一種快速確定GPS整周模糊度的方法*

張 豪，楊春燕，張 磊，王浩程

（空軍工程大學(xué)電訊工程學(xué)院，西安 710077）

一種快速確定GPS整周模糊度的方法*

張 豪，楊春燕，張 磊，王浩程

（空軍工程大學(xué)電訊工程學(xué)院，西安 710077）

GPS初始整周模糊度的求解是利用載波相位進(jìn)行測量時的關(guān)鍵問題，采用了對系數(shù)矩陣進(jìn)行QR分解的方法，用以降低矩陣的維數(shù)。模糊度搜索時，針對Z變換可能會引入多余誤差，采用了對稱三角分解法對協(xié)方差矩陣進(jìn)行去相關(guān)處理。實驗與仿真結(jié)果表明，定位誤差在0.5 cm以內(nèi)，方位角和仰角誤差在0.1°以內(nèi)。

GPS，載波相位測量，整周模糊度，QR分解，對稱三角分解

引言

GPS初始整周模糊度的解算是載體進(jìn)行精密相對定位關(guān)鍵。準(zhǔn)確并且快速地解算出整周模糊度，對實現(xiàn)高精度的動態(tài)定位十分重要。目前，整周模糊度的解算方法有很多種，常用的算法有快速模糊度確定法（FAST）、模糊度函數(shù)法、最小二乘搜索法、最小二乘模糊度降相關(guān)平方差法（LAMBDA）。多數(shù)方法的搜索算法都需要先確定模糊度的浮點解，進(jìn)而再確定整周模糊度的搜索空間。

整周模糊度求解浮點解一般采用最小二乘方法，這種方法的特點是，模型簡單，易于實現(xiàn)，但隨著歷元數(shù)目的不斷增加，計算量將巨大。一般對搜索空間進(jìn)行Z變換，由于Z變換的過程中需要考慮整周模糊度的整數(shù)特性，會引入多余的誤差。本文在對GPS整周模糊度研究的基礎(chǔ)上，采用了對系數(shù)矩陣進(jìn)行QR分解的方法，然后通過矩陣變換使模糊度參數(shù)和位置參數(shù)分離，從而降低了矩陣的維數(shù)，進(jìn)而減少了運算量。然后采用對稱三角分解法對協(xié)方差矩陣進(jìn)行去相關(guān)處理，避免了引入多余誤差。通過仿真結(jié)果與真實數(shù)據(jù)的比較，驗證了該方法的有效性。

1 整周模糊度浮點解

若共視n+1顆衛(wèi)星，每一個歷元可建立n個雙差方程，設(shè)某一歷元的載波相位雙差線性化觀測方程組為［1-2］：

式中Li為第i個歷元載波相位雙差觀測值，Ai為第i個歷元系數(shù)陣；Xi為第i個歷元基線分量組成的向量；λ為載波相位的波長，N是整周模糊度向量；觀測噪聲在此處不作考慮。

對于m個歷元，其相應(yīng)的方程為：

式中B=［E1，E2，…，Em］T，Ei為n×n的單位矩陣。

如果在此基礎(chǔ)上直接求解方程，則會遇到高階矩陣求逆的問題，這樣會導(dǎo)致很大的運算量，需要數(shù)分鐘來處理，不能滿足實時處理的要求。為此必須對上式進(jìn)行變換，使模糊度參數(shù)與位置參數(shù)分離，從而降低方陣的階數(shù)。采用QR分解［3］，步驟如下：

1）對系數(shù)矩陣Ai進(jìn)行QR分解，即Ai=QiRi，Qi為n×n階矩陣，Ri為n×3階矩陣。

上式可以化為：

式中qi=（Qi2）T，li=（Qi2）T·Li。

相應(yīng)的對于m個歷元，式（2）變?yōu)椋?/p>

式（5）可簡化為：

利用最小二乘法求解線性方程，其浮點解為［4］：

相應(yīng)的其協(xié)方差矩陣為：

其中Qq為觀測矩陣的權(quán)值矩陣。

2 對稱三角分解法對搜索空間進(jìn)行去相關(guān)

利用浮點解和協(xié)方差矩陣構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)f（N）為［5-7］：

搜索使目標(biāo)函數(shù)最小的N作為模糊度的最優(yōu)解，記為N。由于式（8）沒有一個標(biāo)準(zhǔn)的方法求解，所以只能采用一種離散的搜索技術(shù)，先取一個選中的橢球區(qū)域，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行最小值的搜索。

上式被稱為搜索橢球［8-9］，式中n為模糊度參數(shù)的個數(shù)，x2（n，0）為搜索橢球的大小。在少數(shù)歷元的觀測量下進(jìn)行模糊度搜索時，由于模糊度之間通常具有很大的相關(guān)性，使得模糊度空間內(nèi)包含的待定點較多，如果直接進(jìn)行整周模糊度的搜索，效果并不理想。為了降低模糊度的相關(guān)性，提高搜索效率，首先要進(jìn)行去相關(guān)處理。

目前一般對搜索空間進(jìn)行Z變換，但是由于Z變換的過程要考慮到整周模糊度的整數(shù)特性，因此，無論是對協(xié)方差矩陣進(jìn)行LD分解還是UD分解，在對三角矩陣取整后，均可能會引入多余的誤差，使變換后的QN?矩陣中的某一個或者某些對角元素值小于0，這樣就破壞了QN?矩陣的正定性，無法滿足正定條件，從而出現(xiàn)病態(tài)分解，使得去相關(guān)失敗。

由于協(xié)方差矩陣QN?為n×n維的實對稱矩陣假設(shè)QN?矩陣的形式為：

在此對QN?不進(jìn)行Z變換，而是采用對稱三角分解對QN?進(jìn)行去相關(guān)處理，使QN?=CCT。假設(shè)C為下三角矩陣，其形式為：

矩陣中C元素對應(yīng)的結(jié)算方程為：

將QN?=CCT代入式（10）得：

將式（14）化簡為：

其中，

由式（15）可知：

由不等式的傳遞性可得：

由式（17）可求得整周模糊度N1的搜索范圍為：

依次類推可知Ni的搜索范圍為：

其中

采用對稱三角分解的方法對搜索空間進(jìn)行去相關(guān)處理，避免了Z變換過程中病態(tài)分解的出現(xiàn)，提高了協(xié)方差矩陣去相關(guān)的成功率，改善了搜索空間。

3 實驗與仿真分析

實驗采用兩臺單頻NovAtel接收機(jī)，數(shù)據(jù)的采集率為1 s，數(shù)據(jù)于2012年4月15日在西安市豐鎬東路1號采集。采集時已測得兩臺接收機(jī)之間的距離為7.810 m，高度差為0.43 m。在衛(wèi)星高度角截止到10°時可視衛(wèi)星共有7顆，分別為1#、6#、11#、13#、16#、19#、23#。選取仰角最大的一顆（19#）作為參考星。截取其中的160歷元進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，在數(shù)據(jù)處理前周跳已被修復(fù)，經(jīng)實驗得出經(jīng)過26個歷元即可確定雙差模糊度值，仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。由仿真結(jié)果可以得出，基線長度誤差控制在0.5 cm以內(nèi)，方位角誤差控制在0.1°以內(nèi)，仰角誤差控制在0.1°以內(nèi)。

圖1 基線長度

圖2 基線各個坐標(biāo)分量

圖3 基線方位角

圖4 基線仰角

4 結(jié) 論

通過實驗與仿真運算可以得出，使用本文所用算法，可以在很短的時間內(nèi)（通常情況下小于30 s）確定雙差整周模糊度，并且定位精度高。在探測與修復(fù)周跳的前提下，可以用于高精度的動態(tài)定位和測姿中。

［1］劉基余.GPS衛(wèi)星導(dǎo)航定位原理與方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2003.

［2］謝 鋼.GPS原理與接收機(jī)設(shè)計［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2009.

［3］程云鵬，張凱院，徐仲.矩陣論［M］.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2010.

［4］王子茹，李鳳斌.綜述GPS定位整周模糊度求解問題［J］.東北測繪，2000，12（4）：15-17.

［5］XU P L.Random Simulation and GPS Decorrelation［J］. Journal of Geodesy，2001，15（3）：40-43.

［6］Ueno M，Santerre R.A Combined Method for GPS Ambiguity Resolution with Single-frequency Re-ceivers:Application for Ship Berthing［J］.Naviga-tion，2000，14（1）：51-54.

［7］劉少鵬.GPS載波相位定位關(guān)鍵技術(shù)研究［D］.西安:空軍工程大學(xué)，2010.

［8］袁 偉.運動中整周模糊度快速分解的研究與應(yīng)用［D］.成都:西南交通大學(xué)，2009.

［9］盧獻(xiàn)健.GPS整周模糊度求解理論分析與方法研究［D］.桂林:桂林工學(xué)院，2008.

A Resolution Method of GPS Integer Ambiguity Rapid Determination

ZHANG Hao，YANG Chun-yan，ZHANG Lei，WANG Hao-cheng
（School of Telecommunication Engineering，Air Force Engineering University，Xi'an 710077，China）

The key of measurement using GPS carrier phase is the determination of integer ambiguity.A method of QR decomposition is applied to decompose the observation matrix of satellites，so as to decrease dimensions of the matrix.Symmetry triangle decomposition is used to the searching of integer ambiguity because of Z transform may engender error.Simulation results indicate that the proposed method is fast and efficient for relative positioning of a moving user.

GPS，carrier phase measurement，integer ambiguity，QR decomposition，symmetry triangle decomposition

P228.4

A

1002-0640（2014）10-0027-03

2013-07-05

2013-10-07

國家自然科學(xué)基金（61203201）；陜西省自然科學(xué)基金資助項目（2012JQ8017）

張 豪（1986- ），男，河南鄢陵人，碩士研究生。研究方向：衛(wèi)星導(dǎo)航應(yīng)用。