基于熵度量風(fēng)險(xiǎn)的投資組合優(yōu)化模型
——來(lái)自深證100的數(shù)據(jù)分析

鄭 勇，劉 超（．山東財(cái)經(jīng)大學(xué)財(cái)務(wù)處，山東濟(jì)南 5004；．山東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，山東濟(jì)南 5004）

基于熵度量風(fēng)險(xiǎn)的投資組合優(yōu)化模型
——來(lái)自深證100的數(shù)據(jù)分析

鄭 勇1，劉 超2
（1．山東財(cái)經(jīng)大學(xué)財(cái)務(wù)處，山東濟(jì)南 250014；2．山東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，山東濟(jì)南 250014）

在馬科維茨的均值—方差模型的基礎(chǔ)上，將熵理論引入投資組合模型中，建立基于熵度量風(fēng)險(xiǎn)的均值—熵模型，并選取深證100中的10只股票進(jìn)行實(shí)證研究，比較了所選股票的方差與初始熵值，驗(yàn)證了新模型建立的可行性以及必要性。通過(guò)matlab計(jì)算兩種模型的投資方案得出：均值—熵模型較均值—方差模型在實(shí)際應(yīng)用中更具有實(shí)用性，在同樣收益率水平下能夠?yàn)橥顿Y者提供具有較少證券數(shù)量的投資方案。這不僅節(jié)約了過(guò)度分散化給投資者帶來(lái)的交易費(fèi)用和管理費(fèi)用，而且節(jié)省了信息資源，增強(qiáng)了投資者的信息處理能力。

熵；風(fēng)險(xiǎn)；投資組合；均值—方差模型

一、引 言

在經(jīng)濟(jì)全球化和金融一體化的影響下，我國(guó)金融市場(chǎng)也得到了快速的發(fā)展。但是資本市場(chǎng)存在如上市公司質(zhì)量不高、財(cái)務(wù)信息造假、監(jiān)管不嚴(yán)、行政化嚴(yán)重等問(wèn)題［1］，導(dǎo)致其在金融結(jié)構(gòu)、市場(chǎng)機(jī)制、市場(chǎng)深度、市場(chǎng)文化方面距離成熟的資本市場(chǎng)還有一定的差距，市場(chǎng)波動(dòng)性較大，因而證券投資的風(fēng)險(xiǎn)管理問(wèn)題就比較突出，而建立科學(xué)有效的風(fēng)險(xiǎn)度量方法是進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理的基礎(chǔ)。馬科維茨的均值—方差模型的提出是金融風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)入量化時(shí)代的標(biāo)志，但是該模型假設(shè)條件過(guò)于苛刻，其實(shí)際應(yīng)用受到很多學(xué)者的質(zhì)疑，之后又有學(xué)者提出其他方法，到目前為止有半方差度量法［2］、VAR度量方法［3］、ARCH度量方法［4］、β系數(shù)度量方法［5］等。但是這些風(fēng)險(xiǎn)度量方法都存在一定程度的缺陷，如半方差只說(shuō)明收益率的偏離方向，沒(méi)有反映證券組合的損失到底有多大［6］；而VAR度量方法是在假設(shè)收益服從正態(tài)分布的條件上成立的［7］。實(shí)際中證券的收益率是不服從正態(tài)分布的，有必要尋找一種廣泛有效的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。從內(nèi)涵上來(lái)看，熵是不確定性的體現(xiàn)，并且在度量過(guò)程中無(wú)需對(duì)分布做任何假設(shè)，因此本文提出將熵理論引入投資組合模型中，來(lái)尋求更加實(shí)用的組合選擇工具。

許國(guó)志、李鳳章［8］將熵與決策行動(dòng)的不確定性和風(fēng)險(xiǎn)相聯(lián)系并用于決策分析中。顧昌耀、邱苑華［9］提出將熵引入到貝葉斯決策中，改進(jìn)和完善已有信息價(jià)值度量，豐富和發(fā)展了貝葉斯決策理論。在理論引入基礎(chǔ)上，很多學(xué)者建立了自己的模型。主要有兩種方法，一種方法是計(jì)算每只股票的熵來(lái)代表每只股票的風(fēng)險(xiǎn)，并對(duì)股票風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行排序，篩選出適當(dāng)數(shù)量的股票進(jìn)行組合，但是這種方法并沒(méi)有給出最終的投資方案。姜丹、錢玉美［10］建立效用風(fēng)險(xiǎn)熵模型，考慮了隨機(jī)事件客觀狀態(tài)的不確定性和結(jié)果價(jià)值兩方面的因素，并且說(shuō)明了用熵衡量風(fēng)險(xiǎn)的合理性。楊繼平［11］通過(guò)期望—效用決策模型對(duì)股票進(jìn)行篩選排序，并與二階隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則做了比較，得出期望—效用決策模型更具有實(shí)用性的結(jié)論，但是該模型計(jì)算量巨大并且未考慮投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。袁博［12］建立最單純的熵模型，并引入調(diào)節(jié)因子來(lái)度量股票投資風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)原上證50的50只股票進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)排序，篩選出20只目標(biāo)股票。實(shí)證研究得出，熵模型在度量股票投資風(fēng)險(xiǎn)具有高效、便捷、實(shí)用性。另外一種方法是根據(jù)熵的定義，直接給出投資組合的熵值表達(dá)式，確定投資方案，但是這種方法沒(méi)有考慮個(gè)股風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于投資方案的影響。李華［13］利用熵的最大熵原理改變組合投資的目標(biāo)函數(shù)建立了模型。李江濤［14］結(jié)合我國(guó)實(shí)際情況，考慮交易費(fèi)用、限制約束、最小交易單位以及限制賣空等幾個(gè)條件，構(gòu)建了均值—熵模型，該模型與我國(guó)真實(shí)股票市場(chǎng)相接近，與實(shí)際更相符，但是沒(méi)有通過(guò)具體數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究。

綜上，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于熵理論對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)的度量和管理的研究還處于起步階段，在建立模型時(shí)單獨(dú)使用個(gè)股熵值排序篩選法和計(jì)算組合熵值確定投資方案這兩種方法，所以各模型都有不可避免的弊端，因此將這兩種方法結(jié)合起來(lái)，用投資比例加權(quán)個(gè)股的熵值來(lái)表示系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)是一種新的研究思路和方法。

二、均值—熵模型概述

用熵來(lái)度量投資風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)收益率的概率分布沒(méi)有要求。在實(shí)際的證券市場(chǎng)中，各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的分布并不是確定的，投資者只關(guān)心的是實(shí)際收益率小于期望收益率時(shí)所面臨的風(fēng)險(xiǎn)，因此用熵度量投資風(fēng)險(xiǎn)在實(shí)際應(yīng)用中更具有實(shí)用性和價(jià)值意義。從熵的定義來(lái)看，熵描述的是一個(gè)系統(tǒng)的無(wú)序程度，而信息熵是將系統(tǒng)的無(wú)序程度與信息量有效結(jié)合，信息熵的數(shù)值越大，表明該值包涵的樣本的信息量越大，樣本的不確定性程度就越小。風(fēng)險(xiǎn)本質(zhì)上看是表現(xiàn)投資者收益率的不確定程度。選擇用信息熵來(lái)度量投資風(fēng)險(xiǎn)具有更加完善的理論基礎(chǔ)。熵表現(xiàn)的是收益率概率分布的多階矩特征，能涵括更多關(guān)于分布的信息，相比只能反映分布二階矩特征的方差，能更加準(zhǔn)確地衡量投資者面臨的全部風(fēng)險(xiǎn)。用熵衡量投資風(fēng)險(xiǎn)更符合客觀現(xiàn)實(shí)，誤差更小。根據(jù)熵的定義及其性質(zhì)可知，用熵函數(shù)度量投資風(fēng)險(xiǎn)與投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)度量的理解是相一致的，基于熵測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)排序，相比用方差度量更具有合理性。

根據(jù)信息熵的定義可知，單個(gè)證券的熵值可用H（X）＝piln pi求出，可將此公式定義為證券的初始熵值，但是根據(jù)信息熵的性質(zhì)可知，由于各證券的收益率不是相互獨(dú)立的，因此不具有可加性。常用的辦法是將證券的熵分解成受市場(chǎng)影響的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)熵和非系統(tǒng)熵。王博［17］提出用β系數(shù)加權(quán)的市場(chǎng)收益率的熵和殘差項(xiàng)的熵的和來(lái)表示單個(gè)證券的熵，具體表示為H（S）＝βH（rm）＋H（εi），但是該模型假設(shè)殘差項(xiàng)和市場(chǎng)收益率是不相關(guān)的，而在現(xiàn)實(shí)生活中，殘差項(xiàng)和市場(chǎng)收益率是有一定關(guān)系的。所以在此基礎(chǔ)上，引入條件熵對(duì)此模型進(jìn)行改進(jìn)。所有單個(gè)證券的收益率對(duì)市場(chǎng)收益率的條件熵都是獨(dú)立的，這樣單個(gè)證券的熵就能相加。單個(gè)證券的熵值公式表示為：

由以上定義可以看出，H（S）反映的是某資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)程度，H（S）的值的大小與其風(fēng)險(xiǎn)程度是正相關(guān)的。

基于以上單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)度量公式，可定義投資組合的熵值公式：

設(shè)投資者投資于n種證券，第i（i＝1、2…．n）種證券的投資比例為n）。則n種證券的組合投資風(fēng)險(xiǎn)為：

理性的投資者總是希望在一定的收益下，投資風(fēng)險(xiǎn)盡可能的小。從這方面看還需加入一個(gè)約束條件使得證券投資組合的期望收益率大于等于某一給定的值，得到的均值—熵模型為：

三、均值—熵模型的實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)選擇

由于投資資本的有限性，投資者在選取投資組合時(shí)既要兼顧分散風(fēng)險(xiǎn)又要考慮自身資本承受能力，因此投資組合中的股票數(shù)量不宜過(guò)多。由根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)分散和投資組合原理以及對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的調(diào)查研究得出的經(jīng)驗(yàn)法則［12］可知，當(dāng)投資組合中的股票數(shù)量超過(guò)12只時(shí)，組合對(duì)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的分散作用開(kāi)始減弱。因此，在研究過(guò)程中可以選擇10只股票，此時(shí)組合對(duì)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的分散作用較大。

從深證100中涉及金融、能源、交通、地產(chǎn)等行業(yè)中選取成長(zhǎng)性好、業(yè)績(jī)高、收益率穩(wěn)定的10只股票進(jìn)行研究［15］。所選股票見(jiàn)表1。

為了保證數(shù)據(jù)序列的平穩(wěn)性，選擇使用股票的對(duì)數(shù)收益率來(lái)研究。為了保證模型的時(shí)效性，選取2012年7月1日至2013年7月1日的日收益率來(lái)研究。

表1 選取股票名稱及代碼

（二）數(shù)據(jù)處理

我們可以根據(jù)這10只股票從2012年7月1日至2013年7月1日的收盤價(jià)數(shù)據(jù)分析來(lái)推斷其未來(lái)的收益趨勢(shì)，股票的對(duì)數(shù)收益率定義為：

公式中，rit表示第i只股票在第t個(gè)交易日的對(duì)數(shù)收益率，pit，pit－1表示第i只股票在第t－1，t個(gè)交易日的收盤價(jià)。在進(jìn)行計(jì)算之前，通過(guò)計(jì)算收益率序列的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度及正態(tài)分布檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)了解各只股票收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)特征。各股票相關(guān)統(tǒng)計(jì)特征值數(shù)如表2：

表2 各股票收益率序列統(tǒng)計(jì)特征

續(xù)表2

表3 ADF統(tǒng)計(jì)

從表2可以看出，各股票收益率的均值都在零附近，峰度遠(yuǎn)大于正態(tài)分布下的K＝3，表現(xiàn)出顯著的尖峰厚尾的特征，且各股票收益率的J－B統(tǒng)計(jì)量都遠(yuǎn)大于零，說(shuō)明收益率序列不服從正態(tài)分布。

作為時(shí)間序列，盡管不服從正態(tài)分布，但是仍有必要檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性，平穩(wěn)性檢驗(yàn)最常用的是ADF檢驗(yàn)，各股票的單位根檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)如表3：

從表3可以看出，在置信度為0．05的水平下，10只股票的收益率序列都通過(guò)了平穩(wěn)性檢驗(yàn)，可以進(jìn)行進(jìn)一步的熵值計(jì)算。

（三）數(shù)據(jù)計(jì)算

根據(jù)股票日收益率的定義可求出每只股票的對(duì)數(shù)收益率序列，并將區(qū)間［min（r），max（r）］等分10個(gè)小區(qū)間，并用頻率來(lái)代替概率，這樣可得到10只股票收益率的分布率和每個(gè)區(qū)間的樣本均值，如表4所示，每只股票的第一行為頻率，第二行為中間值：

表4 10只股票概率分布

根據(jù)以上概率分布，可求出每只股票的期望對(duì)數(shù)收益率和初始熵值，具體如表5和表6所示：

表5 各股票期望對(duì)數(shù)收益率

表6 各股票初始熵值

表7 初始熵值與方差對(duì)比表

各股票初始熵值與其方差的對(duì)比如表7所示。從表7可以看出，用熵衡量風(fēng)險(xiǎn)與用方差衡量有類似的效果，基本符合熵越大，方差越大。但也有一些不同，驗(yàn)證了研究熵度量風(fēng)險(xiǎn)的必要性。

運(yùn)用同樣的方法求深證100指數(shù)的概率分布，來(lái)代表市場(chǎng)收益率的概率分布。具體結(jié)果如表8所示：

表8 市場(chǎng)收益率概率分布表

計(jì)算得出市場(chǎng)收益率的風(fēng)險(xiǎn)即H（rm）＝1．644。

在MATLAB中通過(guò)回歸分析的方法計(jì)算出每只股票的β值，結(jié)果如表9所示：

表9 各股票β值表

各只股票的條件信息熵可用市場(chǎng)收益率的熵與各股票的初始熵的差值來(lái)表示，結(jié)果如10所示：

表10 各股票條件信息熵值表

根據(jù)H（Si）＝βH（rm）＋H（SI｜rm）i＝1、2…10可計(jì)算出各只股票的熵值，結(jié)果如表11所示：

表11 各股票熵值表

接下來(lái)計(jì)算在給定收益率的條件下，用熵值衡量風(fēng)險(xiǎn)與用標(biāo)準(zhǔn)差衡量風(fēng)險(xiǎn)的區(qū)別，可以通過(guò)計(jì)算一定收益率水平下，要使得投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小的各個(gè)股票的組合情況。

利用MATLAB中的優(yōu)化工具箱可求解公式（6）這一線性約束問(wèn)題，求出均值—熵模型下10只股票的投資比例，如表12所示：

表12 均值—熵模型下的股票投資比例

為了方便比較，我們可以求出相同收益率水平下，均值—方差模型的投資比例，具體如表13所示：

表13 均值—方差模型下股票的投資比例

通過(guò)對(duì)比均值—方差模型與均值—熵模型在相同收益率下的投資方案，可以看出，在收益率由低到高的過(guò)程中，兩種模型都會(huì)選擇用收益風(fēng)險(xiǎn)比較大的中金嶺南（000060）代替華聯(lián)控股（000036），可見(jiàn)新舊模型存在相似的選擇過(guò)程。但是用熵度量風(fēng)險(xiǎn)的新模型計(jì)算出的投資方案中只通過(guò)兩只股票來(lái)分散風(fēng)險(xiǎn)，而傳統(tǒng)方法得出的最有投資組合中包括了更多的股票。

四、結(jié) 論

（一）用熵來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)具有合理性和可行性

從實(shí)證過(guò)程可以看出，股票的熵值不依賴于某種特定的分布，只要確定收益率的分布，便能求出股票的熵值，因此熵值是一種理想的股票風(fēng)險(xiǎn)度量手段［16］。

（二）均值—熵模型能夠?yàn)橥顿Y者提供更加簡(jiǎn)單的投資方案

從以上的實(shí)證結(jié)果可以看出，在相同收益率下，用均值—方差模型計(jì)算出的最優(yōu)投資組合中包含的股票數(shù)量更多。雖然從理論上來(lái)講，選擇的股票越多，分散風(fēng)險(xiǎn)的效果就越明顯，但是過(guò)度分散不僅不會(huì)降低投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)，反而會(huì)因?yàn)樾畔⒊杀镜绕渌杀镜脑黾犹岣唢L(fēng)險(xiǎn)。而基于熵度量風(fēng)險(xiǎn)的均值—熵模型提供給投資者的最優(yōu)方案中包括的股票數(shù)量更少，更加簡(jiǎn)潔，可以減少交易費(fèi)用和管理費(fèi)用，降低投資者的風(fēng)險(xiǎn)。

（三）模型評(píng)價(jià)

1．模型優(yōu)勢(shì)

（1）使用熵代替方差衡量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，不需要對(duì)收益率的分布做任何假設(shè)，是一種對(duì)客觀概率的正確描述和無(wú)偏估計(jì)，代表風(fēng)險(xiǎn)的熵值的大小只與收益率的概率分布狀況有關(guān)，這就克服了使用均值—方差模型必須假設(shè)收益率的分布是正態(tài)分布的缺陷。因此，均值—熵模型在使用時(shí)更具有實(shí)用性。

（2）熵在度量風(fēng)險(xiǎn)時(shí)與方差的效果是相似的，但是熵可以描述收益率的多階矩的特性，相比方差只能表達(dá)的二階矩的特征，熵能提供更多關(guān)于收益率的信息，因此能更加準(zhǔn)確地衡量不確定程度。投資者確定各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例的過(guò)程是復(fù)雜動(dòng)態(tài)多變的，用熵來(lái)衡量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)更加合理。

（3）雖然增加投資組合中的資產(chǎn)數(shù)量能夠有效分散系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，但是過(guò)度分散反而會(huì)降低組合收益。本文的實(shí)證結(jié)果表明，均值—熵模型能夠在相同收益水平上，提供給投資者更加簡(jiǎn)單精煉的投資方案。包含股票數(shù)量較少的投資方案，能在分散風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上有效降低管理費(fèi)用和交易費(fèi)用，從而降低投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)。

2．模型的不足之處

（1）本文提出的均值—熵模型，在數(shù)學(xué)方面欠缺嚴(yán)謹(jǐn)性，沒(méi)有證明過(guò)程。

（2）整個(gè)計(jì)算過(guò)程過(guò)于繁瑣，需要進(jìn)一步通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真，增強(qiáng)模型的實(shí)用性，為投資者選取資產(chǎn)組合提供便利工具。

（3）由于熵的值只跟變量的概率分布有關(guān)系，并不受其取值的影響，不能表現(xiàn)出投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的主觀反映，因此熵對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的描述欠缺全面性。

（4）在整個(gè)分析過(guò)程中，沒(méi)有考慮稅收和交易費(fèi)用等問(wèn)題，需要進(jìn)一步改進(jìn)。

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F830．59

A

1008－2670（2014）04－0029－07

2014－04－10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“貨幣政策多目標(biāo)交互行為協(xié)調(diào)控制研究”（61273230）；2012年度教育部“新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃”（NCET-12-1027）；山東省“金融產(chǎn)業(yè)優(yōu)化與區(qū)域發(fā)展管理協(xié)同創(chuàng)新中心”首席科學(xué)家平臺(tái)“金融產(chǎn)業(yè)系統(tǒng)優(yōu)化機(jī)制創(chuàng)新平臺(tái)”。

鄭勇，男，山東濱州人，山東財(cái)經(jīng)大學(xué)財(cái)務(wù)處經(jīng)濟(jì)師，研究方向：財(cái)務(wù)理論與實(shí)踐；劉超，男，山東濟(jì)南人，山東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分析與計(jì)算機(jī)仿真。