāng)時(shí)，等式顯然成立。故結(jié)論得證。

注：類似可證

例4：證明（1）

（2）；

（3）；

（4）。

證明：

于是有

（5）

（6）

在（5）（6）式中分別令和，

得，，，

綜上等式成立。

注：類似可證

結(jié)束語(yǔ)：一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于常見(jiàn)的三角恒等式，學(xué)生都能記得住，但是對(duì)簡(jiǎn)單的反三角恒等式卻記不住。文中通過(guò)簡(jiǎn)單的不定積分的計(jì)算，推導(dǎo)出一些三角和反三角恒等式，幫助學(xué)生加深對(duì)三角，特別是反三角恒等式的理解和記憶。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分.北京：高等教育出版社，2009.