關(guān)于矢量與矢量微分之間標(biāo)積的若干討論

彭成曉

（河南大學(xué)物理與電子學(xué)院 河南 開封 4750 04 ）

房彩麗

（河南大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 河南 開封 4750 04 ）

王 超

（河南大學(xué)物理與電子學(xué)院 河南 開封 4750 04 ）

1 問題的提出

在普通物理學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到矢量與矢量微分之間標(biāo)積的運(yùn)算A·dA．例如，在推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理［1］，計(jì)算萬有引力（靜電力）做功［2］等情況時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到這樣的等式A·dA＝AdA，初學(xué)者經(jīng)常會(huì)對(duì)這一等式產(chǎn)生困惑．A的模就是其矢量大小A，即＝A，但是dA表示A的微分，是矢量，而dA表示A的大小的微分，是標(biāo)量，dA與dA意義不同，如圖1所示，dA大小等于PM長(zhǎng)度，dA等于NM長(zhǎng)度，因此它們并不相等．但A·dA＝AdA為什么能成立呢？

圖1

由于A是矢量，其大小和方向的變化都可以引起矢量A改變，因此，關(guān)于矢量與矢量微分之間的運(yùn)算，可分為以下幾種情況進(jìn)行討論．

2 當(dāng)矢量A大小不變（即A＝常量）僅方向改變時(shí)

矢量A大小不變（即A＝ 常量），僅改變方向［3］，如圖2（a）所示，由A變化為A＋ΔA．當(dāng)矢量A增量很小，ΔA→dA，θ→0°，則α＝β→90 °，因此，A⊥dA，如圖2（b）所示，則A·dA＝0．而A為常量，所以dA＝0，得AdA＝0．因此A·dA＝AdA成立．

圖2

3 當(dāng)矢量A大小改變而其方向不變時(shí)

圖3

4 當(dāng)矢量A大小和方向均改變時(shí)

A·dA＝AdA，可以用以下方法理解．

4．1 圖形法

按照矢量標(biāo)積運(yùn)算

由于dA是A的微分，因此在△O PM中∠P OM→0°，那么在等腰三角形△O PN中∠O PN＝∠O NP→90 °，cosθ＝dA，因此

A·dA＝AdA

4．2 矢量微分運(yùn)算

d（A·A）＝d（A2）＝2AdA

又 d（A·A）＝dA·A＋A·dA＝2A·dA

因此

A·dA＝AdA

4．3 不同坐標(biāo)系中矢量與矢量微分標(biāo)積運(yùn)算

4．3．1 自然坐標(biāo)系

A＝A eA，A為A的大小，eA為矢量A方向上的單位矢量．按照矢量微分運(yùn)算，有

dA＝d（A eA）＝eAdA＋AdeA

A·dA＝A eA·（eAdA＋AdeA）＝

AdA＋A2eA·deA

其中eA·deA＝0，可用圖2（b）理解，eA為矢量A方向上的單位矢量，故其大小不變，始終為1，僅僅方向改變．eA與其微分deA垂直，因此，它們之間的標(biāo)積為零，即eA·deA＝0

因此

A·dA＝AdA

4．3．2 直角坐標(biāo)系

通常接觸最多的是直角坐標(biāo)系，這里給出在直角坐標(biāo)系下矢量與矢量微分之間的標(biāo)積運(yùn)算．在直角坐標(biāo)系中，矢量A可表示為

A＝Axi＋Ayj＋Azk

dA＝dAxi＋dAyj＋dAzk

A·dA＝AxdAx＋AydAy＋AzdAz＝

為更好地理解不同情況下矢量與矢量微分之間的標(biāo)積結(jié)果，可以用較為熟悉的情況加以理解，例如，位矢和速度的關(guān)系．v＝，速度和位矢微分的方向一致，而我們較為熟悉位矢和速度的方向關(guān)系，因此，利用位矢和速度的方向關(guān)系便于理解矢量和矢量微分之間的關(guān)系．如任意曲線運(yùn)動(dòng)（含直線運(yùn)動(dòng)）中，速度的方向總是沿著質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向，這里需要注意，切線方向并不一定和位矢方向垂直．但是如果質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，以圓心為原點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的速度方向沿著軌跡切線方向，那么r⊥v，即位矢和位矢微分垂直，r⊥dr，這時(shí)r·dr＝0．這里由于質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，其位矢大小不變，始終為半徑長(zhǎng)度，其方向不斷變化，這時(shí)r·dr＝0，這種情況就是矢量大小不變，而方向變化，矢量和矢量微分之間的標(biāo)積為零．至于一般曲線運(yùn)動(dòng)（含直線運(yùn)動(dòng)），位矢大小始終在變，速度的方向總是沿著質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向，位矢方向和速度方向并不滿足垂直的關(guān)系，因此r·dr＝rdr≠0．

5 結(jié)論

從上面幾種情況可以看出，當(dāng)矢量A大小不變僅僅方向改變時(shí)，A與其微分dA之間的標(biāo)積為零，即A·dA＝0；當(dāng)矢量A大小變化，A與其微分dA之間的標(biāo)積滿足關(guān)系式A·dA＝AdA≠0．初學(xué)者對(duì)于A·dA標(biāo)積結(jié)果產(chǎn)生困惑的原因主要是由于對(duì)矢量A的矢量性理解不夠，易忽略其方向改變導(dǎo)致微分dA的產(chǎn)生．初學(xué)者在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)矢量A的矢量性理解，即A大小和方向的改變均可引起dA的產(chǎn)生．

1 尹國(guó)盛，夏曉智．大學(xué)物理簡(jiǎn)明教程（上）．武漢：華中科技大學(xué)出版社，2009 ．39

2 馬文蔚，周雨青．物理學(xué)教程（第二版）上冊(cè)．北京：高等教育出版社，2005 ．62

3 漆安慎，杜嬋英．普通物理學(xué)教程 力學(xué)（第二版）．北京：高等教育出版社，2005 ．471