求解物理方程
——Matlab軟件在物理教學(xué)中的應(yīng)用之一

朱國強(qiáng)

(紹興市第一中學(xué) 浙江 紹興 312000)

在1859年，中國清代數(shù)學(xué)家李善蘭開始將英文“equation”——指含有未知數(shù)的等式——一詞翻譯為“方程”．

方程按照學(xué)術(shù)程度可以分為初等數(shù)學(xué)方程和高等數(shù)學(xué)方程．方程按照解的形式可以分為數(shù)值方程和符號(hào)方程．方程按照學(xué)科分類可以分為代數(shù)方程、幾何方程、三角方程、反三角方程、邏輯方程、微分方程、積分方程等．例如中學(xué)生熟悉的初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的代數(shù)學(xué)中的方程，可稱為初等代數(shù)方程，包括整式、分式方程，一元、多元方程，有理式、無理式方程等．

兩個(gè)或兩個(gè)以上的方程的組合叫做方程組．解方程組包括數(shù)值方程組運(yùn)算和符號(hào)方程組運(yùn)算．Matlab不僅僅以數(shù)值運(yùn)算見長，而且使用了Maple的內(nèi)核，符號(hào)運(yùn)算也極其厲害．見識(shí)過Matlab解符號(hào)方程組后，許多中學(xué)生深感驚奇．

1 符號(hào)變量和表達(dá)式

(1)定義符號(hào)變量

Matlab提供了函數(shù)syms，一次可以定義多個(gè)符號(hào)變量．其一般格式為：syms arg1 arg2 …argn．

(2)符號(hào)表達(dá)式

2 Solve函數(shù)及用法

Matlab內(nèi)置Solve函數(shù)提供了初等數(shù)學(xué)方程的求解方案．Solve函數(shù)隸屬于符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱(Symbolic Math Toolbox)．其用法為：

g = solve(eq)

g = solve(eq,var)

g = solve(eq1,eq2，..., ，eqn)

g = solve(eq1，eq2，...，eqn，var1，var2，...，varn)

其中，eqn為第n個(gè)方程的符號(hào)表達(dá)式，varn為第n個(gè)變量．

2.1 求解數(shù)值方程

應(yīng)用Solve函數(shù)解方程通常給出的是解析解．想要獲得方程的數(shù)值解，有多種方法．第一種是應(yīng)用subs函數(shù)，subs函數(shù)用于替換求值．第二種是應(yīng)用eval函數(shù)，計(jì)算一個(gè)表達(dá)式的值．分別舉例說明．

(1)Solve求出解析解，subs求出數(shù)值解

Subs函數(shù)的常見格式為R = subs(S) ，用調(diào)用函數(shù)的值或者M(jìn)atlab工作空間中的值來替代符號(hào)表達(dá)式S中出現(xiàn)的所有變量．

R = subs(S， new)，用new來代替表達(dá)式S中的默認(rèn)變量；

R = subs(S，old，new) ，用new符號(hào)變量或數(shù)值或表達(dá)式來替代來符號(hào)表達(dá)式S中old符號(hào)變量或字符串表達(dá)式．

【例1】質(zhì)量為m=1 kg的金屬塊放在水平桌面上，在與水平方向斜向上成θ=37°，大小為F=10 N的拉力作用下，向右做直線運(yùn)動(dòng)．已知金屬塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5．重力加速度g=10 m/s2．求金屬塊的加速度大?。?/p>

圖1

解析：該題屬于應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決問題中的已知受力情況求運(yùn)動(dòng)情況的類型．主要方程為

Fcosθ-f=ma

Fsinθ+N-mg=0

f=μN(yùn)

第一步，建立模型，列方程組，求出解析解．

輸入?syms F f N miu thita m g a;

S=solve(′F*cos(thita)-f=m*a′，′F*sin(thita)+N=m*g′，′f=miu*N′，′a′，′f′，′N′);

a=simple(S.a)

解得a =(F*cos(thita)+miu*F*sin(thita)-miu*m*g)/m，其中simple函數(shù)用來簡(jiǎn)化表達(dá)式．

即Matlab解得

第二步，根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)，得到數(shù)值解．

F=10;miu=0.5;thita=37*pi/180;g=10;

m=1;

a=subs(a)

解得a=5.995 4，即加速度大小為5.995 4 m/s2．

(2)Solve求出解析解，eval求出數(shù)值解

【例2】(2013年高考江蘇卷第13題)

如圖2所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一矩形閉合線圈abcd，線圈平面與磁場(chǎng)垂直． 已知線圈的匝數(shù)N=100，邊長ab=1.0 m，bc=0.5 m，電阻r=2 Ω． 磁感應(yīng)強(qiáng)度B在0～1 s內(nèi)從零均勻變化到0.2 T．在1～5 s內(nèi)從0.2 T均勻變化到-0.2 T，取垂直紙面向里為磁場(chǎng)的正方向．求：

(ⅰ)0.5 s時(shí)線圈內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小E；

(ⅱ)在1～5 s內(nèi)通過線圈的電荷量q；

(ⅲ)在0～5 s內(nèi)線圈產(chǎn)生的焦耳熱Q．

圖2

解析：

該題知識(shí)點(diǎn)為法拉第電磁感應(yīng)定律

電荷量

焦耳熱

Q=I2Rt

第一步，根據(jù)題意，建立變量，并賦數(shù)值．

syms L1 L2 r N t1 t2 t3 B0 B1 B2 E q Q

L1=1;L2=0.5;r=2;N=100;B0=0;B1=

0.2;B2=-0.2;t1=0.5;t2=1;t3=5;

第二步，建立模型，列方程組，求解方程．

A=solve(′E=N*(B1-B0)*L1*L2/(t2-0)′，′q=N*(B1-B2)*L1*L2/r′，′Q=(N*(B1-

E=eval(A.E)

q=eval(A.q)

Q=eval(A.Q)

解得E=10；q=10；Q=100.000 0．即感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小E=10 V ，電荷量q=10 C ，焦耳熱Q=100 J．

2.2 求解符號(hào)方程

基本方法是solve(eq1，eq2，…，eqn，v1，v2，…，vn)，即求解由表達(dá)式eq1，eq2，…，eqn組成的方程組，求解變量分別為v1，v2，…，vn．

【例3】(2008年高考全國Ⅰ卷第23題)

已知O，A，B，C為同一直線上的4點(diǎn)，AB間的距離為L1，BC間的距離為L2，一物體自O(shè)點(diǎn)靜止起出發(fā)，沿此直線做勻加速運(yùn)動(dòng)，依次經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．已知物體通過AB段與通過BC段所用時(shí)間相等，求O與A的距離．

解法一：(人工求解)

設(shè)物體加速度為a，經(jīng)過OA段時(shí)間為t，經(jīng)過AB段和BC段的時(shí)間均為T，O與A間的距離為x．

對(duì)物體，OA段

(1)

(2)

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)，解得

解法二：(計(jì)算機(jī)求解)

輸入syms x a t T L1 L2 v1;

A.x

本題屬于方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)的情形，有5種以上的解法．教學(xué)實(shí)踐表明，一些學(xué)生列出方程組、求解，需要相當(dāng)長的時(shí)間，有一定的難度，而用Matlab求解則無此困難．

通過以上例子可以看出，用Matlab解各類初等數(shù)學(xué)方程組是非常方便的，只要注意正確書寫參數(shù)就可以了．

3 求解高等數(shù)學(xué)方程

高中物理教師在教研或者指導(dǎo)學(xué)生競(jìng)賽，需要用到高等數(shù)學(xué)來分析解決問題．一般常用的有積分、微分運(yùn)算，求解微分方程等．Matlab對(duì)問題的描述和求解符合人們的思維方式和數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣，可以快速地求解高等數(shù)學(xué)方程．

3.1 積分函數(shù)int

函數(shù)int的用法為S=int (y，v，a，b)，其中y是被積函數(shù)，v是積分變量，a與b積分下、上限．不定積分的輸出結(jié)果是符號(hào)表達(dá)式，定積分的輸出結(jié)果是符號(hào)表達(dá)式或數(shù)值．

【例4】計(jì)算純電阻電路中正弦交流電i=Imsinωt在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率和電流的有效值．電阻R已知．

解析：

瞬時(shí)功率p=i2R=Im2Rsin2ωt，一個(gè)周期內(nèi)的平均功率

運(yùn)用Matlab求解的程序如下：

syms Im omiga t R I

i=Im*sin(omiga*t);

(2*pi/omiga)

解得

即

又將p代入

I=simple(I)

解得

即有效值

3.2 dsolve函數(shù)解常微分方程

dsolve函數(shù)用法：S = dsolve(eqn,cond)，用初始或邊界條件cond求解常微分方程eqn．

【例5】如圖3所示，平行導(dǎo)軌上放置一金屬桿AB，質(zhì)量為m，長為L，在導(dǎo)軌的上端接有電阻R．勻強(qiáng)磁場(chǎng)B垂直導(dǎo)軌平面向里．當(dāng)AB桿以初速度v0向運(yùn)動(dòng)時(shí)，求：

(1)AB桿能夠移動(dòng)的距離；

(2)在移動(dòng)過程中電阻R上放出的焦耳熱．

圖3

解析：

輸入?syms v t B L R m v0

解得

即方程的特解為

輸入?syms v t B L R m v0 x

x=simple(x)

解得

即方程的特解為

當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，桿移動(dòng)距離為

(2)桿在移動(dòng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱元為

整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱為

輸入syms x v a B L m t v0 R

解得

【例6】如圖4所示，一個(gè)矩形的金屬線框，邊長分別為a和b(b足夠長)．金屬線框的質(zhì)量為m，自感系數(shù)為L，忽略電阻．線框的長邊與x軸平行，它以速度v0沿x軸的方向從磁場(chǎng)外進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的均勻磁場(chǎng)中，B0的方向垂直矩形線框平面．求矩形線框在磁場(chǎng)中速度與時(shí)間的關(guān)系式v=v(t)和沿x軸方向移動(dòng)的距離與時(shí)間的關(guān)系式x=x(t)．

圖4

解析：

由于b邊很長，所以線框只有右邊框切割磁感線，當(dāng)線框速度為v時(shí)，產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)ε=B0av；當(dāng)線框中的電流為i時(shí)，產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢(shì)的大小為

根據(jù)歐姆定律得

ε+εL=iR

由于不計(jì)電阻，所以有

(4)

右邊框受力F=iaB0，根據(jù)牛頓第二定律，得

求導(dǎo)得

(5)

聯(lián)立式(4)、(5)得微分方程

初始條件當(dāng)t=0時(shí)，v=v0，a=0．

輸入>>syms x v a B0 L m t v0

解得

即速度方程為

又由于

所以

初始條件t=0時(shí)，x=0．

輸入syms x v a B0 L m t v0

(1/2)*t)，t)

解得

即位移方程為

參考文獻(xiàn)

1 黃忠霖，黃京．Matlab 符號(hào)運(yùn)算及其應(yīng)用．北京：國防工業(yè)出版社，2004

2 朱國強(qiáng)．應(yīng)用Matlab求解物理方程．中國教育信息化，2012(3)

3 朱國強(qiáng)．高中物理培優(yōu)基礎(chǔ)教程(第二版)．杭州：浙江大學(xué)出版社，2012,318～319，441～442