幾個(gè)恒等式及其組合方法的證明

周 恩，霍元極

（1.海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，海南瓊海571400；2.河北北方學(xué)院數(shù)學(xué)系，河北張家口075000）

幾個(gè)恒等式及其組合方法的證明

周 恩1，霍元極2

（1.海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，海南瓊海571400；2.河北北方學(xué)院數(shù)學(xué)系，河北張家口075000）

設(shè)FFq是q個(gè)元素的有限域，其中q是素?cái)?shù)的冪，F(xiàn)Fnq是FFq上n維向量空間，用表示Gaussian系數(shù)，它可看做FFnq的m維子空間的個(gè)數(shù).運(yùn)用組合方法證明了幾個(gè)已知的Gaussian系數(shù)恒等式，并給出幾個(gè)新的Gaussian系數(shù)恒等式和它的組合方法證明.

恒等式；組合方法；Gaussian系數(shù)；有限域；子空間

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)FFq是q個(gè)元素的有限域，其中q是素?cái)?shù)的冪，并且FFnq是FFq上的n維行向量空間，在文獻(xiàn)［1］中，Gaussian系數(shù)用表示，它可看做的m維子空間的個(gè)數(shù).文獻(xiàn)［1］給出一些Gaussian系數(shù)恒等式，在這里多采用代數(shù)方法來證明.本文對(duì)其中的一些恒等式給出了組合方法證明，并且給出幾個(gè)新的Gaussian系數(shù)恒等式，同樣采用組合方法給出它們的證明.在證明中也用到文獻(xiàn)［2－3］中的一些方法.本文未介紹的名詞和術(shù)語見文獻(xiàn)［1，4－5］，并且引用文獻(xiàn)［1，6］中的一些結(jié)果.

定義1［5］設(shè)m是非負(fù)整數(shù)，q≠1為復(fù)數(shù)，而x是未定元，令

命題1［5］設(shè)m和n都是非負(fù)整數(shù)，q是素?cái)?shù)的冪，那么FFnq中m維子空間的個(gè)數(shù)恰是

2 主要結(jié)果

命題2［4］設(shè)0≤m≤n，那么

命題3［1］設(shè)0≤m≤n，那么

其中系數(shù)al是l的分拆數(shù)（見文獻(xiàn)［2］），l的Ferrers圖適合規(guī)模m（n－m）的方格.

由命題2和命題3，可得下面的結(jié)論.

定理1［1］設(shè)0≤m≤n，那么

其中al是l的分拆數(shù)，l的Ferrers圖適合規(guī)模m（n－m）的方格.

定理2 設(shè)k，m，n是非負(fù)整數(shù)，并且min｛m，n｝≥k.那么

證明 設(shè)A是FFq上秩為k的k×n矩陣，那么A合同于階梯形矩陣：

令M（j1，j2，…，jk）是矩陣表示為（3）的FFnq的k維子空間的個(gè)數(shù)，由階梯形矩陣表示的唯一性，那么

因?yàn)?/p>

所以

由（4）式可得

和

因而

因此（2）式成立.

推論1 設(shè)0＜k≤n＋1，那么

推論2 設(shè)0＜k≤n，那么

推論3 設(shè)k，n是非負(fù)整數(shù)k≤n，那么

由文獻(xiàn)［3］中的定理2.1，有如下命題.

命題4 設(shè)0≤k≤n，那么FFq中秩為k的n×n矩陣的個(gè)數(shù)是

定理3 設(shè)0≤k≤n，那么

證明 考慮FFq上n×n矩陣（aij）1≤i，j≤n的個(gè)數(shù).顯然，（5）式等號(hào)右邊是FFq上矩陣（aij）1≤i，j≤n的個(gè)數(shù)qn2.

因?yàn)椋╝ij）1≤i，j≤n的個(gè)數(shù)＝n×n矩陣中0矩陣的個(gè)數(shù)＋秩為1的n×n矩陣的個(gè)數(shù)＋秩為2的n×n矩陣的個(gè)數(shù)＋…＋秩為n的n×n矩陣的個(gè)數(shù).由命題4，可得

再由（1）式，有

它是（5）式等號(hào)的左邊，因此（5）式成立.

命題5［1］設(shè)0≤m≤n，那么從到m維向量空間U的滿射線性變換的數(shù)目是

定理4 設(shè)0≤m≤n，那么FFq上秩為r的m×n矩陣（aij）1≤i，j≤r的數(shù)目是

證明 設(shè)W是m維向量空間U的一個(gè)r維子空間，把W的一個(gè)基β1，β2，…，βr，擴(kuò)張為U的基β1，β2，…，βr，βr＋1，…，βm.令σ是FFnq到W的一個(gè)滿射線性變換，使得σ（αi）＝βi，1≤i≤r，那么σj（r＋1≤j≤n），可由σ（α1），σ（α2），…，σ（αr）線性表示.我們可把σ看做FFnq到U的一個(gè)滿射線性映射，所以

考慮到σ（α1），σ（α2），…，σ（αr）線性無關(guān)，所以矩陣（aij）1≤i≤m，1≤j≤n的前r列線性無關(guān)，而它其余的列向量可由其前r列線性表示，所以rank（aij）＝r.

反之，設(shè)rank（aij）1≤i≤m，1≤j≤n＝r，不妨設(shè)（aij）1≤i≤m，1≤j≤n的前r列線性無關(guān).令σ（αl）由（7）式線性表示，那么σ（α1），σ（α2），…，σ（αr）線性無關(guān)，向量組σ（α1），σ（α2），…，σ（αn）可由σ（α1），σ（α2），…，σ（αr）線性表示，所以σ是FFnq到U的r維子空間W＝〈σ（α1），…，σ（αr）〉的一個(gè)線性變換（滿射）.因此，F(xiàn)Fnq到U的一個(gè)r維子空間滿射線性變換σ，在FFnq和U的一個(gè)r維子空間取定基后，σ與秩為r的矩陣（aij）1≤i≤m，1≤j≤n之間是一一對(duì)應(yīng)的.由命題5可得，F(xiàn)Fnq到U的一個(gè)r維子空間滿射線性映射數(shù)目是

定理5 設(shè)0≤m≤n，那么

證明 由文獻(xiàn)［2］中定理2.1，F(xiàn)Fq上秩為r的m×n矩陣的數(shù)目是

再由定理4，有（5）式成立.因此（8）式成立.

命題6 設(shè)n≥1，那么

上式右端恰好是（9）式左端tr的系數(shù).

證明

定理8 設(shè)k是非負(fù)整數(shù)，n是正整數(shù)，那么

證明 對(duì)n施行數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n＝1時(shí)，

假設(shè)n＝l時(shí)，（10）式成立.我們來證明n＝l＋1時(shí)，（10）式成立.因?yàn)?/p>

由定理7和歸納假設(shè)可知，上式右端等于

即

由歸納假設(shè)，有

所以，由（11）和（12）式，有

因此，（10）式成立.

令

那么

上式右端tk的系數(shù)數(shù)目是hr（x0，x1，…，xn－1），令x0＝1，x1＝q，…，xn－1＝qn－1，那么由定理8有下面的結(jié)論.

推論4 設(shè)n是正整數(shù)，k是非負(fù)整數(shù)，那么

［1］ VAN LINT J H，WILSON R M.A course in combinatorics［M］.Second Edition.Beijing：China Machine Press，2004：325－350.

［2］ 宋元鳳，南基洙.利用有限域上Ⅱ－Jordan型冪零矩陣構(gòu)造Cartesian認(rèn)證碼［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，44（3）：37－42.

［3］ YANGXIAN WANG，YUANJI HUO CHANGLIMA.Association schemes of matrices［M］.Beijing：Science Press，2011：36－51.

［4］ WAN ZHEXIAN.Geometry of classical groups over finite fieldsb second edition［M］.Beijing，New York：Science Prees，2002：1－7.

［5］ 陳修煥.恒等式的幾何意義及其組合證明［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，38（22）：181－184.

［6］ 鐘裕林，霍元極.奇異典型群作用下子空間軌道的長(zhǎng)度［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，44（1）：36－40.

Several identity and their combination method is proved

ZHOU En1，HUO Yuan－ji2
（1.Department of Basic，Hainan College of Software Technology，Qinghai 571400，China；2.Department of Mathematics，Hebei North University，Zhangjiakou，075000，China）

LetFFqbe afinite field with q elements，where q is apower of aprime andFFnqbe the n－dimensional row vector space，and denote the Gaussian coefficient bywhich as numbers of subspaces overFFq.First，proved several Gauusian coefficient identity with the combinatorial method，then several Gauusian coefficient identity are given and their proofs with the combinatorial method.

identity；combinatorial method；Gaussian coefficient；subspace；finite field

O 153 ［學(xué)科代碼］ 110·21

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000－1832（2014）02－0040－05

10.11672／dbsdzk2014－02－009

2013－03－04

海南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（113009）.

周恩（1963—），男，教授，主要從事代數(shù)組合論研究.