《實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程》教學(xué)之得

蔡夢(mèng)嫻

【摘 要】我們的學(xué)生在小學(xué)階段對(duì)應(yīng)用題有一定的了解，但用的是純算術(shù)的方法，進(jìn)入初中后解實(shí)際問(wèn)題用的是代數(shù)方法，學(xué)生不適應(yīng)。剛進(jìn)初一的學(xué)生年齡一般都在12、3歲之間，這個(gè)年齡段是兒童向青少年過(guò)渡的時(shí)期，正處于從小學(xué)生到初中生的角色過(guò)渡期、適應(yīng)期。因此要把握好這一時(shí)期，加緊對(duì)他們的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。而學(xué)習(xí)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題正是一個(gè)很好的培養(yǎng)機(jī)會(huì)！

【關(guān)鍵詞】一元一次方程；解決實(shí)際問(wèn)題

在課間我隨機(jī)問(wèn)了一些學(xué)生，“你覺(jué)得列方程解應(yīng)用題難嗎？”，幾乎所有被問(wèn)的學(xué)生都回答“難！”，而老師在問(wèn)他們的時(shí)候并沒(méi)有給出具體的題目。由此可得出，列方程解應(yīng)用題這一知識(shí)在學(xué)生心目中的印象就是非常難的，只要看到題目是應(yīng)用題，很多學(xué)生就自然而然害怕起來(lái)，而從心理上就放棄了該題！

針對(duì)這些情況我在教學(xué)中做了下面這些嘗試。

一、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題初期教學(xué)

小學(xué)的列算式是用已知數(shù)表達(dá)計(jì)算程序，而方程可用未知數(shù)表示相等關(guān)系，依據(jù)是問(wèn)題中的等量關(guān)系。所以最初主要是訓(xùn)練學(xué)生理解題目的能力和尋找等量關(guān)系的能力，為解決更加復(fù)雜的問(wèn)題打下基礎(chǔ)。我們?cè)诔跗诳梢灾饕詧D解分析題目的方法來(lái)訓(xùn)練學(xué)生解題的基礎(chǔ)。要清楚的講解列一元一次方程的基本步驟：①設(shè)元（分為直接設(shè)法和間接設(shè)法，單位前為多項(xiàng)式的要用括號(hào)括起來(lái)）；②分析（主要采用圖解法）；③找題目中等量關(guān)系；④列方程；⑤解方程且檢驗(yàn)（兩層檢驗(yàn)：檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理）⑥答題。

例一：把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分四本，則還缺25本。這個(gè)班有多少學(xué)生？

分析：相等關(guān)系：這批書的總數(shù)是一個(gè)定值，表示它的兩個(gè)式子相等（這只是該題分析，不寫到解題過(guò)程中）

解：設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生。圖解：

（圖一）

列方程：3x+20=4x-25

雖然題目中說(shuō)是一些圖書和某些學(xué)生，似乎是一個(gè)不確定的數(shù)，但其實(shí)，在這批圖書和這個(gè)班的學(xué)生在已知條件沒(méi)有改變它們的情況下，它們是定值，也是未知。而這道題的所求問(wèn)題是未知的這個(gè)班的人數(shù)，用字母x代表它，通過(guò)已知條件可以用兩個(gè)代數(shù)式表示這批書，這兩個(gè)代數(shù)式即存在相等關(guān)系。這些復(fù)雜的文字描述，我們可以圖一就可以知道，更加直觀，更加具體，不需更多的解釋，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單化的能力和閱圖能力，分析理解能力。

例二：運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的跑道一圈長(zhǎng)400m，甲練習(xí)騎自行車，平均每分騎490m，乙練習(xí)跑步，每分跑250m，兩個(gè)人從同一處同時(shí)同向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間首次相遇？

分析：相等關(guān)系：甲路程-乙路程=運(yùn)動(dòng)場(chǎng)長(zhǎng)度（這只是該題分析，不做解題過(guò)程）

解：設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘首次相遇

圖解： 250x 400

490x

（圖二）

列方程：490x-250x=400

在一元一次方程解應(yīng)用題的開始，應(yīng)該讓學(xué)生感覺(jué)到是“我可以做到的”，樹立他們對(duì)于解應(yīng)用題的信心，對(duì)解應(yīng)用題有自己的足夠的見解，所以應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)到，解一元一次方程是有跡可循的，解一元一次方程是有章可依，而圖解法就是把題目中復(fù)雜的文字，抽取出來(lái)，轉(zhuǎn)化為圖解，使題目變得簡(jiǎn)潔，明了。這樣可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析題目，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從題目中知道什么是我們已知的，什么是它們之間的等量關(guān)系。

二、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題中期教學(xué)

隨著學(xué)習(xí)一元一次方程解應(yīng)用題的深入，慢慢題目也越來(lái)越復(fù)雜，常常涉及兩個(gè)方面，三個(gè)量，我們的分析方法也應(yīng)該更加進(jìn)步，隨之豐富我們的解題思路，這個(gè)時(shí)候我們可以通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單列表法鍛煉學(xué)生理解題目和尋找復(fù)雜一點(diǎn)的等量關(guān)系列方程的能力，由于許多學(xué)生不懂列表法，所以初期應(yīng)該老師把表列出來(lái)，給予學(xué)生正確的引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)合理運(yùn)用列表法幫助自己解決問(wèn)題。下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明列表法的運(yùn)用：

例三：一輛大汽車原來(lái)的形勢(shì)速度是30千米/時(shí)，現(xiàn)在開始均勻加速，每小時(shí)提速20千米/時(shí)；一輛小汽車原來(lái)的行駛速度是90千米/時(shí)，現(xiàn)在開始均勻減速，每小時(shí)減速10千米/時(shí)。經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩輛車的速度相等？這時(shí)車速是多少？

分析：相等關(guān)系：大車后來(lái)的速度=小車后來(lái)的速度

解：設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)后輛車車速相等。

圖解： 30 20x 10x

90

（圖三）

圖表1：

原來(lái)的速度 后來(lái)的速度

大車 30千米/時(shí) 30+20x

小車 90千米/時(shí) 90-10x

列方程：30+20x=90-10x

在這個(gè)題目中給了很多已知條件，大車和小車原來(lái)的速度，大車每小時(shí)提高的速度，小車每小時(shí)減少的速度，從問(wèn)題可以知道，大車和小車所用時(shí)間相同，速度相等。大車和小車經(jīng)過(guò)了x小時(shí)后，速度相同。這些分析過(guò)程，通過(guò)圖表和圖解都可以簡(jiǎn)單、明了的顯示，所以在此過(guò)程中，要進(jìn)一步鞏固學(xué)生解題方法，通過(guò)兩種方法的比較，學(xué)會(huì)主動(dòng)分析那種方法更簡(jiǎn)單，在哪些題型該用圖解法，哪些題型該用圖表法，或者不用這些方法，用別的方法也可以進(jìn)行分析，必須給學(xué)生一種數(shù)學(xué)思想。

例四：整理一批圖書，由一個(gè)人做要40小時(shí)完成，現(xiàn)在計(jì)劃由一部分人先做4小時(shí)，再增加2人和他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作。假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？

分析：這項(xiàng)工作分兩段完成，兩段完成的工作量之和為

解：設(shè)先安排x人工作4小時(shí)。

圖解：

1

（圖四）

圖表2：

工作效率 工作量

X個(gè)人完成 x—40

（x+2）個(gè)人完成

列方程：=1

在實(shí)際問(wèn)題難度不斷增加的過(guò)程中，我們不止是學(xué)會(huì)解決了一些比較復(fù)雜的題，更是要在潛移默化中學(xué)會(huì)更多的解題方法，有解決復(fù)雜題目的信心，和建立自己一套應(yīng)對(duì)方程解應(yīng)用題的思路方法，而在利用的過(guò)程中，學(xué)會(huì)反思，用哪種方法更加簡(jiǎn)單，更加適合題目，而新學(xué)的圖表也鍛煉了學(xué)生的總結(jié)能力！

三、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題后期教學(xué)

隨著一元一次方程解實(shí)際問(wèn)題教學(xué)的深入，不能只停留在會(huì)解決一類型，一系列的題，而是要學(xué)會(huì)一種應(yīng)用代數(shù)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想。

所以，突出了循序漸進(jìn)的原則，加強(qiáng)變式訓(xùn)練，更新認(rèn)知模式，波利亞的理論認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展是同化作用和順應(yīng)作用兩種機(jī)能的平衡的不斷發(fā)展，初一學(xué)生往往喜歡套題型，機(jī)械模仿，對(duì)面臨的新問(wèn)題抓不住問(wèn)題的關(guān)鍵，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題宜采取加強(qiáng)變式訓(xùn)練，更新認(rèn)知的模式。

一題多解的訓(xùn)練可以達(dá)到這個(gè)目的：

例五：一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，順風(fēng)飛行需要2個(gè)小時(shí)50分，逆風(fēng)飛行需3個(gè)小時(shí)，求兩個(gè)城市之間的飛行路程？

分析：由兩城市之間的路程不變，可得到

相等關(guān)系：1.順風(fēng)飛行路程=逆風(fēng)飛行路程

這就提示我們?cè)谧兞繂?wèn)題中要善于發(fā)現(xiàn)不變量，因此，本題可以設(shè)想飛機(jī)在無(wú)風(fēng)情況下飛行速度相等。

解1：設(shè)飛機(jī)在無(wú)風(fēng)時(shí)飛行速度為每小時(shí)x 千米，則有方程：

（x+24）×25-6=（x-24）×3

解2：順風(fēng)時(shí)風(fēng)推飛機(jī)，逆風(fēng)時(shí)風(fēng)阻飛機(jī)，那么，順風(fēng)速度與逆風(fēng)速度每小時(shí)相差48 千米。

設(shè)：飛機(jī)在順風(fēng)時(shí)速度每小時(shí)x千米，則有方程：

17-6x=（x-48）×3

解3：設(shè)飛機(jī)在逆風(fēng)時(shí)速度為每小時(shí)x千米，則有方程：

（x+48）×25-6=3x

相等關(guān)系2：飛機(jī)在無(wú)風(fēng)情況飛行的速度=順風(fēng)飛行速度-風(fēng)速=逆風(fēng)飛行速度+風(fēng)速

解4：設(shè)兩個(gè)城市之間的距離為x千米，則有方程：

6-17x-24=x-3+24或6-17x-x-3=48或6-17x-48=x-3

相等關(guān)系3：因兩城市距離一定，風(fēng)速和時(shí)間都在變化，聯(lián)系小學(xué)反比例關(guān)系問(wèn)題知：飛機(jī)飛行的速度與時(shí)間成反比：

即：順風(fēng)速度∶逆風(fēng)速度=逆風(fēng)時(shí)間∶順風(fēng)時(shí)間

分別設(shè)出飛機(jī)在無(wú)風(fēng)、順風(fēng)、逆風(fēng)中飛行速度又可得到三種。

無(wú)論是用圖解法，圖表法列一元一次方程解應(yīng)用題，還是訓(xùn)練一元一次方程應(yīng)用題多解。都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程總結(jié)的一些方法和經(jīng)驗(yàn)，卻不是唯一的，也不是必須，通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題抽象為方程模型的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)模型化的思想，會(huì)用一元一次方程解決一些實(shí)際問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力；在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，初步一元一次方程的使用價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。