小波包多閾值去噪法及其在形變分析中的應(yīng)用

章浙濤，朱建軍，匡翠林，周 璀

中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410083

小波包多閾值去噪法及其在形變分析中的應(yīng)用

章浙濤，朱建軍，匡翠林，周 璀

中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410083

在形變分析中，傳統(tǒng)的小波去噪只保留低頻上的有用信息，很容易去掉中頻以及高頻上的有用信息。小波包分析方法則同時(shí)考慮了各個(gè)頻段上的有用信息，因此是一種更為精細(xì)的去噪方法，小波包去噪的關(guān)鍵是對(duì)小波包分解系數(shù)選取合適的閾值準(zhǔn)則并進(jìn)行閾值處理，但傳統(tǒng)的小波包去噪并沒(méi)有對(duì)此進(jìn)行充分的研究。針對(duì)傳統(tǒng)小波、小波包分析的不足，本文提出一種基于頻率順序并依據(jù)信息類型分段的多閾值準(zhǔn)則小波包去噪法。通過(guò)理論分析與實(shí)際應(yīng)用，結(jié)果表明該方法能夠高效剔除各頻段的噪聲，同時(shí)當(dāng)采樣頻率較低時(shí)能有效保留去噪信號(hào)中頻率較高的有用信息，其去噪能力優(yōu)于傳統(tǒng)的小波、小波包等其他去噪方法，因此可以廣泛應(yīng)用于高精度變形監(jiān)測(cè)領(lǐng)域中。

小波包分析；變形監(jiān)測(cè)；數(shù)據(jù)去噪；頻率順序；多閾值準(zhǔn)則

1 引 言

小波分析因其具有良好的時(shí)頻特性，已被廣泛應(yīng)用于形變分析中，并取得了不錯(cuò)的效果［1］。例如對(duì)高層建筑的動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)［2-3］，礦層的移動(dòng)分析［4］以及大壩的變形預(yù)報(bào)［5］等。但小波分析主要是提取低頻有用信息，容易忽略中頻以及高頻有用信息，這會(huì)對(duì)高精度GPS變形監(jiān)測(cè)的分析結(jié)果產(chǎn)生不良影響。例如對(duì)高層建筑進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)，不僅要監(jiān)測(cè)出其主模態(tài)的振動(dòng)頻率，有時(shí)還需提取其風(fēng)致振動(dòng)變形、臺(tái)風(fēng)暴雨等極端天氣引起的變形信息，這些變形信息的振動(dòng)頻率已高達(dá)甚至超過(guò)10－1Hz［6］，當(dāng)采樣頻率較低時(shí)傳統(tǒng)的小波分析就容易產(chǎn)生過(guò)度去噪的現(xiàn)象，無(wú)法準(zhǔn)確提取有用信息。小波包分析是一種新的小波分析方法，具有更好的去噪能力，它不僅像小波分析一樣對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的低頻部分進(jìn)行分解，還能對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的高頻部分進(jìn)行分解，能相對(duì)有效地提取各頻段的有用信息［7］。目前，小波包分析已在數(shù)據(jù)去噪［8］、振動(dòng)信息提?。?］等變形監(jiān)測(cè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。其中小波包應(yīng)用的關(guān)鍵是對(duì)小波包分解系數(shù)選取合適的閾值準(zhǔn)則并進(jìn)行閾值處理，現(xiàn)今已有了諸如改進(jìn)的單閾值處理［10］和普通的多閾值處理［11-12］的方法，較傳統(tǒng)小波包去噪的效果有一定改善，但是上述方法并沒(méi)有完全充分考慮信號(hào)及其噪聲的分布，去噪精度有待進(jìn)一步提高。

如何對(duì)小波包分解系數(shù)排序重組并進(jìn)行多閾值處理是高精度去噪的關(guān)鍵問(wèn)題。文獻(xiàn)［11］的方法是對(duì)小波包樹(shù)的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)和最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了特殊化處理，雖然提高了去噪精度，但是事實(shí)上最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)并不是頻率最高部分，如果不按照小波包樹(shù)節(jié)點(diǎn)的頻率順序，而利用小波包樹(shù)分解的自然順序進(jìn)行多閾值處理，雖然能夠?qū)Ω哳l部分的噪聲進(jìn)行相對(duì)有效地處理，但卻是一種比較粗糙的多閾值處理方法。文獻(xiàn)［12］的方法是依據(jù)小波包分解系數(shù)的能量來(lái)進(jìn)行分組，同樣提高了去噪精度，并且比文獻(xiàn)［11］的方法更為精確，但是當(dāng)各個(gè)頻段中噪聲污染不穩(wěn)定時(shí)，即噪聲污染比較復(fù)雜，已嚴(yán)重影響了信號(hào)的能量分布，這時(shí)候根據(jù)能量來(lái)進(jìn)行分組會(huì)對(duì)有用信息的提取造成困難。

基于這些問(wèn)題，本文提出了一種小波包去噪方法，即根據(jù)不同信號(hào)及其噪聲的分布，對(duì)小波包分解系數(shù)按照頻率大小的順序進(jìn)行排列，依據(jù)信息類型分段，對(duì)每個(gè)頻段選取合適的閾值準(zhǔn)則并進(jìn)行閾值處理。它是一種基于頻率順序的多閾值準(zhǔn)則（the multi-threshold criteria based on frequency order）小波包去噪法，稱為FMC法。理論和實(shí)例證明，該方法去噪能力優(yōu)于傳統(tǒng)方法，并且能夠有效提取信號(hào)中各頻段的有用信息，可以高效處理變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。

2 小波包多閾值去噪法的關(guān)鍵技術(shù)

2.1 小波包分解系數(shù)的排序重組

小波包理論的分解算法和重構(gòu)算法的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下［9］。

式中，h、g為濾波器系數(shù)；d為小波包分解系數(shù)；p、t為分解層數(shù)；j、k為小波包節(jié)點(diǎn)號(hào)。

由于噪聲在頻率域上的分布主要集中在頻率較高的部分［13-14］。因此在利用小波包去噪時(shí)，假如不同頻段信息采用同一種閾值處理方法，或者同一個(gè)頻段信息采用不同閾值處理方法勢(shì)必會(huì)影響去噪精度。因此如何準(zhǔn)確劃分頻段是進(jìn)行多閾值去噪的關(guān)鍵問(wèn)題。這里提出了一種按照頻率大小順序排列，并依據(jù)信息類型重組的劃分方法。根據(jù)小波包變換理論，它可以將隱含在低頻、中頻、高頻中的有用信息提取出來(lái)，以分3層為例，信號(hào)分解如圖1（a）所示。以采樣頻率為2 Hz的GPS變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例，同時(shí)根據(jù)那奎斯特（Nyquist）采樣定理，將信號(hào)用小波包分解如圖1（b）所示。然后再將第3層每一個(gè)小波包樹(shù)節(jié)點(diǎn)與圖1（a）進(jìn)行逐一對(duì)應(yīng)，得表1。

圖1 小波包3層分解節(jié)點(diǎn)號(hào)及頻率分解示意圖Fig．1 Three layers of decomposition node numbers and frequency decompositions with wavelet packet

通過(guò)表1可以發(fā)現(xiàn)，小波包樹(shù)節(jié)點(diǎn)的自然順序與頻率順序存在不一致現(xiàn)象。最低頻部分對(duì)應(yīng)的是第1個(gè)節(jié)點(diǎn)，最高頻部分對(duì)應(yīng)的是第5個(gè)節(jié)點(diǎn)。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是由于小波包分解時(shí)，高通濾波器會(huì)進(jìn)行一次“翻轉(zhuǎn)”操作。可以通過(guò)小波包的性質(zhì)證明，任何小波包的分解都會(huì)產(chǎn)生自然順序與頻率順序不一致的現(xiàn)象，并且不一致的現(xiàn)象的情況是一樣的［15］。因此，小波包每分解一層時(shí)，低頻分解部分按頻率從小到大排列，高頻部分按頻率從大到小排列。在變形監(jiān)測(cè)領(lǐng)域，因?yàn)樵肼暦植己皖l率順序緊密相關(guān)，因此需要的是頻率順序而不是自然順序。

表1 第3層小波包樹(shù)節(jié)點(diǎn)號(hào)與小波包分解頻率對(duì)應(yīng)表Tab.1 The third layer of wavelet packet tree nodes corresponding to the frequency of wavelet packet decompositions

在形變分析中，往往有需要集中保留的頻段以及集中去噪的頻段。例如圖1（b）情況的分解，如果需要監(jiān)測(cè)0．15 Hz的建筑物主模態(tài)振動(dòng)頻率信息，根據(jù)計(jì)算，［3，0］、［3，1］為有用信息集中頻段，即為低頻段；而噪聲污染情況一般，［3，4］為無(wú)用信息集中頻段，即為高頻段；其余節(jié)點(diǎn)為過(guò)渡頻段，即為中頻段。因此，可以根據(jù)需要監(jiān)測(cè)的頻段以及噪聲污染情況，對(duì)小波包分解系數(shù)進(jìn)行分組，即為依據(jù)信息類型重組的方法。

具體而言，根據(jù)信號(hào)及其噪聲的分布，以分3層為例，設(shè)α為低頻段比例系數(shù)，β為高頻段比例系數(shù)，n為信號(hào)分解層數(shù)。則有小波包樹(shù)節(jié)點(diǎn)分組如（3）所示。需要指出的是，在某些特殊情況下，也可以對(duì)頻段進(jìn)一步細(xì)分，分為低頻、次低頻、中頻、次高頻以及高頻，但基本原理不變。

式中，小波包樹(shù)節(jié)點(diǎn)［n，m0］、［n，m1］、…、［n，m2n－1］按頻率順序從小到大進(jìn)行排列。

2.2 小波包分解系數(shù)的多閾值處理

單一閾值準(zhǔn)則由于沒(méi)有充分考慮信號(hào)及其噪聲的分布，因此去噪時(shí)很容易出現(xiàn)去噪效果不明顯或是去噪過(guò)度等現(xiàn)象，而多閾值準(zhǔn)則就很好地克服了上述缺點(diǎn)。多閾值準(zhǔn)則的基本思想就是根據(jù)一定法則，對(duì)每個(gè)小波包分解系數(shù)靈活的選用不同閾值準(zhǔn)則，從而最大程度地保留有用信息，去掉無(wú)用信息。小波包分析中常用的四種閾值準(zhǔn)則包括固定形式閾值準(zhǔn)則（sqtwolog）、自適應(yīng)閾值準(zhǔn)則（rigrsure）、啟發(fā)式閾值準(zhǔn)則（heursure）以及極小化極大閾值準(zhǔn)則（minimaxi）［16］，由于各自的選取規(guī)則不一，去噪效果不盡相同。因此，每一個(gè)小波包分解系數(shù)都有它最合適的閾值準(zhǔn)則。

（1）固定形式閾值準(zhǔn)則。它所采用的是固定形式的閾值，其公式為

式中，σ為噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差；N為信號(hào)長(zhǎng)度。

（2）自適應(yīng)閾值準(zhǔn)則。它是基于Stein的無(wú)偏似然估計(jì)原理的一種閾值，其公式為

式中，σ為噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差；Qa為依據(jù)無(wú)偏似然估計(jì)原理而得到的小波包分解系數(shù)的平方。

（3）啟發(fā)式閾值準(zhǔn)則。它是一種無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值，是前兩種閾值準(zhǔn)則的綜合，選取規(guī)則為

（4）極小化極大閾值準(zhǔn)則。也是一種固定形式的閾值，是在最壞條件下求最大均方誤差的最小值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上叫做“悲觀法”，選取規(guī)則為

式中，σ為噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差；N為信號(hào)長(zhǎng)度。

4種閾值準(zhǔn)則都有其各自特點(diǎn)。其中，sqtwolog閾值準(zhǔn)則以及heursure閾值準(zhǔn)則兩種方法類似，都是將全部系數(shù)進(jìn)行了處理［17-18］，因此可以較強(qiáng)地去除噪聲，與之相對(duì)應(yīng)的，容易過(guò)度去噪，因而可以稱之為“激進(jìn)”的去噪準(zhǔn)則，適合處理GPS信號(hào)的高頻部分。rigrsure閾值準(zhǔn)則以及minimaxi閾值準(zhǔn)則是將部分系數(shù)進(jìn)行了處理［17-18］，是一種較為折中的處理方法，因此，它可以防止過(guò)度去噪，與之相對(duì)應(yīng)的容易出現(xiàn)去噪不明顯的現(xiàn)象，因而可以稱之為“保守”的去噪準(zhǔn)則，適合處理低頻部分。其中，中頻段更適合采用rigrsure閾值準(zhǔn)則以及minimaxi閾值準(zhǔn)則［11，15，19］。

為此，建立如表2所示的多閾值準(zhǔn)則選取表，以用于對(duì)小波包分解系數(shù)的閾值處理。

表2 多閾值準(zhǔn)則選取表Tab.2 The selections of multi-threshold criteria

2.3 算法步驟

基于頻率順序并依據(jù)信息類型進(jìn)行分段的小波包多閾值準(zhǔn)則處理方法是一種精度較高的去噪方法。下面給出其算法步驟，以分高中低3個(gè)頻段為例。

（1）小波包分解。根據(jù)所給信號(hào)選定一個(gè)合適的小波基函數(shù)φ以及決定所需的分解層次n，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包分解，得到小波包樹(shù)。

（2）優(yōu)化小波包樹(shù)（可選）。確定熵標(biāo)準(zhǔn)從而選定最優(yōu)小波基，得到最優(yōu)樹(shù)。

（3）根據(jù)信號(hào)及其噪聲的分布，選定低頻段比例系數(shù)α和高頻段比例系數(shù)β。其中，有用信息集中的頻段越多，α越大；無(wú)用信息集中的頻段越多，β越大。通過(guò)排序重組，得到各頻段的小波包樹(shù)節(jié)點(diǎn)信息。

（4）根據(jù)表2的選取標(biāo)準(zhǔn)，決定低頻段閾值準(zhǔn)則A、中頻段閾值準(zhǔn)則B、高頻段閾值準(zhǔn)則C，對(duì)各頻段的小波包分解系數(shù)分別進(jìn)行閾值處理。

（5）小波包重構(gòu)。對(duì)處理后的小波包分解系數(shù)進(jìn)行小波包重構(gòu)，最終得到去噪信號(hào)。

3 仿真試驗(yàn)

為了驗(yàn)證此法的有效性和優(yōu)越性，進(jìn)行了一系列的對(duì)比分析。以Matlab為平臺(tái)，使用評(píng)價(jià)小波去噪效果質(zhì)量的兩種專用測(cè)試信號(hào)：blocks信號(hào)和doppler信號(hào)，在這些信號(hào)上加上高斯白噪聲，信噪比為10 d B，信號(hào)長(zhǎng)度為1024個(gè)采樣點(diǎn)，采樣頻率為1 Hz。這兩種信號(hào)都為非平穩(wěn)信號(hào)，前者具有突變性，后者具有漸變性，因此基本涵蓋了變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。其加噪信號(hào)如圖2所示。選用均方根誤差（RMSE）、信噪比（SNR）以及與真實(shí)信號(hào)的相關(guān)系數(shù)（r）為評(píng)價(jià)指標(biāo)［20］，用來(lái)定量比較去噪效果，其中均方根誤差越小、信噪比越大、相關(guān)系數(shù)越高則去噪效果越好。

圖2 兩種加噪信號(hào)Fig．2 Two noisy signals

為了較為全面地認(rèn)識(shí)基于頻率順序的多閾值準(zhǔn)則（FMC）小波包去噪法的去噪效果，將上述測(cè)試信號(hào)分別用小波通用去噪，小波包強(qiáng)制去噪，小波包單一全局閾值準(zhǔn)則去噪（sqtwolog，rigrsure，heursure，minimaxi），文獻(xiàn)［11］的方法以及FMC法進(jìn)行處理，每種方法得到對(duì)應(yīng)的RMSE、SNR以及r。上述各方法若涉及選取小波基的，均使用工程實(shí)際中被廣泛應(yīng)用的db4小波基，db4小波基具有正交性，可以任意分解，另外還有保證高頻信息不丟失的高度緊支撐性［21］。根據(jù)信噪比，分解層數(shù)定為3層。涉及閾值類型的選取時(shí)都采用軟閾值，這樣可以更好地保護(hù)有用信息。參數(shù)的統(tǒng)一還可以保證去噪效果僅與分解方法（小波與小波包）、閾值準(zhǔn)則以及頻率順序有關(guān)。使用小波通用去噪的目的是作為一個(gè)基準(zhǔn)，因?yàn)榇朔ň哂泻?jiǎn)單、快速、穩(wěn)定的特點(diǎn)，在實(shí)際工程應(yīng)用中被廣泛使用。使用小波包強(qiáng)制去噪的目的是為了比較沒(méi)有帶閾值準(zhǔn)則的處理與帶閾值準(zhǔn)則的處理的差別。分別利用4種閾值準(zhǔn)則進(jìn)行小波包單一全局閾值準(zhǔn)則去噪是為了比較單一閾值準(zhǔn)則的處理與多閾值準(zhǔn)則的處理的差別。使用文獻(xiàn)［11］的方法去噪是為了驗(yàn)證基于頻率順序并依據(jù)信息類型排序重組的有效性，其中，節(jié)點(diǎn)［3，0］采用minimaxi準(zhǔn)則，節(jié)點(diǎn)［3，7］采用sqtwolog準(zhǔn)則，其余節(jié)點(diǎn)采用rigrsure準(zhǔn)則。

圖3是利用FMC法對(duì)兩種加噪信號(hào)進(jìn)行去噪的結(jié)果。具體過(guò)程如下：選定db4為小波基函數(shù)，分解層數(shù)為3，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包分解，得到小波包樹(shù)；熵標(biāo)準(zhǔn)定為Shannon，優(yōu)化小波基，得到最優(yōu)樹(shù)；根據(jù)信號(hào)及其噪聲的分布，設(shè)低頻段比例系數(shù)α＝1／8，高頻段比例系數(shù)β＝1／8，重組小波包樹(shù)節(jié)點(diǎn)，具體而言，低頻段節(jié)點(diǎn)為［3，0］，高頻段節(jié)點(diǎn)為［3，4］，其余節(jié)點(diǎn)分在中頻段；依據(jù)表2，選低頻段閾值準(zhǔn)則A為minimaxi、中頻段閾值準(zhǔn)則B為rigrsure、高頻段閾值準(zhǔn)則C為sqtwolog，分別對(duì)小波包樹(shù)節(jié)點(diǎn)系數(shù)進(jìn)行閾值處理，具體而言，節(jié)點(diǎn)［3，0］采用minimaxi準(zhǔn)則，節(jié)點(diǎn)［3，4］采用sqtwolog準(zhǔn)則的，其余節(jié)點(diǎn)采用rigrsure準(zhǔn)則；對(duì)處理后的小波包分解系數(shù)進(jìn)行小波包重構(gòu)，得到去噪信號(hào)。

圖3 兩種去噪信號(hào)（FMC法）Fig．3 Two de-noising signals（FMC）

將各種去噪方法后得到的信號(hào)的均方根誤差、信噪比以及相關(guān)系數(shù)列表如表3所示。

表3 各種方法去噪效果比較Tab.3 The result comparison between different de-noising methods

由表3可知，F(xiàn)MC法去噪后的均方根誤差最小，信噪比最大，相關(guān)系數(shù)最高，因此去噪效果最好。通過(guò)分析可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：所有方法都可以不同程度地去噪，因此可以應(yīng)用于GPS變形監(jiān)測(cè)領(lǐng)域；去噪效果最差的是小波包強(qiáng)制去噪，原因是因?yàn)闆](méi)有利用到閾值準(zhǔn)則，這在調(diào)整系數(shù)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生很多誤差，因此必要的閾值準(zhǔn)則是提高去噪效果的有效方法；小波包單一全局閾值準(zhǔn)則去噪效果優(yōu)于小波通用去噪，說(shuō)明小波包去噪的精度整體上是優(yōu)于小波去噪的；4種閾值準(zhǔn)則的去噪效果相當(dāng)，對(duì)于不同信號(hào)，各有優(yōu)劣，如何正確認(rèn)識(shí)信號(hào)以及閾值準(zhǔn)則的特點(diǎn)并靈活使用，是一個(gè)值得注意的問(wèn)題；FMC法和文獻(xiàn)［11］的方法去噪效果優(yōu)于小波包單一全局閾值準(zhǔn)則去噪，說(shuō)明多閾值準(zhǔn)則處理能夠提高去噪精度；FMC法去噪效果優(yōu)于文獻(xiàn)［11］的方法，證明基于頻率順序并依據(jù)信息類型排序重組可以切實(shí)提高精度。

4 工程實(shí)例

為了驗(yàn)證該法在實(shí)際工程中的去噪效果，進(jìn)行了一組試驗(yàn)。數(shù)據(jù)是從某教學(xué)樓頂連續(xù)觀測(cè)所得的GPS數(shù)據(jù)，基線長(zhǎng)度約為13 m，數(shù)據(jù)采樣率為1 Hz，連續(xù)觀測(cè)7 d，經(jīng)雙差解算、多路徑重復(fù)性周期對(duì)齊之后等預(yù)處理而得到y(tǒng)方向的坐標(biāo)殘差數(shù)據(jù)。這7 d數(shù)據(jù)具有高度相關(guān)性，其中存在著多路徑效應(yīng)、建筑物主模態(tài)的振動(dòng)頻率，以及風(fēng)致振動(dòng)變形等信息，所有這些有用信息的振動(dòng)頻率達(dá)到10－1Hz數(shù)量級(jí)。

利用FMC法對(duì)該GPS變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪。根據(jù)原始信號(hào)特點(diǎn)，選定具有正交性以及保證高頻信息不丟失的高度緊支撐性的db4為小波基函數(shù)，熵標(biāo)準(zhǔn)定為shannon；根據(jù)小波包分解性質(zhì)以及那奎斯特采樣定理，采樣頻率為1 Hz，所需要的小波包分解系數(shù)分辨率為0．01 Hz，分解層數(shù)為5時(shí)分辨率為0．015 625 Hz，符合要求，確定分解層數(shù)為5；根據(jù)原理，0．015 625為每一個(gè)小波包分解系數(shù)的頻段大小，而有用信息高達(dá)10－1Hz，因此低頻段和中頻段的分界點(diǎn)為0．1 Hz，即低頻段比例系數(shù)α＝8／32，又噪聲污染情況一般，即高頻段比例系數(shù)β＝4／32；依據(jù)表2，選定閾值準(zhǔn)則A為minimaxi、B為rigrsure、C為sqtwolog。具體而言，節(jié)點(diǎn)［5，0］、［5，1］、［5，3］、［5，2］、［5，7］、［5，6］、［5，4］、［5，5］采用minimaxi準(zhǔn)則，節(jié)點(diǎn)［5，23］、［5，22］［5，20］、［5，21］采用sqtwolog準(zhǔn)則，其余節(jié)點(diǎn)采用rigrsure準(zhǔn)則。以第1天為例，原始信號(hào)和去噪信號(hào)如圖4所示，從結(jié)果可以看出去噪后信號(hào)的噪聲得到了有效剔除。

此外，還使用小波通用去噪、文獻(xiàn)［11］的方法對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行了去噪。并計(jì)算了第一天與后面各天坐標(biāo)殘差間的原始相關(guān)系數(shù)與各種方法得到的新的相關(guān)系數(shù)r，如表4所示；表5同時(shí)計(jì)算了各天坐標(biāo)殘差的標(biāo)準(zhǔn)偏差。通過(guò)分析能夠發(fā)現(xiàn)，所有經(jīng)去噪后的信號(hào)中，F(xiàn)MC法處理后的相關(guān)系數(shù)提高最明顯，標(biāo)準(zhǔn)偏差最小，由此最大程度地去除了噪聲的污染，去噪效果最好。

表4 第1天與后面各天坐標(biāo)殘差間的相關(guān)系數(shù)表Tab.4 Correlation coefficients between the first coordinate residual and others

表5 各天坐標(biāo)殘差的標(biāo)準(zhǔn)偏差表Tab.5 Standard deviations of coordinate residuals mm

為更直觀地說(shuō)明本方法去噪效果好的原理，圖5給出了利用welch平均周期圖法得到的原始信號(hào)、FMC法去噪信號(hào)以及傳統(tǒng)小波去噪信號(hào)的功率譜密度估計(jì)圖。由圖5能夠看出，兩種去噪信號(hào)的功率譜密度在10－2Hz以下的信息都得到了很好的保留，已基本滿足去噪需要；而在大于10－1Hz的信息部分，F(xiàn)MC法的去噪之后的功率譜從形狀以及減弱情況來(lái)看也比小波去噪要好。通過(guò)圖5放大圖可以發(fā)現(xiàn)，在高精度GPS變形監(jiān)測(cè)所需要保留的10－2～10－1Hz的信息，傳統(tǒng)小波去噪之后的功率譜密度與原信號(hào)的功率譜密度相差較大，而FMC法則更接近原信號(hào)，保留了有用信息。因此，在高精度GPS變形監(jiān)測(cè)中，F(xiàn)MC法去噪能夠防止去噪不明顯或去噪過(guò)度等現(xiàn)象，是一種穩(wěn)定的去噪方法。

圖5 功率譜密度圖Fig．5 Power spectrum density

5 結(jié) 論

通過(guò)試驗(yàn)分析與工程應(yīng)用，可以發(fā)現(xiàn)本文方法去噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)的小波、小波包去噪方法以及其他改進(jìn)的小波包去噪方法。本文的創(chuàng)新點(diǎn)如下：①傳統(tǒng)小波、小波包去噪并沒(méi)有充分考慮信號(hào)及其噪聲的分布，而基于頻率順序并依據(jù)信息類型劃分的多閾值準(zhǔn)則處理方法，可以在剔除噪聲的同時(shí)有效保護(hù)各頻段的有用信息；②基于頻率順序并依據(jù)信息類型劃分的觀點(diǎn)用于小波去噪，這為小波、小波包的多閾值準(zhǔn)則去噪提供了一種思路。

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（責(zé)任編輯：宋啟凡）

Multi-threshold Wavelet Packet De-noising Method and lts Application in Deformation Analysis

ZHANG Zhetao，ZHU Jianjun，KUANG Cuilin，ZHOU Cui
School of Geosciences and lnfo-Physics，Central South University，Changsha 410083，China

ln the field of deformation monitoring，the traditional wavelet de-noising method retains only the low frequency of useful information．lt is easy to get rid of intermediate frequency and high frequency useful information．The wavelet packet analysis is a new kind of wavelet analysis method developed in recent years，which is a more subtle de-noising method for considering useful information of the various bands．The key of the wavelet packet de-noising is to select the appropriate threshold criteria and to process the wavelet packet decomposition coefficients by the threshold，but the researches using traditional wavelet packet de-noising method are not sufficient．This article is for the lack of traditional wavelet and wavelet packet analysis．According to the distribution of different signals and their noise，wavelet packet decomposition coefficients are arranged by the frequency order，and segmented in accordance with information type，to select the appropriate threshold criteria for each band and to perform threshold processing．lt is the method of wavelet packet de-noising with multi-threshold criteria based on frequency order．The results show that this method can effectively remove the noise of each band through theoretical analysis and practical applications．The de-noising ability of this method is better than the other methods such as traditional wavelet de-noising or wavelet packet de-noising．Studies have shown that this method can preserve the useful information from the de-noising signal after de-noising when the sampling frequency is low．Therefore，it can be widely used in the field of high-precision deformation monitoring．

wavelet packet analysis；deformation monitoring；data de-noising；frequency order；multithreshold criteria

ZHANG Zhetao（1988—），male，postgraduate，majors in modern surveying data processing．

P207

A

1001-1595（2014）01-0013-08

國(guó)家973計(jì)劃子課題（2013CB733303）；國(guó)家863計(jì)劃（2012AA121301）；國(guó)家自然科學(xué)基金（41274010；40974007）；中南大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（2013zzts254）

2012-12-27

章浙濤（1988—），男，碩士生，主要從事現(xiàn)代測(cè)量數(shù)據(jù)處理理論方面的研究。

E-mail：zhetaozhang＠y eah．net

ZHANG Zhetao，ZHU Jianjun，KUANG Cuilin，et al．Multi-threshold Wavelet Packet De-noising Method and Its Application in Deformation Analysis［J］．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2014，43（1）：13-20．（章浙濤，朱建軍，匡翠林，等小波包多閾值去噪法及其在形變分析中的應(yīng)用［J］．測(cè)繪學(xué)報(bào)，2014，43（1）：13-20．）

10．13485／j．cnki．11-2089．2014．0003

修回日期：2013-06-25