讓數學變得不再陌生

范存麗+薛錚

一

德國教育家第斯多惠曾說過：“教育的藝術不在于傳授的本領，而在激勵、喚醒和鼓舞?！眳钦龖椑蠋煹恼n堂教學其中一個成功之處就是激勵、喚起和鼓舞學生。在她的數學課堂上的數學內容流淌在教師與學生、學生與學生的心靈對話之中。每每聆聽吳老師的課，不僅是參與其中的學生，就連教師也會被深深地吸引，隨著師生真切交流的旋律而躍動。

冷靜下來思考其中的原因，這與了解學生、尊重學生、真正以學生為主體是分不開的。數學課上，數學和學生二者孰輕孰重？吳老師以親身實踐行動著、說明著學生是課堂上最重要的。

如何在課堂上真正凸顯學生的主體性，體現出學生在教學行進過程中的重要性，發(fā)揮出學生作為最重要課程資源的作用呢？顯然提取和運用好學生的經驗是關鍵。將學生的經驗用于幫助學生學習數學，使得學生熟悉的數學黏住學生。美國教育家杜威強調，教育必須建立在經驗的基礎上，教育就是經驗的生長和經驗的改造，學生從經驗中產生問題，而問題又可以激發(fā)他們去探索知識、產生新觀念。前蘇聯心理學家維果茨基也很重視學生原有的經驗與新知識之間的相互作用，并用“最近發(fā)展區(qū)”的理論來描述這種相互關系，他把學習者的日常經驗稱為“自下而上的知識”，把學習教材內容稱為“自上而下的知識”?！白韵露系闹R”只有與“自上而下的知識”相聯系，才能成為系統；而“自上而下的知識”只有與“自下而上的知識” 相聯系，才能獲得發(fā)展的基礎。

在吳老師的課堂里，正是因為尊重了學生的經驗，學生在學習“熟悉的數學”“有意思的數學”，從而激發(fā)出學生的奇思，蕩漾出學生的妙想，澎湃出師生之間的真切，呈現出課堂的生態(tài)！

二

（一）說學生能懂的話——高深莫測不如簡單明了

關注學生經驗，說學生能懂的話，才能跨越師生之間的溝坎、數學與學生之間的溝壑，讓教師和數學真正走入學生的心靈。

師生之間不可避免地存在著差別，對待學習的數學知識，教師已知，學生未知，已知與未知的對接是教學的藝術。吳老師的話語生動而親切，很適合學生。她從學生的經驗出發(fā)，在課堂上說學生能懂的話。高深莫測不如簡單明了。通過簡單明了的語言，讓學生更為順暢地學習數學內容，從而提高教學的有效性。

1.用方法命名，印象深刻

吳老師在教學“估算”時，關注估算方法的多樣化。用學生能懂的語言給多種多樣的估算方法取了名字。

案例：“估算”教學片段

在出示曹沖稱象的故事后，出示了六次稱石頭的結果：

次數 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次

重量（千克） 328 346 307 377 398 352

課堂上學生根據已知的數據進行估算，待學生中出現了各種估算方法后，進入課堂匯報交流。

小估——吳老師先圈出“300×6”，學生說道理，學生把所有的數都估成300，再乘6。吳老師說：“本來是300多一些，這位同學都估成300。你們能把他這種往小里估的方法取個有特點的名字嗎？”學生說：“小估。”（全場笑）吳老師尊重學生的命名說：“本來是300多一些，你卻往小里估，那就叫“小估”，好不好？”學生都說：“好！”學生明白了“小估”的特點。

大估——吳老師圈出“400×6”，學生說道理后命名為“大估”。

大小估——吳老師圈出“300×3=900，400×3=

1200，900+1 200=2 100”，學生說，前面三個數比較接近300，我就給它估成300；后三個數比較接近400，我就給它估成400，然后再把算出來的得數加起來，是2100。學生并美其名為“大小估”。

中估——吳老師圈出“350×6”。學生說：“把全部的都估成350，然后再乘6?！眳抢蠋熣f：“他不往小的估，也不往大的估，那這個特點很鮮明了?！睂W生命名為“中估”。

四舍五入估——吳老師圈出“330+350+310+380

+400+350”，學生命名時，根據特點說了“雙估”“單估”“雙單估”“上下估”等多個名字，在吳老師的引導下，學生最后直指其本質，命名為“四舍五入估”。

湊估——吳老師指向“300×7=2100”，學生命名為多估、湊估、湊加估等。

這節(jié)課的教學內容是估算，學生出現這么多的估算策略，怎樣使大家明白并且印象深刻呢？正是這些引得學生開心而笑的名字，使得學生對估算策略清晰而有好感。

2.將道理擬人化，清晰明確

在教學“數的整除復習課”時，一位同學說：“2是最大公因數。”吳老師在一個恰當的時候進行回應：“2和誰有公因數呀？”最后學生自然明確“至少兩個人才能找到公共的特征，至少兩個數才能找到它們的公因數”。如果完全用數學語言來敘述，學生會覺得枯燥難懂。吳老師適時地抓住本質特征，重要的一個字是“公”，機智地將數學內涵與學生的經驗相溝通，誰和誰才有公因數，為公因數穿上了學生熟識的外衣，學生更為深刻地明白了公因數、懂得了公因數，拉近了公因數與學生的距離。

吳老師所用的語言那么簡單，符合兒童的“話語”經驗；吳老師的語言那么明了，回歸概念的本質。

（二）讓學生說自己的話——嚴格的不理解不如不嚴格的理解

在課堂上，要允許學生說自己的話。與其讓學生將一套套規(guī)范嚴格的語言模仿出來，不如學生用自己的不嚴格的話語把理解的內容進行表達。

概念不能植入學生頭腦，學生要將概念內化，才能成為他們自己的智慧，才能對接數學結構和學生認知結構。要使學生順利地將概念內化，教師就要在教學設計時更好地關注學生與教學內容有關的經驗，積極地調動學生的生活經驗和思維經驗，在學生原有認知的基礎上進行教學，并允許以及鼓勵學生更多地用自己的語言來表述概念。

1.調動學生生活經驗endprint

生活中，有的經驗可以使學生感覺淡漠，使學生缺乏感受性和反應性，因而，就會限制將來獲得比較豐富經驗的各種可能性。而有的經驗可能立即使人感到歡快，然而它卻促使人們養(yǎng)成馬馬虎虎和不細心的態(tài)度；這種態(tài)度就會改變后來的經驗的性質。故此，在調動學生經驗時，首先要考慮經驗帶給學生的情感，要調動那些能夠促進學生積極情感的經驗。

案例：“年、月、日”教學片段

吳老師關注提取兒童的生活經驗，請同學們用生活中經歷的一些事情，描述一下1年、1月、1日有多長。

學生1：今年春節(jié)到明年再過春節(jié)是1年。

學生2：今年5月7日是我的生日，再到明年的5月7日，我長大了1歲，也就是又過了1年。

學生3：我爸爸這個月領工資到下個月再領工資就是1個月。

學生4：今天這時到明天這時就是1日。

……

課堂上，同學們七嘴八舌地說著、笑著，回味著生活的經歷，初步體會了年、月、日的時間概念。學習年、月、日這樣的內容不像學習時、分、秒，教師不可能讓學生現場體驗。但是通過這樣的巧妙設計，讓學生通過自己的語言、自己的經驗，將隱藏于他們內心深處的各種體驗調入“前臺”，這樣學生對新知的理解就會變得更加容易，感悟也會更加深刻。

2.調動學生思維經驗

“分數的初步認識”是人教版三年級上冊的一個教學內容，是學生對數域的第一次拓展，學生在理解上會產生一定的困難。吳老師則通過學生感興趣的內容用易懂的語言，充分調動起學生的思維經驗，巧妙解決了這一教學難點。

案例：“分數的初步認識”教學片段

上課伊始，吳老師首先提出了一個富有挑戰(zhàn)且符合兒童年齡特征的任務：“能用你喜歡的方式來表示1個桃子的一半嗎？”

學生的興趣被大大地激發(fā)，通過這樣有意思的任務，吳老師逐步引出分數的概念，讓學生對分數有一個初步的認識。

但其中有一名學生卻始終堅持己見用畫圖的形式來表達“1個桃子的一半”，沒有體會出分數這種表示方法的簡潔性。于是吳老師在課末，將他請到了講臺上，讓他用自己的方法來表示1個桃子的，他徑直走上了講臺開始畫桃子，沒畫一會兒就走過來對吳老師說：“老師，這種方法太麻煩了，還是分數表示好?！边呎f邊使勁把畫在黑板上的桃子圖擦掉了。

學生原有的經驗起初可以順利地表示出“桃子的一半”。但隨著平均分的份數的增加、所分事物的變化，使得他們發(fā)現原有經驗不能滿足現狀，必須調整，從而逐漸接納了“分數”這個新朋友。就這樣，學生將學習內容與已有的知識和經驗聯系起來，沒有機械的語言，沒有生硬的給予，自然地實現了學生自我的主動建構。

聽過吳老師課的人都有一個突出的感受，就是她把單純的講授變成了平等的對話，有更多的機會聽學生說，于是產生了如此有效的交流。在課堂上，吳老師關注的不是對學生說了多少話，而是讓學生自己來說一說，來發(fā)現數學的奧秘。

吳老師尊重學生樸素的語言，尊重學生的原生態(tài)，尊重學生運用自身經驗內化概念的過程。正是吳老師的尊重，換來了學生明明白白的話語，換來了學生發(fā)揮經驗、內化概念。

（三）做學生樂做的事——說得好還要做得好

“做數學”是目前數學教育的一個重要觀點，它強調學生學習數學是一個現實的體驗、理解和反思的過程，強調以學生為主體的學習活動對學生理解數學的重要性。研究表明：人們在學習時，如果僅靠聽和看，最多能吸收30%的新知；如果動手做，可以吸收90%以上的新知識。

1.模擬操作，適時喚醒學生的經驗

案例：“平移與旋轉”教學片段

學生通過將各種游樂項目（如激流勇進、波浪飛椅、彈射塔、勇敢者轉盤、滑翔索道等）分類，初步了解了平移、旋轉。

吳老師：請同學們先閉上眼睛靜靜地想一想什么是平移，什么是旋轉。

整個課堂靜悄悄的，過了一會兒——

吳老師：請同學們站起身來用自己的動作表示平移和旋轉。

孩子們都迫不及待地要來“表演”……

學生：我這樣走就是身體向前平移（邊說邊向前走了幾步），這樣就是旋轉（為了與平移區(qū)分，他又原地轉了一圈）。

吳老師通過讓學生模擬操作的形式明白概念。學生無法用語言表述平移、旋轉，卻可以通過“表演”將經驗與概念對接。以現場“做”的形式喚醒學生經驗，使得學生的學習過程簡單、明了而有趣。

2.角色扮演，做得好自然說得好

給學生提供充分的數學活動的機會，學生經歷了做的過程，思考就有了載體。通過角色扮演，學生更容易入情入境，更容易通過主動感受進行學習，做得好自然說得好。

案例：“平移與旋轉”教學片段

屏幕上出現了一個有趣的題目：你是一名出租汽車公司的調度員，你的任務就是應客戶要求，調度車輛到達客戶指定的地點。你能做到嗎？試一試吧！

吳老師提出活動要求：先獨立思考小汽車做的是平移還是旋轉運動；再看它向什么方向，移動了幾個格子，并把移動的過程記錄下來。

明確要求后，學生們利用自己手中的小汽車學具移動著，進一步感受平移方向的變化。

學生通過親身參與扮演運動的物體，明確地感受到了平移與旋轉，語言表達會在理解的基礎上自然生成，當然還需要教師的指導、幫助。與其說很多話讓學生去體會、理解，何不讓學生親身參與、主動思考呢？

3.適度等待，讓學生自己運用經驗

教學中適度地等待，等待學生自主地運用經驗，自主地將經驗與新知相聯系。學生經驗流出之時，正是學生自主建構成功之刻。

案例：“積的變化規(guī)律”教學片段

教師要求學生根據兩組算式，自己再舉一個例子。

教師：你們剛才都互相看了，你們寫的跟她寫的一樣嗎？endprint

學生：不一樣。

教師：請你今天晚上，把具有這種規(guī)律的所有的乘法算式全都寫完。（稍停）我看有的同學張嘴了，怎么了？今天晚上能干完這件事兒嗎？（稍停）我看你搖頭了，那我給你一個星期的時間吧。一個月吧！

學生：我認為永遠也寫不完。

教師：同意嗎？

學生：同意！

教師：太多了！這一生一世也寫不完呀！那下面這項任務可就太具有挑戰(zhàn)性了！請你們把永遠也寫不完的算式中藏著的規(guī)律，用一個簡潔的方式寫出來。（稍停頓）我給你們點兒建議吧，可以用一句話、一組算式，還可以借助小圖形來幫幫忙。試試看，寫在黃色紙上。

教師大概等待了五分鐘的時間，等出了學生精彩的“作品”。

這是由吳老師指導，北京黃城根小學薛錚老師執(zhí)教的一堂課。吳老師在指導過程中，要求執(zhí)教教師不要急于公布標準統一的結論，讓學生在適度的等待中獨立思考，讓他們學會運用已有的經驗表達自己的想法。正如吳老師曾說過的：“等待是一種教學理念；等待是一種教學策略；等待是一種教學藝術?！?/p>

三

“水有源，故其流不窮；木有根，故其生不窮?！睂W生有經驗，自然就有教育的可能和空間。經驗是兒童數學學習的重要資源，學生的學習過程就是一個經驗的激活、利用、調整、提升的過程，是建立在經驗基礎上的一個主動建構的過程。

（一）激活經驗

我們所謂正規(guī)的教育已經使我們的學生誤以為自己沒有了直覺，其實它就深藏在某個角落，等待教師將它釋放。而這就需要教師通過精心的設計，調動起學生以往積累的經驗。直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以豐富的經驗為基礎，否則是不會迸發(fā)出思維的火花的。這就需要我們引導學生用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“具體的”去理解“抽象的”，使數學變得“簡單些”。

（二）利用經驗

小學數學不應過于強調對某些數學文字的表面理解，而應力求引導學生感悟數學的本質，鼓勵學生用自己的語言詮釋對數學的理解，從而把握住數學的魂。教師不應刻意追求課堂的盡善盡美，而應鼓勵學生用原生態(tài)的，甚至是有些粗糙的語言詮釋自己對數學意義的理解，使數學變得“樸實些”。

（三）調整經驗

由于學生所處的文化環(huán)境、家庭背景和自身思維方式等的不同，他們的經驗也往往是個性化的，需要教師把人為制造的難點降下來，充分關注學生個性化的學習需求，使數學變得“容易些”。那些膚淺的、片面的、零散的甚至錯誤的經驗則需要教師有選擇地利用，并不斷地調整、改造。

（四）提升經驗

知識可以通過書本、被告知等方式獲得，而經驗只有通過自己的“做”來獲得。通過教師精心設計的課堂活動，學生在經歷經驗的激活、利用、調整的過程后，將經驗進行提升，從而獲得更為豐富的經驗，為再一次被激活做好充分的準備。在這種螺旋上升的發(fā)展過程中，學生的經驗得以進一步豐富和發(fā)展，學習的質量進一步提高，從而構建起屬于自己的數學。

一位詩人說：一切經驗是閃光的拱門，輝映著人跡未到的世塵，只要我向著它步步靠近，那里的邊緣便消逝無存。課堂是生命與生命的對話，課堂是經驗與經驗的對接。教師與學生互相靠近，將教師的“學術”經驗與學生的已有經驗對接，教師進入學生的話語系統，進入學生的思維系統，師生才能真誠對話。

（北京教科院基教研中心 100045

北京市西城區(qū)黃城根小學 100034）endprint

學生：不一樣。

教師：請你今天晚上，把具有這種規(guī)律的所有的乘法算式全都寫完。（稍停）我看有的同學張嘴了，怎么了？今天晚上能干完這件事兒嗎？（稍停）我看你搖頭了，那我給你一個星期的時間吧。一個月吧！

學生：我認為永遠也寫不完。

教師：同意嗎？

學生：同意！

教師：太多了！這一生一世也寫不完呀！那下面這項任務可就太具有挑戰(zhàn)性了！請你們把永遠也寫不完的算式中藏著的規(guī)律，用一個簡潔的方式寫出來。（稍停頓）我給你們點兒建議吧，可以用一句話、一組算式，還可以借助小圖形來幫幫忙。試試看，寫在黃色紙上。

教師大概等待了五分鐘的時間，等出了學生精彩的“作品”。

這是由吳老師指導，北京黃城根小學薛錚老師執(zhí)教的一堂課。吳老師在指導過程中，要求執(zhí)教教師不要急于公布標準統一的結論，讓學生在適度的等待中獨立思考，讓他們學會運用已有的經驗表達自己的想法。正如吳老師曾說過的：“等待是一種教學理念；等待是一種教學策略；等待是一種教學藝術?！?/p>

三

“水有源，故其流不窮；木有根，故其生不窮?！睂W生有經驗，自然就有教育的可能和空間。經驗是兒童數學學習的重要資源，學生的學習過程就是一個經驗的激活、利用、調整、提升的過程，是建立在經驗基礎上的一個主動建構的過程。

（一）激活經驗

我們所謂正規(guī)的教育已經使我們的學生誤以為自己沒有了直覺，其實它就深藏在某個角落，等待教師將它釋放。而這就需要教師通過精心的設計，調動起學生以往積累的經驗。直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以豐富的經驗為基礎，否則是不會迸發(fā)出思維的火花的。這就需要我們引導學生用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“具體的”去理解“抽象的”，使數學變得“簡單些”。

（二）利用經驗

小學數學不應過于強調對某些數學文字的表面理解，而應力求引導學生感悟數學的本質，鼓勵學生用自己的語言詮釋對數學的理解，從而把握住數學的魂。教師不應刻意追求課堂的盡善盡美，而應鼓勵學生用原生態(tài)的，甚至是有些粗糙的語言詮釋自己對數學意義的理解，使數學變得“樸實些”。

（三）調整經驗

由于學生所處的文化環(huán)境、家庭背景和自身思維方式等的不同，他們的經驗也往往是個性化的，需要教師把人為制造的難點降下來，充分關注學生個性化的學習需求，使數學變得“容易些”。那些膚淺的、片面的、零散的甚至錯誤的經驗則需要教師有選擇地利用，并不斷地調整、改造。

（四）提升經驗

知識可以通過書本、被告知等方式獲得，而經驗只有通過自己的“做”來獲得。通過教師精心設計的課堂活動，學生在經歷經驗的激活、利用、調整的過程后，將經驗進行提升，從而獲得更為豐富的經驗，為再一次被激活做好充分的準備。在這種螺旋上升的發(fā)展過程中，學生的經驗得以進一步豐富和發(fā)展，學習的質量進一步提高，從而構建起屬于自己的數學。

一位詩人說：一切經驗是閃光的拱門，輝映著人跡未到的世塵，只要我向著它步步靠近，那里的邊緣便消逝無存。課堂是生命與生命的對話，課堂是經驗與經驗的對接。教師與學生互相靠近，將教師的“學術”經驗與學生的已有經驗對接，教師進入學生的話語系統，進入學生的思維系統，師生才能真誠對話。

（北京教科院基教研中心 100045

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學生：不一樣。

教師：請你今天晚上，把具有這種規(guī)律的所有的乘法算式全都寫完。（稍停）我看有的同學張嘴了，怎么了？今天晚上能干完這件事兒嗎？（稍停）我看你搖頭了，那我給你一個星期的時間吧。一個月吧！

學生：我認為永遠也寫不完。

教師：同意嗎？

學生：同意！

教師：太多了！這一生一世也寫不完呀！那下面這項任務可就太具有挑戰(zhàn)性了！請你們把永遠也寫不完的算式中藏著的規(guī)律，用一個簡潔的方式寫出來。（稍停頓）我給你們點兒建議吧，可以用一句話、一組算式，還可以借助小圖形來幫幫忙。試試看，寫在黃色紙上。

教師大概等待了五分鐘的時間，等出了學生精彩的“作品”。

這是由吳老師指導，北京黃城根小學薛錚老師執(zhí)教的一堂課。吳老師在指導過程中，要求執(zhí)教教師不要急于公布標準統一的結論，讓學生在適度的等待中獨立思考，讓他們學會運用已有的經驗表達自己的想法。正如吳老師曾說過的：“等待是一種教學理念；等待是一種教學策略；等待是一種教學藝術?！?/p>

三

“水有源，故其流不窮；木有根，故其生不窮?！睂W生有經驗，自然就有教育的可能和空間。經驗是兒童數學學習的重要資源，學生的學習過程就是一個經驗的激活、利用、調整、提升的過程，是建立在經驗基礎上的一個主動建構的過程。

（一）激活經驗

我們所謂正規(guī)的教育已經使我們的學生誤以為自己沒有了直覺，其實它就深藏在某個角落，等待教師將它釋放。而這就需要教師通過精心的設計，調動起學生以往積累的經驗。直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以豐富的經驗為基礎，否則是不會迸發(fā)出思維的火花的。這就需要我們引導學生用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“具體的”去理解“抽象的”，使數學變得“簡單些”。

（二）利用經驗

小學數學不應過于強調對某些數學文字的表面理解，而應力求引導學生感悟數學的本質，鼓勵學生用自己的語言詮釋對數學的理解，從而把握住數學的魂。教師不應刻意追求課堂的盡善盡美，而應鼓勵學生用原生態(tài)的，甚至是有些粗糙的語言詮釋自己對數學意義的理解，使數學變得“樸實些”。

（三）調整經驗

由于學生所處的文化環(huán)境、家庭背景和自身思維方式等的不同，他們的經驗也往往是個性化的，需要教師把人為制造的難點降下來，充分關注學生個性化的學習需求，使數學變得“容易些”。那些膚淺的、片面的、零散的甚至錯誤的經驗則需要教師有選擇地利用，并不斷地調整、改造。

（四）提升經驗

知識可以通過書本、被告知等方式獲得，而經驗只有通過自己的“做”來獲得。通過教師精心設計的課堂活動，學生在經歷經驗的激活、利用、調整的過程后，將經驗進行提升，從而獲得更為豐富的經驗，為再一次被激活做好充分的準備。在這種螺旋上升的發(fā)展過程中，學生的經驗得以進一步豐富和發(fā)展，學習的質量進一步提高，從而構建起屬于自己的數學。

一位詩人說：一切經驗是閃光的拱門，輝映著人跡未到的世塵，只要我向著它步步靠近，那里的邊緣便消逝無存。課堂是生命與生命的對話，課堂是經驗與經驗的對接。教師與學生互相靠近，將教師的“學術”經驗與學生的已有經驗對接，教師進入學生的話語系統，進入學生的思維系統，師生才能真誠對話。

（北京教科院基教研中心 100045

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