Halo軌道的航天器編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)*

張?jiān)蒲?，?楠，李言俊

（1.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072；2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240）

Halo軌道的航天器編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)*

張?jiān)蒲?，李 楠2，李言俊1

（1.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072；2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240）

針對(duì)不同干涉基線約束下的最優(yōu)Halo軌道編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法展開研究。以Richardson關(guān)于Halo軌道的三階近似解析解為基礎(chǔ)建立同一軌道上兩航天器編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；以平動(dòng)點(diǎn)為質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系為基準(zhǔn)構(gòu)造與編隊(duì)主航天器和觀測(cè)目標(biāo)相關(guān)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，并在此坐標(biāo)系中給出不同于二體問題的干涉基線計(jì)算方法；以滿足基線約束下觀測(cè)時(shí)間最長(zhǎng)為目標(biāo)給出最優(yōu)編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法。最后，以繞日-地L2點(diǎn)的Halo軌道為例對(duì)上述編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法的有效性進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

Halo軌道，編隊(duì)飛行，構(gòu)型設(shè)計(jì)，干涉基線

引言

三體問題是近些年來航天與力學(xué)領(lǐng)域研究的新熱點(diǎn)。三體問題中存在的平動(dòng)點(diǎn)及其附近的周期軌道（Halo軌道）憑借特殊的地理位置和獨(dú)一無二的動(dòng)力學(xué)特性，為天體觀測(cè)提供了理想的場(chǎng)所。國(guó)外針對(duì)此利用編隊(duì)技術(shù)先后規(guī)劃了多項(xiàng)觀測(cè)任務(wù)，如由4顆衛(wèi)星編隊(duì)執(zhí)行的TPF類地行星探測(cè)計(jì)劃、由8顆衛(wèi)星編隊(duì)實(shí)施的Darwin紅外空間干涉儀計(jì)劃、由若干顆X射線衛(wèi)星編隊(duì)進(jìn)行黑洞調(diào)查及廣義相對(duì)論驗(yàn)證的星座X計(jì)劃、由25顆衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)成的MAXIM計(jì)劃［1-4］等。

在平動(dòng)點(diǎn)附近的航天器編隊(duì)技術(shù)方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究。Howell等［5］研究了平動(dòng)點(diǎn)附近周期和準(zhǔn)周期軌道上的編隊(duì)，將編隊(duì)構(gòu)型定義為自然和非自然兩類。Roberts［6］為干涉測(cè)量任務(wù)建立了日-地L2點(diǎn)附近基于Halo軌道的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。孟云鶴［7］等提出利用Floquet周期模態(tài)刻畫和表達(dá)平動(dòng)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型的方法。Catlin和McLaughtlin研究了地月三角平動(dòng)點(diǎn)附近雙星編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)［8］。

本文以Halo軌道為基礎(chǔ)進(jìn)行平動(dòng)點(diǎn)附近的航天器編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)。利用三階近似解析解描述了由兩個(gè)航天器構(gòu)成的編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)了圓型限制性三體問題下不同于二體問題的干涉基線的計(jì)算公式，并在干涉觀測(cè)的約束條件下對(duì)編隊(duì)構(gòu)型進(jìn)行了優(yōu)化。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圓型限制性三體問題存在5個(gè)平動(dòng)點(diǎn)（如圖1），其中L1，L2和L3附近存在Halo軌道。Halo軌道是一個(gè)圍繞不穩(wěn)定平動(dòng)點(diǎn)的封閉周期軌道，應(yīng)用Richardson的L.P.方法可以得到如下形式的近似解析解［9-10］：

圖1 圓形限制性三體問題的平動(dòng)點(diǎn)

其中Ax、Az為限制性三體動(dòng)力學(xué)方程線性化后x和z方向的幅值；ω為Halo軌道運(yùn)動(dòng)角頻率；aij、bij、dij（i=2，3；i=1，2，…，5）為日地系統(tǒng)所決定的固定值。

現(xiàn)設(shè)有兩個(gè)航天器組成的觀測(cè)編隊(duì)，令其中一個(gè)為主航天器，繞平動(dòng)點(diǎn)的周期運(yùn)動(dòng)用變量（xr，yr，zr）描述，且初始相位為ωtr；另外一顆為輔航天器，在同一Halo軌道上的運(yùn)動(dòng)用變量（xf，yf，zf）描述，且初始相位為ωtf。相應(yīng)地，兩個(gè)航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可由變量（Δx=xf-xr，Δy=yf-yr，Δz=zf-zr）描述，初始相位差ωΔt（Δt=tf-tr）。

利用式（1）分別計(jì)算得到兩個(gè)航天器運(yùn)動(dòng)的解析解表達(dá)式，進(jìn)一步可以得到如下編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的三階近似解表達(dá)式：

其中

經(jīng)驗(yàn)證，采用式（2）得到的三階近似解析解與實(shí)際相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨于吻合，兩個(gè)編隊(duì)航天器間的相對(duì)誤差較小。故而，能夠以上述運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為基礎(chǔ)進(jìn)行Halo軌道編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)。

2 干涉基線計(jì)算

以日地系統(tǒng)為例，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系O-XYZ中描述Halo軌道。此坐標(biāo)系以平動(dòng)點(diǎn)為原點(diǎn)，x軸正向?yàn)樘?yáng)到地球連線方向，y軸位于黃道面內(nèi)且沿地球公轉(zhuǎn)方向與x軸呈90°夾角，z軸指向與其他兩軸滿足右手定則。

圖2 各參考系示意圖

相應(yīng)地，編隊(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系o-xyz中描述。該系與O-XYZ系平行，僅坐標(biāo)原點(diǎn)平移至主航天器質(zhì)心。

近地衛(wèi)星編隊(duì)的干涉基線常在Hill坐標(biāo)系中描述。而Halo軌道是非開普勒三維周期軌道，觀測(cè)目標(biāo)通常位于軌道外部，無法用傳統(tǒng)意義下的Hill坐標(biāo)系描述干涉基線，故在上述兩旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系基礎(chǔ)上構(gòu)造與編隊(duì)主航天器和觀測(cè)目標(biāo)相關(guān)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系o-x'y'z'，并在此坐標(biāo)系中類似給出沿航跡基線與垂直航跡基線的計(jì)算公式。各參考系如圖2所示。

具體的，o-x'y'z'系由o-xyz系旋轉(zhuǎn)確定，設(shè)觀測(cè)目標(biāo)在O-XYZ系中位置為（xt，yt，zt），則相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣如下：

其中

至此，在坐標(biāo)系o-x'y'z'中可以得到干涉基線（沿航跡與垂直航跡）的計(jì)算公式為：

其中

3 構(gòu)型尋優(yōu)算法

考慮Halo軌道上航天器編隊(duì)滿足觀測(cè)任務(wù)時(shí)空條件的約束問題。在Halo軌道上運(yùn)行的編隊(duì)航天器之間的相對(duì)位置是不斷變化的，故其基線也在不斷變化。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)空間目標(biāo)的有效觀測(cè)，航天器編隊(duì)?wèi)?yīng)滿足一定的基線約束。此外，對(duì)目標(biāo)觀測(cè)的時(shí)間越長(zhǎng)越好。

上述問題可以采用如下的有約束最優(yōu)值求解模型予以描述：

其中，LH為沿航跡基線下界；LV1、LV2分別為垂直航跡基線下界和上界。

求解該模型的成熟算法有很多，如罰函數(shù)法、遺傳算法、蟻群算法等。其中，蟻群算法是由意大利學(xué)者M(jìn).Dorigo［11］等人提出的用于解決復(fù)雜優(yōu)化問題的有效算法。該算法將m只螞蟻隨機(jī)分布在定義域內(nèi)，每只螞蟻都有一個(gè)鄰域，其半徑為r。每只螞蟻在自己的鄰域內(nèi)進(jìn)行搜索；當(dāng)所有螞蟻完成局部搜索后，螞蟻個(gè)體根據(jù)信息素強(qiáng)度和啟發(fā)式函數(shù)進(jìn)行全局范圍內(nèi)的移動(dòng)。完成一次循環(huán)后，則進(jìn)行信息素強(qiáng)度更新計(jì)算并用于指導(dǎo)蟻群向最優(yōu)值聚集。

文章利用該方法進(jìn)行編隊(duì)構(gòu)型尋優(yōu)算法設(shè)計(jì)，具體流程如下：

①給定蟻群規(guī)模，在如下的Ax取值范圍內(nèi)為每只螞蟻賦初值：

其中，Δ和l1為太陽(yáng)-地球系統(tǒng)中與所選平動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的固定值。此外，將［0，π］作為ωΔt的尋優(yōu)范圍。

②依照如下公式計(jì)算得到相應(yīng)的Az：

其中，l2亦為太陽(yáng)-地球系統(tǒng)中與所選平動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的固定值。

③將上述參數(shù)代入Halo軌道編隊(duì)衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式（2），分別求解得到o-xyz系中封閉周期內(nèi)的對(duì)應(yīng)值；

④將o-xyz系中解得的相對(duì)位置利用式（3）轉(zhuǎn)換至o-x'y'z'系，并計(jì)算得到滿足基線約束的探測(cè)時(shí)間；

⑤根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷是否滿足終止條件，滿足則輸出相應(yīng)的構(gòu)型設(shè)計(jì)參數(shù)；否則為每只螞蟻更新鄰域信息素軌跡并轉(zhuǎn)至步驟1繼續(xù)開始最優(yōu)值搜尋。

4 仿真算例

以L2點(diǎn)處的雙星Halo軌道編隊(duì)為例對(duì)文章構(gòu)型設(shè)計(jì)算法有效性進(jìn)行驗(yàn)證。為方便起見，取觀測(cè)目標(biāo)為地球，采用歸一化距離單位進(jìn)行描述，沿航跡基線不小于0.05（LH）、垂直航跡基線不小于0.002（LV1）且不大于0.008（LV1）。

采用文章設(shè)計(jì)的Halo軌道編隊(duì)構(gòu)型尋優(yōu)算法可以得到觀測(cè)時(shí)間最長(zhǎng)的仿真結(jié)果如下所示。

圖3 L2點(diǎn)附近最優(yōu)Halo軌道編隊(duì)構(gòu)型三維視圖

圖4 L2點(diǎn)附近最優(yōu)Halo軌道編隊(duì)構(gòu)型XZ投影圖

通過計(jì)算可知，當(dāng)Ax=-0.166 630 362 346 067，Az=0.075 227 182 502 546 2且Δt=0.05時(shí)，滿足上述基線約束的對(duì)地觀測(cè)有效時(shí)間最長(zhǎng)，為0.740 398 867 897 166（歸一化時(shí)間）。相應(yīng)的編隊(duì)雙星在Halo軌道上的有效干涉弧段如圖3～圖5所示，由圖可見干涉弧段在三維空間及各平面投影呈對(duì)稱分布。

圖5 L2點(diǎn)附近最優(yōu)Halo軌道編隊(duì)構(gòu)型XY投影圖

圖6 L2點(diǎn)附近最優(yōu)Halo軌道編隊(duì)構(gòu)型YZ投影圖

5 結(jié) 論

本文針對(duì)Halo軌道編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)問題展開研究，給出一種滿足不同干涉基線約束的最優(yōu)構(gòu)型尋優(yōu)方法。該方法以Richardson三階近似解析解為基礎(chǔ)，建立了同一Halo軌道編隊(duì)衛(wèi)星相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型；綜合考慮觀測(cè)目標(biāo)與編隊(duì)衛(wèi)星在以拉格朗日點(diǎn)為質(zhì)心的空間旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中位置幾何關(guān)系，給出不同干涉基線的計(jì)算方法；以滿足基線約束下干涉時(shí)間最長(zhǎng)為目標(biāo)利用蟻群優(yōu)化算法給出最優(yōu)編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法，并以繞L2點(diǎn)的Halo軌道為例對(duì)該方法進(jìn)行仿真分析，結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。

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Formation Configuration Design Based on Halo Orbit

ZHANG Yun-yan1，LI Nan2，LI Yan-jun1
（1.School of Astronautics，Northwestern Polytechincal University，Xi'an 710072，China；
2.Shanghai Institute of Satellite Engineering，Shanghai 200240，China）

Formation configuration design method based on Halo orbitwith different interferometric baseline constraints is studied.The relative motion model for two spacecraft flying on one Halo orbit is established，using the third order approximate analytical solution form of Halo orbit derived by Richardson.The rotation coordinate system related with chief and the observed target is constructed，and the calculation formulae of interferometric baseline are given.Then the optimal formation configuration is obtained，satisfying the baseline constraints and the longest observing time. Finally，the simulation for formation flying on Halo orbit around the sun-earth L2 libration point shows the validity of the design.

Halo orbit，formation flight，configuration design，interferometric baseline

V142.4

A

1002-0640（2014）10-0142-04

2013-08-03

2013-10-16

國(guó)家自然科學(xué)基金（61174204）；航天支撐基金資助項(xiàng)目（NAXW0006）

張?jiān)蒲啵?982－ ），女，山東招遠(yuǎn)人，博士生。研究方向：深空探測(cè)，軌道設(shè)計(jì)。