靜電平衡導(dǎo)體表面電荷分布的MATLAB模擬

吳 昊 吳方平 韓仙華

(解放軍理工大學(xué)理學(xué)院 江蘇 南京 211101)

在大學(xué)物理教學(xué)中，關(guān)于靜電平衡的導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷的分布，由于涉及到電動(dòng)力學(xué)的知識(shí)，大學(xué)物理課程不便介紹定量的理論計(jì)算過程.在這方面的教學(xué)研究文獻(xiàn)中，基本可分為以下三類：

第一類是用電場(chǎng)線分布和高斯定理來分析問題，未涉及導(dǎo)體各點(diǎn)處感應(yīng)電荷的定量分布[1,2];

第二類是基于電動(dòng)力學(xué)來分析一些對(duì)稱性較強(qiáng)的情形(球形或橢球形)[3,4]；

第三類給出了個(gè)別情況下導(dǎo)體表面電荷面密度的二維分布圖[5,6].

本文作者受第三類文獻(xiàn)的啟發(fā)，嘗試經(jīng)過電動(dòng)力學(xué)的理論推導(dǎo)得到的結(jié)果，再用MATLAB科學(xué)計(jì)算軟件模擬一個(gè)典型的對(duì)稱性較強(qiáng)的靜電平衡導(dǎo)體表面電荷分布.相比第三類文獻(xiàn)，我們不僅總結(jié)了研究對(duì)象在初始狀態(tài)改變時(shí)相應(yīng)的變化趨勢(shì)，還以立體直觀的三維圖像呈現(xiàn)了感應(yīng)電荷分布.

1 處在點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的導(dǎo)體球

圖1中一半徑為R的導(dǎo)體球，距球心a(a>R)處有一點(diǎn)電荷q，求導(dǎo)體球表面感應(yīng)電荷分布.

圖1 處在點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的導(dǎo)體球

采用電像法[7]，表面的感應(yīng)電荷分布為

(1)

取導(dǎo)體球半徑為0.1 m,點(diǎn)電荷距離球心分別為0.2 m,0.3 m,0.5 m,導(dǎo)體球表面感應(yīng)電荷密度分布如圖2所示.由圖2可知，感應(yīng)電荷面密度有正有負(fù)，并且在圖中也能得到正負(fù)電荷的分界線.當(dāng)點(diǎn)電荷離球心足夠遠(yuǎn)(如圖中取0.5 m)時(shí)，電荷面密度趨向均勻分布.

圖2 不接地導(dǎo)體球表面感應(yīng)電密度分布圖

2 處在點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的接地導(dǎo)體球

若導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體球表面感應(yīng)電荷面密度為

(2)

取接地導(dǎo)體球半徑為0.1 m, 點(diǎn)電荷距離導(dǎo)體球球心分別取0.2 m,0.3 m,0.5 m時(shí)，導(dǎo)體球表面電荷分布如圖3所示.

圖3 接地導(dǎo)體球表面電荷分布

由圖3可知，接地時(shí)，導(dǎo)體球感應(yīng)電荷面密度均為負(fù)，大小隨θ角增大而減小.當(dāng)點(diǎn)電荷離球心足夠距離時(shí)，電荷面密度同樣趨向均勻分布.

3 兩種情況的對(duì)比與三維顯示

圖4為導(dǎo)體球半徑為0.1 m, 點(diǎn)電荷距離導(dǎo)體球球心為0.2 m時(shí)，導(dǎo)體球不接地與接地時(shí)表面感應(yīng)電荷分布的對(duì)比圖.

圖4 導(dǎo)體球不接地與接地時(shí)的對(duì)比圖

取導(dǎo)體球半徑為0.1 m, 點(diǎn)電荷距離導(dǎo)體球球心為0.2 m時(shí)，導(dǎo)體球不接地與接地時(shí)表面感應(yīng)電荷分布的三維模擬圖分別如圖5所示.

(a)導(dǎo)體球不接地時(shí)三維模擬圖

(b)導(dǎo)體球接地時(shí)三維模擬圖

為不影響電荷密度數(shù)值的表達(dá)，圖中未勾畫出導(dǎo)體球外廓.通過操作指令，可以旋轉(zhuǎn)視角，觀察不同位置處電荷分布.

若導(dǎo)體球內(nèi)有一同心球狀空腔，空腔內(nèi)有一點(diǎn)電荷.空腔導(dǎo)體球外表面感應(yīng)電荷分布由對(duì)稱性比較容易求得，而空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷分布經(jīng)推導(dǎo)，結(jié)果與上述無空腔時(shí)導(dǎo)體球外表面電荷分布完全吻合，在此不再贅述.

4 結(jié)語

從上述典型情況的模擬圖可以看出，利用MATLAB模擬靜電平衡導(dǎo)體的感應(yīng)電荷分布，解決了大學(xué)物理課程不便將相應(yīng)內(nèi)容的定量運(yùn)算過程引入課堂教學(xué)中的問題，很好地給學(xué)生呈現(xiàn)了感應(yīng)電荷分布的定量表示，一方面展示了在不同初始狀態(tài)下感應(yīng)電荷分布的變化情況，另一方面三維圖像立體直觀的效果也能極大地促進(jìn)學(xué)生對(duì)相應(yīng)內(nèi)容的理解.

參考文獻(xiàn)

1 趙彥杰,張澤波.導(dǎo)體靜電平衡時(shí)求解電量的基本原則分析.德州學(xué)院學(xué)報(bào),2003,19(2):29～31

2 淵小春.對(duì)導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)幾個(gè)問題的討論.陜西師范大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)報(bào)(西安),2006,23(4):103～105

3 王秀娥.關(guān)于靜電平衡導(dǎo)體表面電荷分布規(guī)律的研究.北京工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，21(3):59～60

4 陳伯俊,周思華.靜電平衡條件下導(dǎo)體面電荷分布研究.新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,26(5):22～23

5 呂榮華，倪一寧.關(guān)于靜電平衡中導(dǎo)體感應(yīng)電荷分布的問題.物理通報(bào)，2002,4:42～43

6 江俊勤.關(guān)于靜電平衡中導(dǎo)體感應(yīng)電荷分布的問題.物理教師,2001,22(11):29～30

7 羅春榮，陸建隆.電動(dòng)力學(xué).西安：西安交通大學(xué)出版社，2000.80～81