三分謝爾賓斯基墊片上的標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯算子

王 麗

(湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 湖州 313000)

0 引言

首先回顧一下三分謝爾賓斯基墊片(SG3)。把一個(gè)正三角形看作K0(包括三個(gè)頂點(diǎn)p1，p2，p3)，三等分三條邊可得到九個(gè)小正三角形，去掉中間三個(gè)。這樣重復(fù)做下去，最后得到的“極限集”就是三分謝爾賓斯基墊片。

分形集可以通過構(gòu)造迭代函數(shù)系[1]而得到。SG3就可以用由六個(gè)部分組成的迭代函數(shù)系得到，每一部分都和整體相似，壓縮比為這六個(gè)相似壓縮映射如下

這里x，y∈R。如圖1。用K來表示SG3，K就是自相似集[2]，那么

下面是本文中的一些符號:

①Vm是m－層上所有頂點(diǎn)的集合，m≥0;

②LA(V0)[2]是V0上所有拉普拉斯算子的集合;

③[Hm+1]Vm是指 Hm+1在 Vm上的限制;

④DF(Vm)[2]是Vm上所有狄利克雷型的集合;

⑤l(Vm)={f:Vm→R}，m≥0;

⑥Гm={Vm，Em}，這里Em是m－層上所有的邊的集合，m≥0;

⑦x～ym意思是:x和y是在一個(gè)m－單元的兩個(gè)點(diǎn)，它們由一條邊連接在一起，m≥0;

圖1 K0，K1和 SG3

1 三分謝爾賓斯基墊片的調(diào)和結(jié)構(gòu)

在這一部分中，我們構(gòu)造一個(gè){Vm}m≥0上的r－網(wǎng)“自相似”相容序列((Vm，Hm)[2]。用如下方陣來定義三分謝爾賓斯基墊片上最初的拉普拉斯算子D，D∈LA(V0)，V0={p1，p2，p3}。

對任意初始D∈LA(V0)，我們都能找到一個(gè)自相似拉普拉斯算子序列Hm∈LA(Vm)，定義如下:

定義1[2](相容序列):設(shè) Vm是一有限集，且對任意 m≥0有 Hm∈LA(Vm)。(Vm，Hm)≤(Vm+1，Hm+1)當(dāng)且僅當(dāng)Vm?Vm+1和[Hm+1]Vm=Hm成立，那么對所有 m≥0 有(Vm，Hm)≤(Vm+1，Hm+1)，這時(shí){(Vm，Hm)}m≥0稱為一個(gè)相容序列。

定義2[2](調(diào)和結(jié)構(gòu)):當(dāng)且僅當(dāng){(Vm，Hm)}m≥0是 r－ 網(wǎng)的一個(gè)相容序列時(shí)是一個(gè)調(diào)和結(jié)構(gòu)。而且，當(dāng)對所有i∈S有0＜ri＜1時(shí)，調(diào)和結(jié)構(gòu))稱為是正則的。

性質(zhì)1:若D∈LA(V0)，且，對所有 i∈S 有 ri＞0，由下式來定義ε(m)∈DF(Vm)。

這里 u，v∈l(Vm)，w=w1w2…wm∈Wm，有 rw=rw1…rwm，且 εD= ε0，還有 Hm∈LA(Vm)。記 ε(m)= εHm。

定義εm= ε(m)，這里 εm是圖能[4]。

而且 ε(m+1)(u，v)

因此，有

這里u，v∈l(Vm)，我們讓ε是圖能εm的極限。

定理1:對w∈Wm，由Rwf=f·Fw來定義Rw:l(Vm)→l(V0)。那么對所有m≥0，有

證明:注意到 εHm(u，v)是一個(gè)內(nèi)積，因此由內(nèi)積定義有 εHm(u，v)= －uTHmv，又由(1)ε(m)(u，v)

這里Hm是所有m≥0的Vm上的離散拉普拉斯算子序列。

2 三分謝爾賓斯基墊片上的標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯算子

在這一部分，在自相似空間SG3上通過弱公式化定義拉普拉斯算子△。為了做到這一點(diǎn)需要兩個(gè)要素:雙線性能ε(u，v)[4]和一個(gè)正則的概率測度μ[2]。在本文中將μ看作是標(biāo)準(zhǔn)自相似測度，用△μ來表示，它是依賴于測度μ，當(dāng)μ是標(biāo)準(zhǔn)測度時(shí)稱△是標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯算子。

定義3[4]設(shè)u∈domε且f是連續(xù)的。若對所有v∈dom0ε，有下式

那么u∈dom△μ且有△μu=f，(回憶下標(biāo)0的意思是:v在邊界上的取值為0)。

這個(gè)定義是弱公式化。接下來將證明有一個(gè)與它等價(jià)的逐點(diǎn)公式。從下面這個(gè)定理來推導(dǎo)逐點(diǎn)公式。

定理2 若h是調(diào)和的，那么h∈dom△μ和△μh=0成立。相反，若u∈dom△μ和△μu=0成立，那么u是調(diào)和的。

圖拉普拉斯算子△m(m≥0)定義在相應(yīng)的圖Γm(它包含頂點(diǎn)和頂點(diǎn)之間的連線)上:

有一個(gè)簡單的方法從弱公式化得到逐點(diǎn)公式，就是讓弱公式化(定義3)中的v=ψ(m)x(注意到:ψ(m)x那么由和 εm(u)=r－mEm(u)(詳細(xì)看[3])，再綜合(6)式，可得中任意變換 x，都有這樣式(5)就變成

定理3 設(shè)u∈dom△μ，那么逐點(diǎn)公式(8)成立，且極限一致遍及V*V0。相反，假設(shè)u是連續(xù)函數(shù)且(8)式的右邊一致收斂到V*V0上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)。那么，u∈dom△μ和(8)式成立。

當(dāng)x∈V0，那么逐點(diǎn)公式就是

這里{xm}是一序列，其中xm∈VmV0且mli→m xm=x。

在 K=SG3中，定義，Vm，x={y∈Vm:y≠x，存在 w∈Wm使得 x，y∈Fw(V0)，這里 w=|m|，m≥0}，A={x∈Vm:x=Fw(p1)∩Fw(p2)∩Fw(p3)}，那么

所以有

頂點(diǎn)x為任意非邊界點(diǎn)，拉普拉斯算子△μ稱為三分謝爾賓斯基墊片上的標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯算子。

[1]肯尼思·法爾科內(nèi).分形幾何中的技巧[M].曾文曲，譯.沈陽:東北大學(xué)出版社，2005.

[2]Jun Kigami.Analysis on fractals[M].Beijing:Mechanical Industry Press，2004.

[3]FENG Zhi－ gang，WANG Li.Harmonic extension on the level－3 Sierpinski Gasket[J].International Journal of Nonliner Science，2010 ，10(3):308 －312.

[4]Robert S.Strichartz.Differential Equations on Fractals[M].New Jersey:Princeton University Press.2006.