一類三點(diǎn)邊值問題正解的存在性和唯一性

苗鳳華，宋玥薔

（1.長(zhǎng)春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130032；2.長(zhǎng)春師范大學(xué)科研處，吉林長(zhǎng)春130032；3.吉林大學(xué)符號(hào)計(jì)算與知識(shí)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林長(zhǎng)春130012）

一類三點(diǎn)邊值問題正解的存在性和唯一性

苗鳳華1，宋玥薔2，3

（1.長(zhǎng)春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130032；2.長(zhǎng)春師范大學(xué)科研處，吉林長(zhǎng)春130032；3.吉林大學(xué)符號(hào)計(jì)算與知識(shí)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林長(zhǎng)春130012）

研究了一類帶有遞增同胚和正同態(tài)算子的三點(diǎn)邊值問題，利用偏序集上的不動(dòng)點(diǎn)定理證明了該問題正解的存在性和唯一性，并且證明了這個(gè)正解是嚴(yán)格單調(diào)遞增的.

偏序集；不動(dòng)點(diǎn)定理；正解

本文考慮如下三點(diǎn)邊值問題：

其中φ是遞增同胚和正同態(tài)算子，且φ（0）＝0.

最近，具有遞增同胚和正同態(tài)算子的多點(diǎn)邊值問題正解的存在性和多解性越來越受到廣泛關(guān)注［13］，在假設(shè)非線性項(xiàng)f滿足一定的條件下，可以利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理證明正解的存在性和多解性.但是對(duì)于遞增同胚和正同態(tài)算子的三點(diǎn)邊值問題（1）—（2）正解的唯一性還沒有結(jié)果.為此，本文受文獻(xiàn)［2，4］的啟發(fā)將利用偏序集上的不動(dòng)點(diǎn)定理來證明問題（1）—（2）正解的存在性和唯一性，并且證明這個(gè)正解是嚴(yán)格單調(diào)遞增的.

偏序集上的不動(dòng)點(diǎn)定理以及其應(yīng)用見文獻(xiàn)［4－8］.

1 預(yù)備知識(shí)

首先我們給出本文所要用的偏序集上的不動(dòng)點(diǎn)定理.

定理1.1［5］設(shè)（E，≤）是一個(gè)偏序集，d是E上的一個(gè)度量使得（E，d）是一個(gè)完備的度量空間.假設(shè)E滿足下面的條件：

令T：E→E是一個(gè)非減映射使得

其中ψ：［0，＋∞）→［0，＋∞）是一個(gè)連續(xù)非減函數(shù)，使得ψ在（0，＋∞）上是正的，ψ（0）＝0，并且.如果存在x0∈E，并且x0≤T（x0），那么T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

如果我們考慮（E，≤）滿足條件：

那么我們有下面的結(jié)論.

定理1.2［6］設(shè)（E，≤）是一個(gè)偏序集，d是E上的一個(gè)度量，使得（E，d）是一個(gè)完備的度量空間.假設(shè)E滿足條件（3）和（4），則不動(dòng)點(diǎn)是唯一的.

本文所采用的基本空間是E＝C［0，1］，則E是一個(gè)實(shí)的Banach空間，其范數(shù)為注意到這個(gè)空間可以賦予偏序?yàn)閤，y∈C［0，1］，x≤y?x（t）≤y（t），t∈［0，1］.在文獻(xiàn)［6］中證明了（C［0，1］，≤）有經(jīng)典度量滿足定理1.1中的條件（3）.更進(jìn)一步的，對(duì)任意的x，y∈C［0，1］，函數(shù)max｛x，y｝∈C［0，1］，（C［0，1］，≤）滿足條件（4）.

2 主要結(jié)果及其證明

定理2.1 假設(shè)下面的條件成立：

（Ⅰ）a（t）是一個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)，并且在區(qū)間［0，1］的任何一個(gè)子區(qū)間上不為零，滿足

（Ⅱ）f：［0，＋∞）→［0，＋∞）是連續(xù)的，并且關(guān)于變量u是非減的；f（u（t））?0，對(duì)任意的t∈Z?［0，1］，并且μ（Z）＞0（μ為L(zhǎng)ebesgue測(cè)度）；

則邊值問題（1）—（2）存在唯一且嚴(yán)格單調(diào)遞增的正解u（t）.

證明 首先考慮錐K＝｛u∈C［0，1］：u（t）≥0｝.則K是C［0，1］中的一個(gè)閉子集，賦予距離以后，錐K是一個(gè)完備的度量空間.

其次，考慮算子T，定義

由條件（Ⅰ），（Ⅱ）可知T（K）?K.

最后，我們來證明滿足定理1.1和定理1.2所有的條件.

由條件（Ⅱ）和u≥v可知

這就意味著算子T是非減的.另一方面，由條件（Ⅲ），對(duì)任意的u≥v，我們有

因?yàn)楹瘮?shù)h（x）＝ln（x＋1）是非減的，又由條件（Ⅲ）可知

令ψ（x）＝x－ln（x＋1）.顯然ψ：［0，＋∞）→［0，＋∞）是連續(xù)的，非減且.則對(duì)任意的u≥v有

由條件（Ⅰ）和（Ⅱ）我們知道

因此，由定理1.1知，邊值問題（1）—（2）至少有一個(gè)非負(fù)解.又因?yàn)椋↘，≤）滿足條件（4），所以，由定理1.2證明邊值問題（1）—（2）是唯一的.再由算子T的定義和條件（Ⅰ）—（Ⅱ）易證這個(gè)正解是嚴(yán)格遞增的.證畢.

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［2］ LIU B F，ZHANG J H.The existence of positive solutions for some nonlinear boundary value problems with linear mixed boundary conditions［J］.J Math Anal Appl，2005，309：505－516.

［3］ LIU B F，ZHANG J H.The existence of positive solutions for some nonlinear equation systems［J］.J Math Anal Appl，2006，324：970－981.

［4］ CABALLERO MENA J，HARJANI J，SADARANGANI K.Existence and uniqueness of positive and nondecreasing solutions for a class of singular fractional boundary value problems［J］.Boundary Value Problems，2009：1－10.

［5］ HARJANI J，SADARANGANI K.Fixed point theorems for weakly contractive mappings in partially ordered sets［J］.Nonlinear Anal，2009，71：3403－3410.

［6］ NIETO J J，RODRíGUEZ－LóPEZ R.Contractive mapping theorems in partially ordered sets and applications to ordinary differential equations［J］.Order，2005，22：223－239.

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［8］ REGAN D，PETRUSEL A.Fixed point theorems for generalized contractions in ordered metric spaces［J］.J Math Anal Appl，2008，341：1241－1252.

Existence and uniqueness of positive solutions to a class of three－point boundary value problem

MIAO Feng－h(huán)ua1，SONG Yue－qiang2，3
（1.College of Mathematics，Changchun Normal University，Changchun 130032，China；2.Scientific Research Department，Changchun Normal University，Changchun 130032，China；3.Key Laboratory of Symbolic Computation and Knowledge Engineering of Ministry of Education，Jilin University，Changchun 130012，China）

In this paper，we consider a class of three－point boundary value problem with increasing homeo－morphism and positive homomorphism.By using a fixed－point theorem in partially ordered sets，we obtain the existence and uniqueness of positive and strictly increasing solutions to the above boundary value problem.

partially ordered sets；fixed－point theorem；positive solution

O 175.14 ［學(xué)科代碼］ 110·44

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000－1832（2014）02－0009－03

10.11672／dbsdzk2014－02－002

2013－05－13

吉林省自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目（20130522100JH）；吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（吉教科合字2013第252號(hào)）；教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題項(xiàng)目（93K172013K03）；長(zhǎng)春師范學(xué)院自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2011第02號(hào)）.

苗鳳華（1968—），女，碩士研究生，副教授，主要從事非線性微分方程理論及應(yīng)用研究.