關(guān)于實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的一些注記

蘇先鋒，秦喜梅，李曉萌

（1.淮北師范大學(xué) 信息學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.巢湖學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 合肥 238000）

實(shí)變函數(shù)課程是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科教學(xué)教育階段最重要的專(zhuān)業(yè)必修課程之一，是數(shù)學(xué)分析的后繼課程［1-4］，也是學(xué)生學(xué)習(xí)泛函分析、概率論與隨機(jī)過(guò)程、分形幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)中起到承上啟下的橋梁作用.同時(shí)，實(shí)變函數(shù)以邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，定理及概念的抽象性，證明過(guò)程的復(fù)雜性及證明中要使用大量的構(gòu)造，使得實(shí)變函數(shù)的名聲不佳，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候常會(huì)感到困難和困惑，學(xué)習(xí)的興趣也隨著課程學(xué)習(xí)的深入而消失殆盡，最后成為深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的障礙.很多教師就實(shí)變函數(shù)的教學(xué)做了大量有益的研究，如杜波［5］討論構(gòu)造性方法在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，姜建功［6］和倪仁興［7］探討實(shí)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析課程的密切關(guān)系，陳亮［8］研究實(shí)變函數(shù)教學(xué)對(duì)學(xué)生科研能力有著積極的作用，劉鑫［9］討論反例在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用.本文結(jié)合在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的體會(huì)，旨在如何提高課堂的教學(xué)效果和學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與信心等方面做一些探討.

1 教學(xué)中對(duì)相關(guān)內(nèi)容做適當(dāng)?shù)耐卣?/h2>

在教學(xué)中，首先出現(xiàn)實(shí)變函數(shù)與其他課程割裂，課堂上很少提及與其他課程的聯(lián)系.其次，與現(xiàn)實(shí)生活脫節(jié)，似乎實(shí)變函數(shù)這門(mén)課程與生活無(wú)關(guān)，看不見(jiàn)摸不著，是純理性思維的結(jié)晶.實(shí)變函數(shù)的部分概念和結(jié)果貌似都違背人們的認(rèn)知，像是“帽子里跑出了一只兔子”［4］..因此，與其他課程建立聯(lián)系是有必要的，不僅能使學(xué)生體會(huì)到實(shí)變函數(shù)這門(mén)課程的重要性，感受其與生活密切相關(guān)，也展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力.

如學(xué)習(xí)Lebesgue測(cè)度后，課堂上可以繼續(xù)介紹概率測(cè)度，建立實(shí)變函數(shù)與概率論的關(guān)系，為概率論的學(xué)習(xí)提供理論支持，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，感受到學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的重要性，從思想上重視該課程.同時(shí)，對(duì)教師也提出更高的要求，講授實(shí)變函數(shù)課程必須充分掌握概率論的本質(zhì)，從而建立起兩門(mén)課程的聯(lián)系.

文［4］中介紹Cantor 三分集的精細(xì)機(jī)構(gòu)和特殊性質(zhì)及分形幾何的一些知識(shí)，如科赫曲線，謝爾賓夫斯基地毯等分形機(jī)構(gòu)，在課堂上和學(xué)生分析魔方的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)建一個(gè)分形結(jié)構(gòu).即將單位變長(zhǎng)的魔方進(jìn)行構(gòu)造，魔方有27塊小立方體，去掉中間小立方體，再繼續(xù)將剩下26塊小立方體看成新的魔方，去掉中間小立方體，如此一直下去，最終我們得到了一個(gè)分形結(jié)構(gòu)，我們稱之為“魔方分形”.可以與學(xué)生一起討論魔方分形結(jié)構(gòu)的Hausdorff 維數(shù)，體積，面積及其與Cantor 三分集之間的關(guān)系.介紹分形幾何時(shí)，利用多媒體播放《Hunting the Hidden Dimension》短片，介紹了分形幾何的產(chǎn)生及其在服裝設(shè)計(jì)、手機(jī)制造、電影特效、氣候研究、醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在生活中無(wú)處不在，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂的教學(xué)效果.

2 教學(xué)中興趣點(diǎn)的構(gòu)建

教學(xué)中興趣點(diǎn)的構(gòu)建與合理利用，有利于教學(xué)效果和學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的提高.在教學(xué)中如何構(gòu)建好興趣點(diǎn)顯得尤為重要，興趣點(diǎn)要求通俗易懂，最起碼對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生應(yīng)該沒(méi)有障礙.興趣點(diǎn)有以下幾個(gè)方面的作用.（1）可以活躍課堂氣氛；（2）可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考；（3）對(duì)概念和結(jié)論的理解更加透徹；（4）增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與信心，提高教學(xué)效果.興趣點(diǎn)可從數(shù)學(xué)故事，數(shù)形結(jié)合，反例，類(lèi)比法等方面來(lái)構(gòu)建.

2.1 興趣點(diǎn)之?dāng)?shù)學(xué)故事

實(shí)變函數(shù)中可以尋找或構(gòu)建一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)故事說(shuō)明問(wèn)題.常見(jiàn)的有“住店問(wèn)題”，“還錢(qián)問(wèn)題”，“鄉(xiāng)村理發(fā)師問(wèn)題”等數(shù)學(xué)故事.如”住店問(wèn)題”，有個(gè)旅館有可數(shù)間房間，已經(jīng)住滿了旅客，現(xiàn)在又來(lái)一名旅客需要住店，該如何安排？這個(gè)例子學(xué)生可以深刻體會(huì)可數(shù)集與有限集的區(qū)別.如“還錢(qián)問(wèn)題”，介紹Lebesgue積分與Riemann積分的區(qū)別，Lebesgue自己曾經(jīng)給出了類(lèi)似的比喻，如要還別人的錢(qián)，從口袋里掏出來(lái)不同面值的鈔票，一種方法即是一張張鈔票按面值加起來(lái)得出錢(qián)數(shù)，另一種方法就是把相同面值的鈔票數(shù)出來(lái)，然后把不同面值的總額度加起來(lái)得出錢(qián)數(shù).前者為Riemann積分思想，后者為L(zhǎng)ebesgue積分思想.

2.2 興趣點(diǎn)之?dāng)?shù)形結(jié)合

實(shí)變函數(shù)教學(xué)中，可以借助圖形圖像證明結(jié)論、說(shuō)明概念，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，概念理解深刻化.如在集合論中，利用維恩圖說(shuō)明集合的運(yùn)算關(guān)系，通過(guò)圖像來(lái)證明集合對(duì)等.在證明兩個(gè)可測(cè)集的并集是可測(cè)集，驗(yàn)證卡氏條件時(shí)，文獻(xiàn)［1］中利用維恩圖來(lái)輔助證明，給學(xué)生直觀的認(rèn)識(shí)，降低證明的難度.階梯函數(shù)為簡(jiǎn)單函數(shù)，可以說(shuō)明Riemann積分與Lebesgue積分的區(qū)別.

例如：

f(x)為簡(jiǎn)單函數(shù)，圖像如圖1.

圖1 f(x)函數(shù)圖像

則

此例實(shí)質(zhì)上與Lebesgu“e還錢(qián)問(wèn)題”有相似的效果.

2.3 興趣點(diǎn)之反例

反例在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用，可以達(dá)到舉一反三的效果.反例可以對(duì)似是而非的問(wèn)題給以否定的回答，說(shuō)明結(jié)論的條件不可或缺.很多文獻(xiàn)中都舉出很多反例來(lái)說(shuō)明問(wèn)題和結(jié)論.如簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)，簡(jiǎn)單函數(shù)似乎Riemann可積的.事實(shí)上，我們知道狄利克雷函數(shù)是簡(jiǎn)單函數(shù)，但是狄利克雷函數(shù)Riemann不可積的，所以簡(jiǎn)單函數(shù)也未必Riemann可積.葉果羅夫定理中的條件，文［4］給出反例說(shuō)明定理的條件是不可或缺.可以通過(guò)簡(jiǎn)單的反例來(lái)說(shuō)明概念的本質(zhì).反例是實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)之一，有利于學(xué)生對(duì)概念或結(jié)論有深刻的認(rèn)識(shí)，提高教學(xué)效果.

2.4 興趣點(diǎn)之類(lèi)比教學(xué)法

類(lèi)比教學(xué)法是教學(xué)中最常用的教學(xué)方法之一，特別在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中最為特別，因?yàn)閷?shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，實(shí)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析有著深厚的關(guān)系.實(shí)變函數(shù)的研究就是因?yàn)镽iemann積分存在著一些缺陷而興起的.如狄利克雷函數(shù)Riemann不可積，極限與積分交換次序條件要求嚴(yán)格等.在實(shí)變函數(shù)中，這些問(wèn)題都得到解決或條件得以放寬.與數(shù)學(xué)分析進(jìn)行類(lèi)比，可以達(dá)到溫故而知新的效果.與數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容進(jìn)行比較，不僅能降低課程難度，讓學(xué)生有學(xué)習(xí)的成就感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)信心.

興趣點(diǎn)可以從很多方面去構(gòu)建和發(fā)現(xiàn)，如實(shí)變函數(shù)的一些特別的條件語(yǔ)言描述，形象地說(shuō)明Lebe?sgue積分優(yōu)于Riemann積分.思考題同樣可以很好的利用，如我們學(xué)習(xí)Cantor三分集的結(jié)構(gòu)，可以讓學(xué)生思考構(gòu)建類(lèi)似三分集的五分集，即單位長(zhǎng)度的五等分，去掉第二段和第四段，剩下三段繼續(xù)五等分，再去掉其中第二和第四部分，如此下去.得到相關(guān)的性質(zhì).課堂上，經(jīng)常設(shè)置一些思考題，讓學(xué)生通過(guò)一定努力就可以解決的問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力.

3 結(jié)語(yǔ)

在教學(xué)中需要我們不斷的總結(jié)，講授一些與其他課程或生活的聯(lián)系和構(gòu)造一些興趣點(diǎn)，可以提高教學(xué)效果，改變實(shí)變函數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀.同時(shí)，幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)課程興趣與信心，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).

［1］周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2001.

［2］胡適耕.實(shí)變函數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［3］夏道行.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析［M］.2版.北京：高等教育出版社，1995.

［4］程其襄.實(shí)變函數(shù)與泛函分析［M］.3版.北京：高等教育出版社，2010.

［5］杜波.構(gòu)造性方法在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（4）：89-90.

［6］姜建功.Lebesgue積分在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用［J］.孝感學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，30（6）：18-20.

［7］倪仁興.淺議實(shí)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析間的關(guān)系［J］.紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，21（3）：93-97.

［8］陳亮，許紹元.在實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生科研能力的體會(huì)［J］.淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，24（2）：53-55.

［9］劉鑫.反例在實(shí)變函數(shù)中應(yīng)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2009，12（4）：117-123.