霍爾效應(yīng)從經(jīng)典到量子

孫嘉良　張亞星

摘要：霍爾效應(yīng)是物理學(xué)的重大發(fā)現(xiàn)之一，特別是1980年發(fā)現(xiàn)的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，以及1982年發(fā)現(xiàn)的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)，對(duì)于物理學(xué)理論的發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用都具有重要意義；特別是在電子技術(shù)、測量技術(shù)、自動(dòng)控制技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：霍爾效應(yīng)；經(jīng)典量子；整數(shù)量子霍爾效應(yīng)；分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)

1979年，美國人霍爾（E. H. Hall）發(fā)現(xiàn)，將通有電流的金箔置于均勻磁場中時(shí)，除了電流方向存在正常電壓外，與電流和磁場都垂直的方向上也可以測量到電壓，此后人們就將這個(gè)電壓稱作霍爾電壓，通常記作VH。

霍爾電壓是最簡單也是最有用的電磁效應(yīng)。例如，利用VH可以測定樣品（特別是半導(dǎo)體）的載流子濃度等性質(zhì)；可以制成高斯計(jì)等?；魻栯妷篤H=KIBd，

（1） 其中K是霍爾系數(shù)d是樣品厚度?？梢宰C明K=1nq，

（2） 式中n是載流子濃度即單位體積內(nèi)的載流子數(shù)，q是載流子電量，若載流子是電子，則q=-e。由霍爾電壓可以定義霍爾電阻：RH=VHI=Bnqd，

（3） 霍爾電壓的產(chǎn)生，是由于載流子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到洛倫茲力。

F=qE+qcv×B，

（4） 若選取磁場方向?yàn)閦方向，電流方向?yàn)閤方向，那么電場E的方向在-x方向。若電子在x方向的漂移速度為vx，那么它在y方向受到的洛倫茲力： Fy=-evxcB，

（5） 電子受到的電場力-eE和洛倫茲力相等時(shí)達(dá)到平衡，即：evxBz-eEy=0，

（6） 如果電子濃度是n，則電流速度jx=-nevx，

（7） 式中出現(xiàn)負(fù)號(hào)是因?yàn)殡娮訋ж?fù)電荷是負(fù)的。

利用（6）式我們得到Ey=KjxBz，

（8） K是Hall系數(shù)。由上述論證可知K=-1ne，

（9） 若q=-e，則有K=1nq這正是（2）式所給的結(jié)果。

如果實(shí)驗(yàn)樣品很薄，即厚度d→0，但保證（3）式中的nqd固定，這樣的二維霍爾電阻與試樣的尺度無關(guān)，即 RH=Bnq，

（10） 霍爾電導(dǎo)率σH是電流密度jx=-envx與y方向的有效電場Ey=Fy-e=jx-encB之比，所以 σH=jxEy=-encB，

（11） 一般情況下電導(dǎo)率是張量記作（σij），它將電流密度矢量j與電場強(qiáng)度矢量E聯(lián)系起來：j=（σij）E；i，j=x，y，z。

電導(dǎo)率張量的分量與電阻率張量分量之間的關(guān)系是：

σxx=ρxxρ2xy+ρ2xx=σyy，σxy=ρxyρ2xy+ρ2yx=-σyx，

假定σxx=0ρxx=0，則霍爾電導(dǎo)率及電阻率是：σH=σxy；ρH=ρxy，

（12） 由（3）式可知，經(jīng)典霍爾效應(yīng)的霍爾電阻RH隨外磁場B的增強(qiáng)而線性增大，但到了1980年這一規(guī)律受到了質(zhì)疑。

法國科學(xué)家Klitzing等人發(fā)現(xiàn)，在強(qiáng)磁場及極低溫條件下，二維系統(tǒng)的霍爾電阻以e2h的整數(shù)倍跳躍變化，不再隨磁場線性變化，這一現(xiàn)象稱為整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，并因此他們而獲得1985年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

根據(jù)量子力學(xué)，電子在垂直于磁場的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，能量不連續(xù)即：E（n，k）=ξc+（n+12）書版無字符：0x210fωc，n=0，1，2…

（13） 其中ωc稱為回旋共振頻率。根據(jù)泡利原理，電子態(tài)將從最低能級(jí)填充到某個(gè)高能級(jí)。

假定有N個(gè)電子從最低能級(jí)n=0，一直填充到能級(jí)l，也就是填充了（l+1）個(gè)能級(jí)，我們可以得到磁場B與電子密度n之間關(guān)系：

B=nhce（l+1），l=0，1，2…（14）

比較（14）及（10）式，可得到量子化霍爾電導(dǎo)率σH及電阻率ρH：

σH=-encB=-e2h（l+1）

ρH=ρxy=he2·1l+1；l=0，1，2…（15）

霍爾電阻率可以精確測量到10-7，光速可精確到10-9，因而可精確得到精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)：α=e2書版無字符：0x210fc=e2h2πc。另外，也提供了一個(gè)新的方便使用的標(biāo)準(zhǔn)電阻，已經(jīng)被美國國家標(biāo)準(zhǔn)局采用。

在整數(shù)量子霍爾效應(yīng)發(fā)現(xiàn)后僅兩年時(shí)間，即1982年，崔琦、Strmer和Gossard對(duì)高純度樣品在強(qiáng)磁場低溫條件下的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，量子霍爾電阻的平臺(tái)還存在有規(guī)律的精細(xì)結(jié)構(gòu)，也就是在一個(gè)平臺(tái)的12m+1處（m取正整數(shù)），例如13，15，17等處也出現(xiàn)小臺(tái)階。

在此之后，又發(fā)現(xiàn)分母為偶數(shù)例如12，32處也出現(xiàn)小臺(tái)階。

這一現(xiàn)象稱為反常量子霍爾效應(yīng)（FQHE）。由于發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)，崔琦及Stromer獲得1998年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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[3] TAYLOR P L，HEINONEN O.Aquantum Approach to condensed Matter Physics[M].London Cambridge University，2002：342.

作者簡介：

孫嘉良，山東省煙臺(tái)市，煙臺(tái)大學(xué)光電信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院；張亞星，山東省煙臺(tái)市，煙臺(tái)大學(xué)文經(jīng)學(xué)院實(shí)驗(yàn)與資產(chǎn)管理部。endprint