熵概念及其在生物學(xué)中的應(yīng)用＊

高 峰

（天津大學(xué)理學(xué)院物理系 天津 3000 72 ）

“生物是物，生物有理”．物理學(xué)與生物學(xué)的相互促進(jìn)由來(lái)已久，生物學(xué)曾為物理學(xué)啟示過(guò)能量守恒定律，而物理學(xué)也為生物學(xué)發(fā)展提供了大量的新思想和新工具［1］．例如，奧地利物理學(xué)家、量子力學(xué)奠基人之一薛定諤 （Erwin Schr dinger）在《生命是什么——活細(xì)胞的物理學(xué)觀》一書中從能量、遺傳和信息的角度來(lái)探討生命奧秘，對(duì)生命的分子基礎(chǔ)、生命的熱力學(xué)基礎(chǔ)和生命的物理規(guī)律進(jìn)行了思考，并提出了負(fù)熵、非周期性晶體等思想，為生物學(xué)的革命性發(fā)展奠定了基礎(chǔ)［2］．熵是大學(xué)物理的重要教學(xué)內(nèi)容，筆者在教學(xué)過(guò)程中結(jié)合自己的科研經(jīng)歷，將熵概念在生物學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹．

1 熵概念的提出

經(jīng)典熱力學(xué)中關(guān)于熵的概念，最早由德國(guó)物理學(xué)家克勞修斯于1865 年提出，用來(lái)衡量熱力學(xué)過(guò)程的不可逆程度．克勞修斯通過(guò)熵的增量進(jìn)行了定義，即熵的增量等于過(guò)程中吸收的熱量與溫度之比．因?yàn)殪睾湍茉谖锢砩隙季哂兄匾饬x，而且關(guān)系密切，所以，克勞修斯在造詞時(shí)加了個(gè)前綴en，以便與能量energy這個(gè)詞相對(duì)應(yīng)．而漢譯字是1923 年浙江大學(xué)的胡剛復(fù)教授在為來(lái)華講學(xué)的德國(guó)科學(xué)家普朗克（并非因提出能量子概念而獲得諾貝爾獎(jiǎng)的普朗克）擔(dān)任翻譯時(shí)創(chuàng)造．他考慮到熵的定義為熱溫比，在數(shù)學(xué)上具有“商”的性質(zhì)，而熱量、溫度又都與“火”有關(guān)，便創(chuàng)造了“熵”字．1877 年，玻爾茲曼提出了宏觀量熵S與無(wú)序度Ω（系統(tǒng)某一宏觀狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)的數(shù)目即熱力學(xué)概率）之間關(guān)系的玻爾茲曼熵公式，S∝l nΩ，后來(lái)普朗克把它寫成了等式S＝kl nΩ，式中k是玻爾茲曼常數(shù)．玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)理論使我們對(duì)熵的微觀本質(zhì)有了更為深刻的認(rèn)識(shí)，即熵是系統(tǒng)內(nèi)分子熱運(yùn)動(dòng)無(wú)序性或混亂程度的一種量度．在玻爾茲曼熵公式的基礎(chǔ)上，1943 年薛定諤引入了“負(fù)熵”的概念，并提出“生命賴負(fù)熵為生”的觀點(diǎn)．他認(rèn)為，“負(fù)熵”就是取負(fù)號(hào)的熵，它本身是有序的一個(gè)量度．“負(fù)熵”概念的提出雖然引起過(guò)非議，但對(duì)填平物理學(xué)與生物學(xué)之間的鴻溝有著積極意義［3］．

2 熵概念的發(fā)展及生物學(xué)應(yīng)用

如今，熵不僅僅是一個(gè)重要的物理概念，在控制論、概率論、生命科學(xué)、天體物理等諸多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用．熵在不同學(xué)科中引申出更為具體的定義，并逐漸成為所在領(lǐng)域重要的參量．其中，信息熵的引入不僅為信息論和數(shù)字通信奠定了基礎(chǔ)，而且為熵概念的進(jìn)一步泛化奠定了基礎(chǔ)．

1948 年，信息論的創(chuàng)始人香農(nóng) （Claude ElwoodShannon）發(fā)表了 《通信的數(shù)學(xué)原理》（AMathe－matical Theory of Communication）一文，提出了信息熵的概念，目前該文在學(xué)術(shù)谷歌的引用已超過(guò)6500 0次，成為香農(nóng)的經(jīng)典之作．假定有一事件可能有x1，x2，…，xN種結(jié)果，每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率為P（xi），或簡(jiǎn)寫為Pi，信息熵定義為

當(dāng)對(duì)數(shù)以2為底時(shí)，單位是比特（bit），bit是二進(jìn)制數(shù)字 （binary digit）的縮寫．

人類與其他生物基因組序列是大自然的偉大作品，它是用一種4字母組成的語(yǔ)言寫成的“天書”，大自然的奧秘就隱藏在這些厚厚的“天書”之中，而生物信息學(xué)正是解讀“天書”的鑰匙［4］．對(duì)于由4字母組成的D NA序列，信息熵H可以表示為

這里a，c，g和t分別表示在D NA序列中堿基A，C，G和T的出現(xiàn)頻率．既然熵可以作為系統(tǒng)無(wú)序性大小的量度，當(dāng)然也可以用來(lái)量化D NA序列的組成差異．考察一個(gè)由N個(gè)堿基組成的基因組序列．設(shè)n為整數(shù)，且2≤n≤N－1．對(duì)于給定的位置n，基因組序列被分為左右兩個(gè)子序列．計(jì)算兩個(gè)子序列的熵，考慮長(zhǎng)度因素，若滿足該點(diǎn)分成的兩個(gè)子序列負(fù)熵之和取得最大值，那么，該點(diǎn)即為該序列中首先找到的組成分段點(diǎn)，將同樣的過(guò)程應(yīng)用于產(chǎn)生的左右子序列，這就是D NA序列的熵分段算法．研究表明，在D NA序列中的確存在著堿基組成的突變點(diǎn)，且蘊(yùn)含著明確的生物學(xué)意義．例如，在細(xì)菌和古菌基因組中，鏈堿基組成的突變點(diǎn)往往對(duì)應(yīng)于復(fù)制起始或終止位點(diǎn)，而G C含量的突變點(diǎn)可能對(duì)應(yīng)于水平轉(zhuǎn)移基因組島的整合位點(diǎn)等，因此，分段算法在生物學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用［4］．我們證明由Z曲線導(dǎo)出的基因組序參數(shù)S＝a2＋c2＋g2＋t2也可作為量化D NA序列組成差異的度量［5］．信息熵H和基因組序參數(shù)S關(guān)系復(fù)雜［6］，但研究發(fā)現(xiàn)S和H 的相關(guān)系數(shù)幾乎為－1，這表明兩者成高度負(fù)相關(guān)，暗示S起到了某種“負(fù)熵”的作用［7］．在基因組序參數(shù)S的基礎(chǔ)上，我們實(shí)驗(yàn)室研發(fā)出計(jì)算基因組分段點(diǎn)的算法，可以有效地、高精度地計(jì)算基因組的分段點(diǎn)［8］．

信息熵H和基因組序參數(shù)S高度負(fù)相關(guān)，可能是因?yàn)樾畔㈧豀和基因組序參數(shù)S都是α階Tsallis熵的特殊形式．Tsallis熵的定義如下［9］

如果α趨近于1，則T

sallis熵就退化為香農(nóng)熵．如果α＝2，公式（3）變成

H2（X）又被稱作Gini－Simpson指數(shù)，它和信息熵、Tsallis熵等還可以用來(lái)衡量生物物種多樣性（diversity）．對(duì)于由4字母組成的D NA序列，公式（5）還可以有如下形式

可以看出，S與H2（X）對(duì)于四元字符序列存在線性關(guān)系，同時(shí)S具有明確的幾何意義［7］．

基于谷歌搜索，可以得到更多熵在生物學(xué)，特別是生物信息學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例，如基于多元熵距離法的微生物基因預(yù)測(cè)方法，基于熵定量篩選差異甲基化區(qū)域軟件等．

3 結(jié)論

物理學(xué)和生物學(xué)結(jié)合是自然科學(xué)發(fā)展中的重要趨勢(shì)，物理學(xué)思想在生物學(xué)中的應(yīng)用能更好地促進(jìn)生物學(xué)學(xué)科的發(fā)展．希望能通過(guò)熵概念在生物學(xué)，特別是生物信息學(xué)等相關(guān)交叉學(xué)科中應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，提高大學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力．

1 郝柏林．物理學(xué)和生物學(xué) （上）．物理，2003 ，32 （04 ）：213 ～218

2 Erwin Schr dinger．What Is Life？The Physical Aspectof the Living Cell．London：Cambridge UniversityPress，1944

3 趙佩華．熵理論的幾個(gè)基本問(wèn)題研究述評(píng)．系統(tǒng)辯證學(xué)學(xué)報(bào)，2000 ，8（1）：85 ～89

4 張春霆．人與其他生物基因組若干重要問(wèn)題的生物信息學(xué)研究．自然科學(xué)進(jìn)展，2004 ，14 （12 ）：1367 ～1374

5 Zhang Chun－Ting，Gao Feng，Zhang Ren．Segmentationalgorithm for DNA sequences．Phys Rev E，2005，72（4）：041917

6 Zhang Yi．Relations between Shannon entropy andgenome order index in segmenting DNA sequences．PhysRev E，2009，79（4）：041918

7 Zhang Chun－Ting， Zhang Ren． A nucleotidecomposition constraint of genome sequences．ComputBiol Chem，2004，28（2）：149～153

8 Gao Feng，Zhang Chun－Ting．GC－Profile：a web－based toolfor visualizing and analyzing the variation of GC content in genomic sequences．Nucl Acids Res，2006，34 （W1）：W686～W691

9 Tsallis Constantino．Possible generalization ofBoltzmann－Gibbs statistics．J Stat Phys，1988，52：479～487