均勻帶電線段及其組合電場的計算機模擬

王禮祥

(西南民族大學預科教育學院 四川 成都 610041)

1 引言

眾所周知，電場是既看不見又摸不著,但它卻客觀實實在在地存在，是存在于電荷周圍的一種特殊物質(zhì)(源、場與空間密不可分，因此電場就是一種特殊的空間)，它的特殊性就表現(xiàn)為能對電荷施力和能對電荷做功；換句話說電場既具有力的性質(zhì)又有能量的性質(zhì).電場的這種特殊性決定了對電場的研究和描述也得從特殊空間的構(gòu)成(電荷周圍空間的特殊物質(zhì))出發(fā)，引入描述電場力性質(zhì)的電場強度矢量和描述電場能量性質(zhì)的電勢，由點、線、面、體全面把握電場的性質(zhì)和規(guī)律；以電場線與等勢面(線)直觀形象反映電場在空間的細微分布與相鄰場變化規(guī)律；結(jié)合電場線與等勢面(線)在空間的分布疏密程度,就能進一步從幾何上直觀形象地由定性到定量對電場的空間分布進行科學刻畫，全面把握電場的電場空間特性和規(guī)律.

本文由MATLAB編程[1，2]首先繪制出均勻帶電直線段激發(fā)電場的分布電場線與等勢面(線)，然后將其推廣應用于多個均勻帶電直線段及其任意組合帶電直線段激發(fā)的電場的電場線與等勢面(線)MATLAB編程仿真模擬[3～6]，得到幾種任意帶電直線段及其組合的電場空間分布場圖.

2 單個帶電直線段的電場圖

設均勻帶電直線段長2L，線電荷密度為λ，位于x軸上并依y軸對稱，其端點為(-L，0)，(L，0)；根據(jù)對稱特性，電場在過對稱軸(x軸，帶電直線段)的任意平面上分布完全相同，因此三維問題可降為二維問題來處理；以對稱軸為x軸建立平面直角坐標xOy，則可簡易導出均勻帶電直線段在xOy平面上電勢表達式為

(1)

(2)

在xOy平面中用MATLAB二維等值線指令contour畫相鄰電勢差為0.25的等勢線并保持所繪制出的全部圖形得帶電直線段電場的電勢分布圖；用MATLAB中的梯度指令gradient從已知電勢表達式計算電場強度分量結(jié)合流線指令streamline繪制電場線，同樣保持所有繪制出的流線圖得帶電直線段電場的場強分圖.

MATLAB源代碼是：

clear

xm=4; x=linspace(-xm,xm);

ym=3; y=linspace(-ym,ym);

[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=log((X+1+R1)./(X-1+R2));

U(U>6)=6;

u=0.5:0.25:3;

figure

C=contour(X,Y,U,u,′LineWidth′,2);

[C,h]=contour(X,Y,U,u);

axis equal tight

hold on

plot([-xm;xm],[0;0],′LineWidth′,1)

plot([-1;1],[0;0],′k′,′LineWidth′,5)

[Ex,Ey]=gradient(-U);

[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));

x0=-1:0.1:1;

y0=0.05*ones(size(x0));

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x0,y0);

set(h,′LineWidth′,1)

h=streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x0,-y0);

set(h,′LineWidth′,1)

運行以上程序得圖1，圖中添加等勢線數(shù)據(jù)標志.

圖1 帶電直線段電場圖(有電勢數(shù)值標志)

另一方法：由電勢表達式(1)易得帶電直線段在xOy平面上的等勢線方程是

(3)

又根據(jù)電勢與電場場強矢量關系E=-U，

有

(4)

而由電場線的正切向為電場強度矢量方向，可導出電場線微分方程是

(5)

解式(5)得電場線方程

(6)

取l=1，采用MATLAB隱函數(shù)繪制指令ezplot可通過循環(huán)繪圖與保持圖形得空間電場線圖和等勢線圖，如圖2.

MATLAB程序代碼：

syms x y

for C=-3:0.2:3.0

hold on;

end

for C1=-4:0.2:4

hold on;

end

plot([-5;5],[0;0],′color′,′k′,′LineWidth′,1);

x=-1:0.01:1;y=0.*x;

plot(x,y,′k′,′linewidth′,5)

圖2 均勻帶電線段電場圖(無電勢數(shù)值)

兩種方法編程繪制得到的電場圖完全一致.

3 均勻帶電直線段組合系統(tǒng)的電場圖

兩三段甚至于多段均勻帶電直線激發(fā)產(chǎn)生的電場空間分布場線圖與等勢線圖，由場與源的疊加關系在單個帶電直線段MATLAB繪制場圖通用程序基礎上適當修改并運行可得相應場圖.

3.1 兩平行等長帶電直線段的電場圖

應用電勢疊加原理易得坐標原點在對稱中心x軸平行于兩等長平行均勻帶電直線段的電勢表達式

(7)

U=log((X+1+R1)./(X-1+R2))+log((X+1+R3)./(X-1+R4));

U(U>10)=10;

u=0.5:0.30:10;

figure

C=contour(X,Y,U,u,′LineWidth′,1);

[C,h]=contour(X,Y,U,u);

axis equal tight

……

并注意電場線的起始位置與對稱關系，運行程序得其電場線與等勢面(線)圖3.由圖可見：電場空間分布呈現(xiàn)上下對稱和左右對稱，坐標原點處的場強一定為零.

圖3 兩平行等長帶電直線段的電場圖

3.2 L型帶電直線段的電場圖

類似于兩平行等長帶電直線段的電場圖的處理方法，L型帶電直線段組合的電場圖也可由疊加關系簡單給出，這里重點電場線繪制程序代碼：

……

plot([0;2],[0;0],′k′,′LineWidth′,5)

plot([0;0],[0;2],′k′,′LineWidth′,5)

[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));

x0=0:0.2:2; y0=0.05*ones(size(x0));

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x0,y0);

set(h,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x0,-y0);

set(h,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

y1=0:0.2:2; x1=0.05*ones(size(x0));

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1);

set(h,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,-x1,y1)

set(h,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

運行得L型帶電組合直線段的電場線和等勢線圖，如圖4.

圖4 L型帶電直線段的電場圖

3.3 Y型帶電直線段的電場圖

Y型帶電直線段的電場圖采用空間電勢應用點電荷電勢疊加法數(shù)值計算并用國際單位制電學量數(shù)值模擬.

代碼：

clear

E0=8.85e-12; C0=1/4/pi/E0;

xm=3; ym=4;

x=linspace(-xm,xm,600);

y=linspace(-ym,ym,600);

[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=0;u=0.1e-5:0.7e-5:8e-5; q=Q/299;

a=linspace(-2,2,300);c=linspace(-3,0,300);

for k=1:299

U1=C0*q./R1; U3=C0*q./R3;U=U+U1+U3;

end

figure

grid on

contour(X,Y,U,u,′:′)

hold on

m=linspace(-2,2,3000);

plot(m,abs(m),′color′,′k′,′LineWidth′,5)

a =[0 0];b =[-3 0];plot(a,b,′color′,′k′,′LineWidth′,5)

[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));

r0=0.1;

for i1=-2:0.3:2

x1=i1;y1=abs(x1)+r0;

t=streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1)

set(t,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

s=streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1-2*r0)

set(s,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

end

for i3=-3:0.3:0

[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));

x1=r0;y1=i3;

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1)

set(h,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

p=streamline(X,Y,Ex,Ey,x1-2*r0,y1)

set(p,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

end

運行以上程序得圖5.Y型帶電直線段的電場圖理應嚴格左右對稱，但數(shù)值計算繪制所得圖形稍微偏差，原因是分離取值不對稱.

圖5 Y型帶電直線段的電場圖

參考文獻

1 周群益，侯兆陽，劉讓英.MATLAB可視化大學物理學.北京：清華大學出版社，2011

2 陳永春.MATLAB M語言高級編程.北京：清華大學出版社，2004

3 林國華，王永順.運用MATLAB程序演示點電荷系的等勢面.物理通報，2003(12)：27～28

4 陳德智.典型靜電場場圖的解析解.電氣電子教學學報,2012(06)：102～106

5 楊能彪,唐晉生. 帶電荷的細圓環(huán)的電場解的可視化.青海師范大學學報(自然科學版),2005(04):41～42

6 劉耀康. 用計算機繪制點電荷對的電場線. 大學物理,2005(08):59～63