復(fù)合假設(shè)下導(dǎo)彈可靠性指標(biāo)Bayes檢驗(yàn)方法

甄 昕，丁力軍

（1.解放軍92941部隊(duì)93分隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125000；2.解放軍92493部隊(duì)98分隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125000）

復(fù)合假設(shè)下導(dǎo)彈可靠性指標(biāo)Bayes檢驗(yàn)方法

甄 昕1，丁力軍2

（1.解放軍92941部隊(duì)93分隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125000；2.解放軍92493部隊(duì)98分隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125000）

在用Bayes方法對(duì)海防戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈可靠性指標(biāo)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，原假設(shè)和對(duì)立假設(shè)均采用簡(jiǎn)單假設(shè)的形式，而此種方法可能導(dǎo)致使用方Bayes風(fēng)險(xiǎn)增大。從理論上闡述了簡(jiǎn)單假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法可能導(dǎo)致使用方Bayes風(fēng)險(xiǎn)增大的原因，同時(shí)給出了用于取代簡(jiǎn)單假設(shè)的復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法，并用實(shí)例證明了它比簡(jiǎn)單假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法科學(xué)、合理。

簡(jiǎn)單假設(shè)，復(fù)合假設(shè)，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)，Bayes風(fēng)險(xiǎn)

引言

從上世紀(jì)90年代開(kāi)始，Bayes理論逐漸在海防戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈試驗(yàn)與鑒定領(lǐng)域得到應(yīng)用，主要應(yīng)用在導(dǎo)彈武器系統(tǒng)各類(lèi)可靠性指標(biāo)的檢驗(yàn)與評(píng)估等方面，特別是為小樣本條件下導(dǎo)彈可靠性指標(biāo)評(píng)定提供了一種可信的解決方案。隨著B(niǎo)ayes理論應(yīng)用的不斷深入，其起到的減少試驗(yàn)子樣、縮短試驗(yàn)周期、增加試驗(yàn)效益的作用是不言而喻的，在這一過(guò)程中取得的某些成果已被相關(guān)國(guó)軍標(biāo)收錄，例如：從1994年頒布的GJBZ20217-94到2009年頒布的GJB6671-2009［1］等系列有關(guān)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)設(shè)計(jì)定型試驗(yàn)規(guī)程中，均引用了相同的簡(jiǎn)單假設(shè)下導(dǎo)彈單發(fā)命中概率指標(biāo)Bayes檢驗(yàn)方法，此種方法有著計(jì)算簡(jiǎn)單、工程應(yīng)用方便等特點(diǎn)，但隨著實(shí)際應(yīng)用的加深，發(fā)現(xiàn)其存在瑕疵，有進(jìn)一步改進(jìn)的余地，下面就其存在的問(wèn)題及解決辦法展開(kāi)深入探討。

1 簡(jiǎn)單假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法

在海防戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈設(shè)計(jì)定型試驗(yàn)中，導(dǎo)彈射擊方案的制定通常是基于單發(fā)命中概率指標(biāo)的檢驗(yàn)方案。當(dāng)試驗(yàn)子樣較少或者應(yīng)用經(jīng)典法制定檢驗(yàn)方案將導(dǎo)致雙方風(fēng)險(xiǎn)偏大時(shí)，一般采用Bayes方法來(lái)制定檢驗(yàn)方案，下面給出以往規(guī)程中簡(jiǎn)單假設(shè)下對(duì)導(dǎo)彈單發(fā)命中概率指標(biāo)θ的Bayes檢驗(yàn)方法。

對(duì)于統(tǒng)計(jì)假設(shè)：

其中，參數(shù)空間Θ=Θ0+Θ1。

決策不等式為:

其中，d=（1-θ1）/（1-θ0）為鑒別比，λ=θ1/θ0為鑒別系數(shù)，sn為試驗(yàn)成功數(shù)，fn為試驗(yàn)失敗數(shù)。

驗(yàn)前概率為：

其中，n0為驗(yàn)前試驗(yàn)數(shù)，s0為驗(yàn)前成功數(shù)。

檢驗(yàn)過(guò)程中，生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險(xiǎn)απ0、使用方Bayes風(fēng)險(xiǎn)βπ1為：

式（2）中，α和β分別為經(jīng)典的生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn)，且有：

在制定檢驗(yàn)方案時(shí)，應(yīng)使απ0與βπ1相當(dāng)。

2 問(wèn)題分析

“當(dāng)產(chǎn)品設(shè)計(jì)過(guò)程結(jié)束，完成了從設(shè)計(jì)到工藝生產(chǎn)的轉(zhuǎn)化，于是理論上可以據(jù)此生產(chǎn)無(wú)限多產(chǎn)品，就是我們要考察的全體，其某一質(zhì)量特性服從某個(gè)總體分布?！保?］，海防戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈設(shè)計(jì)定型亦符合這一過(guò)程，所以在導(dǎo)彈設(shè)計(jì)定型試驗(yàn)中對(duì)導(dǎo)彈產(chǎn)品的檢驗(yàn)屬于抽樣檢驗(yàn)，根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢驗(yàn)原理［3］，當(dāng)導(dǎo)彈單發(fā)命中概率θ不低于AQL（合格質(zhì)量水平，取為θ0）或θ≥θ0時(shí)，定型試驗(yàn)成功；當(dāng)θ不高于LQ（極限質(zhì)量水平，取為θ1）或θ≤θ1時(shí)，定型試驗(yàn)失敗。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)決策理論［4］，在上述導(dǎo)彈產(chǎn)品檢驗(yàn)過(guò)程中的Bayes風(fēng)險(xiǎn)r(π，a)由下式?jīng)Q定：

其中，Θ為參數(shù)空間，χ為樣本空間，θ為導(dǎo)彈質(zhì)量特征參數(shù)，a為采取的行為或決策，L（θ，a）為損失函數(shù)，f（x|θ）為似然函數(shù)，π（θ）為先驗(yàn)概率密度函數(shù)。

在以往規(guī)程給出的簡(jiǎn)單假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方案中，有下式成立：

其中，χ0為接收產(chǎn)品的樣本空間，χ1為拒收產(chǎn)品的樣本空間，ai為接收假設(shè)Hi的行為或決策。

將式（4）代入式（3），可得簡(jiǎn)單假設(shè)Bayes風(fēng)險(xiǎn)，即有式（2）成立。

在簡(jiǎn)單假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法中，式（4）是對(duì)導(dǎo)彈設(shè)計(jì)定型試驗(yàn)實(shí)際情況的數(shù)學(xué)抽象，其參數(shù)空間只包含兩點(diǎn)即Θ={θ0，θ1}，顯然與實(shí)際不符，致使其損失函數(shù)有可能存在系統(tǒng)偏差。

從檢驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)或損失角度而言，產(chǎn)品質(zhì)量的合格標(biāo)準(zhǔn)是唯一的，即當(dāng)θ≥θ0時(shí)產(chǎn)品檢驗(yàn)結(jié)果合格接收此批產(chǎn)品，則此決策對(duì)使用方而言是沒(méi)有損失的；當(dāng)θ＜θ0時(shí)產(chǎn)品檢驗(yàn)結(jié)果不合格拒收此批產(chǎn)品，則此決策對(duì)生產(chǎn)方而言是沒(méi)有損失的，反之都是有損失的。風(fēng)險(xiǎn)或損失正是由于非全額檢驗(yàn)造成的。據(jù)此，在制定檢驗(yàn)方案時(shí)應(yīng)有下式成立：

其中，a0：接收假設(shè)H0，a1：接收假設(shè)H1。

將式（5）代入式（3），可得復(fù)合假設(shè)生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險(xiǎn)απ00和使用方Bayes風(fēng)險(xiǎn)βπ11為：

GJB6671-2009規(guī)定在導(dǎo)彈指標(biāo)的檢驗(yàn)過(guò)程中要堅(jiān)持雙方風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)?shù)脑瓌t，所以風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算對(duì)于確定試驗(yàn)樣本量是至關(guān)重要的，同時(shí)也涉及到試驗(yàn)的公平性。簡(jiǎn)單假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法的統(tǒng)計(jì)假設(shè)與導(dǎo)彈飛行試驗(yàn)實(shí)際有出入，其無(wú)法考慮θ∈（θ1，θ0）時(shí)決策所帶來(lái)的損失，導(dǎo)致Bayes風(fēng)險(xiǎn)可能存在系統(tǒng)偏差，而復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法可以有效解決這一問(wèn)題。

3 復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法

復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法，設(shè)有統(tǒng)計(jì)假設(shè)：

π（H0|X）與π（H1|X）為θ的后驗(yàn)概率，決策不等式為：

其中，

θ的后驗(yàn)概率密度π（θ|x）由下式?jīng)Q定［5］：

其中，fn為試驗(yàn)失敗數(shù)，n0、s0和sn定義同前，B（a，b）為貝塔函數(shù)。

θ的先驗(yàn)概率π（θ）由下式?jīng)Q定［5］：

將似然函數(shù)π（x|θ）、式（5）和式（9）代入式（6），可得到生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險(xiǎn)απ00和使用方Bayes風(fēng)險(xiǎn)βπ11。

在制定檢驗(yàn)方案時(shí)，應(yīng)使απ00和βπ11相當(dāng)。

4 案例分析

采用GJB6671-2009給出的范例。假設(shè)某型導(dǎo)彈設(shè)計(jì)定型試驗(yàn)，其單發(fā)命中概率θ的合格質(zhì)量水平θ0=0.75，極限質(zhì)量水平θ1=0.58，且有導(dǎo)彈研制試驗(yàn)結(jié)果作為先驗(yàn)信息（n0，s0）=（8，6），利用簡(jiǎn)單假設(shè) Bayes檢驗(yàn)方法制定的檢驗(yàn)方案為（sn，fn）=（5，2），即定型試驗(yàn)7發(fā)5中合格，經(jīng)計(jì)算雙方風(fēng)險(xiǎn)απ0=0.151 0、βπ1=0.140 9，基本相當(dāng)。

試根據(jù)以上數(shù)據(jù)制定復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方案，并比較兩方案的Bayes風(fēng)險(xiǎn)。

解：已知θ0=0.75，θ1=0.58，s0=6，f0=2，當(dāng)導(dǎo)彈定型試驗(yàn)樣本量n=6、7、8時(shí)，在滿足式（7）的條件下，可以得到相應(yīng)的檢驗(yàn)方案（sn，fn）下的Bayes風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

本案例用Matlab編程計(jì)算，計(jì)算過(guò)程中的積分值由int（）函數(shù)求取。

從表1的計(jì)算結(jié)果可以得到以下兩點(diǎn)結(jié)論：

①對(duì)于相同的檢驗(yàn)方案，簡(jiǎn)單假設(shè)的生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險(xiǎn)απ0要大于復(fù)合假設(shè)的生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險(xiǎn)απ00；簡(jiǎn)單假設(shè)的使用方Bayes風(fēng)險(xiǎn)βπ1要小于復(fù)合假設(shè)的使用方Bayes風(fēng)險(xiǎn)βπ11。

表1 導(dǎo)彈單發(fā)命中概率兩種檢驗(yàn)方案Bayes風(fēng)險(xiǎn)比較

②按照雙方風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)?shù)脑瓌t，用簡(jiǎn)單假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法選擇的檢驗(yàn)方案為（sn，fn）=（5，2），即定型試驗(yàn)7發(fā)5中合格；用復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法選擇的檢驗(yàn)方案為（sn，fn）=（5，1），即定型試驗(yàn)6發(fā)5中合格。

以上兩點(diǎn)說(shuō)明：從Bayes風(fēng)險(xiǎn)或試驗(yàn)公平性角度而言，用以往規(guī)程給出的簡(jiǎn)單假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法來(lái)制定檢驗(yàn)方案，相比較用復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法來(lái)制定檢驗(yàn)方案，增大了生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險(xiǎn)，使最終檢驗(yàn)結(jié)果照顧了生產(chǎn)方利益，但損害了使用方利益。

5 結(jié)論

理論和實(shí)例分析表明，復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法相較以往規(guī)程中給出的簡(jiǎn)單假設(shè)Bayes檢驗(yàn)方法更加符合海防戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈飛行試驗(yàn)的實(shí)際情況，相比較而言是科學(xué)合理的，特別是其損失函數(shù)的確定方法對(duì)經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)也有重要借鑒意義。

對(duì)于服從非二項(xiàng)分布的可靠性指標(biāo)的復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)，只是似然函數(shù)、先驗(yàn)函數(shù)及后驗(yàn)函數(shù)和二項(xiàng)分布有所不同，所得結(jié)論不變。

［1］李守秀.GJB 6671-2009反艦導(dǎo)彈定型試驗(yàn)規(guī)程［S］.北京：中國(guó)人民解放軍總裝備部，2009.

［2］何國(guó)偉.可靠性試驗(yàn)技術(shù)［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1995.

［3］馬毅林，于振凡.產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢驗(yàn)［M］.北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，1997.

［4］James O B．Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis［M］．New York:SVNY Publishing，1980.

［5］周源泉，翁朝曦.可靠性評(píng)定［M］.北京：科學(xué)出版社，1990：66.

［6］茆詩(shī)松，王玲玲.可靠性統(tǒng)計(jì)［M］.南京：華東師范大學(xué)出版社，1985.

Method for Bayesian Hypothesis Testing of Missile Reliability Indexes under Complex Hypothesis

ZHEN Xin1，DING Li-jun2
（1.Unit 93 Troop 92941 of PLA，Huludao 125000，China；2.Unit 98 Troop 92493 of PLA，Huludao 125000，China）

For a long time，a null hypothesis and its resistant hypothesis have been adopted the form of a point hypothesis which may increase Bayes risk of users when Bayesian hypothesis testing for the reliability indexes of the Navy tactic missile has been conducted in the test of missiles.In this article，the reason of the growth of Bayes risk of users has been clarified theoretically.Meantime，a complex hypothesis has been given up，and its advantages over a point hypothesis have been vindicated by example.

a Point Hypothesis，complex hypothesis，classical risk，Bayesian risk

E917

A

1002-0640（2014）10-0183-03

2013-07-09

2013-09-07

甄 昕（1970- ），男，高級(jí)工程師。研究方向：導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可靠性試驗(yàn)。