光的折射定律的理論分析與推導(dǎo)

梁 雄 賴(lài)國(guó)忠

（龍巖學(xué)院 福建 龍巖 3640 12 ）

1 引言

反射定律和折射定律是幾何光學(xué)兩個(gè)基本定律，可利用費(fèi)馬定理證明［1～3］，也有一些《工程光學(xué)》教材是利用電磁場(chǎng)的連續(xù)條件來(lái)分析平面光波在各向同性介質(zhì)分界面上的反射和折射［4，5］．這些教材一般都是列出s波（電場(chǎng)強(qiáng)度在垂直入射平面方向的分量）滿(mǎn)足電場(chǎng)強(qiáng)度切向連續(xù)的方程，然后，通過(guò)簡(jiǎn)單的觀(guān)察和分析得出反射光波（或折射光波）的頻率與入射光頻率相等的有關(guān)內(nèi)容，但是教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生對(duì)這樣的探討方式所得的結(jié)果疑惑不解，總覺(jué)得推導(dǎo)過(guò)程不夠嚴(yán)密．現(xiàn)就在原有方程的基礎(chǔ)上利用導(dǎo)數(shù)和矢量叉乘進(jìn)行詳細(xì)分析和推導(dǎo)．

2 折射定律有關(guān)內(nèi)容的推導(dǎo)

圖1 平面光波在界面處傳播

如圖1所示，一束光從折射率n1的介質(zhì)1入射到折射率n2的介質(zhì)2，電場(chǎng)矢量在垂直于入射面方向的分量稱(chēng)作s波，平行于入射面的分量稱(chēng)作p波，坐標(biāo)系中y軸垂直紙面向外．根據(jù)電磁場(chǎng)的連續(xù)條件［6］列出電場(chǎng)的s波在界面處滿(mǎn)足的方程［5］

利用exp ［i（ α ＋β）］＝e x p（iα）e x p（iβ） 可 將 式 （1）中時(shí)間部分和空間部分分離，并令入射光、反射光和折射光中的s波復(fù)振幅分別為

A1＝A1sexp （i k1·r）

A′1＝A′1sexp （i k′1·r）

A2＝A2sexp （i k2·r）

即

兩邊同除以e x p（－ i ω1t），整理可得

其中，Δω2＝ω1－ω2，Δω1＝ω1－ω′1．將式（3）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)可得

式（4）兩邊同除以exp （iΔ ω2t）得

通常情況下，該方程中A′1≠0，A2≠0．觀(guān)察方程（5）的兩邊會(huì)發(fā)現(xiàn)其右邊與時(shí)間無(wú)關(guān)，而左邊卻含有exp ［i（Δω1－Δω2）t］時(shí)間因子，只存在兩種可能，第一種，當(dāng)Δω1＝0時(shí)，方程的左邊為零（即與時(shí)間無(wú)關(guān)），這就要求方程的右邊也為零，即有Δω2＝0；第二種，當(dāng)Δω2＝Δω1時(shí)，則因子

exp ［i（ Δω1－Δω2）t］≡1

將這一結(jié)果代入式（3）并整理后可得

仔細(xì)觀(guān)察式（6），其左邊為一個(gè)不為零的常量，這就要求方程右邊與時(shí)間無(wú)關(guān)，即有Δω1＝0．

綜合上述兩種情況均可得出同一個(gè)結(jié)論，即反射光束和折射光束的角頻率都與入射光束的角頻率相等，將其表示成數(shù)學(xué)表達(dá)式為

將式（7）代入式（1），兩邊同除以e x p［i（k1·rω1t）］化簡(jiǎn)得

其中N ＝k′1－k1，N′＝k2－k1．將算符

作用于式（8）兩邊可得

式（9）兩邊同除以N2exp （i N ′·r）得

式（10 ）的右邊與位矢r無(wú)關(guān)，這就要求其左邊也與r無(wú)關(guān)，即

將式（11 ）代入式（8）進(jìn)行整理后得

式（12 ）的左邊為一常量，這就要求右邊與r無(wú)關(guān)，即N′·r＝0．結(jié)合式（11 ）易得

其中，r為界面（x y平面）上任意位矢．由立體幾何知識(shí)可知，N和N′（或－N′）垂直界面，均可代表介質(zhì)界面的法線(xiàn)．

下面利用矢量叉乘證明光的折射定律，證明過(guò)程中用－k1和k2分別代表入射光線(xiàn)和折射光線(xiàn)的位置，則入射角等于－k1與－N′之間的夾角θ1，折射角等于k2與N′之間夾角θ2，具體參見(jiàn)圖2．結(jié)合矢量減法的特點(diǎn)分析不難得出，－k1，k2和法線(xiàn)N′（或－N′）在同一平面內(nèi)．根據(jù)矢量叉乘容易驗(yàn)證下面的方程成立

圖2 各波矢及有關(guān)的矢量

注意連等式（14 ）的中間表達(dá)式中出現(xiàn)一個(gè)負(fù)號(hào)，不難由“矢積的方向用右手螺旋法則確定”分析出－k1和k2分居法線(xiàn)兩側(cè)，即折射光和入射光分居法線(xiàn)兩側(cè)．式（14 ）的兩邊取模得

3 結(jié)論

針對(duì)現(xiàn)有教材通過(guò)簡(jiǎn)單的觀(guān)察，對(duì)比方程（1）得出光的折射定律等有關(guān)內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生對(duì)所得結(jié)論難以接受，本文借助于高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)和矢量叉乘等加以適當(dāng)推導(dǎo)，使得分析所得的結(jié)論更加一目了然，從而提高了課堂的教學(xué)效果．

1 姚啟鈞．光學(xué)教程（第3版）．北京：高等教育出版社，2006 ．153 ～156

2 宮彥軍，王喜昌，宋東草，等．折射定律與反射定律的推導(dǎo)．物理實(shí)驗(yàn)，2005 ，25 （2）：41 ～43

3 楊春艷，劉飛，吉恒，等．折射定律服從費(fèi)馬原理的一種證明方法．玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010 ，26 （8）：27 ～28

4 田芊，廖延彪，孫利群．工程光學(xué)（第1版）．北京：清華大學(xué)，2007 ．17 ～19

5 郁益銀，談恒英．工程光學(xué)（第3版）．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013 ．300 ～302

6 梁燦彬，秦光戎，梁竹?。姶艑W(xué)（第3版）．北京：高等教育出版社，2012 ．108 ～109