利用Bessel函數(shù)求解熱傳導(dǎo)方程的定解

金啟勝

(安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共基礎(chǔ)部,安徽 安慶 246003)

1 預(yù)備知識(shí)

變系數(shù)二階線(xiàn)性常微分方程x2y″+xy′+(x2-n2)y=0 稱(chēng)為n階貝塞爾(Bessel)方程，其解稱(chēng)為貝塞爾(Bessel)函數(shù).根據(jù)微分方程解的冪級(jí)數(shù)理論可知:n階貝塞爾方程有一個(gè)廣義冪級(jí)數(shù)特解

此解稱(chēng)為n階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù).易知方程還有另外一個(gè)廣義冪級(jí)數(shù)特解

此解稱(chēng)為-n階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù).根據(jù)線(xiàn)性常微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可知:n階貝塞爾方程通解為y(x)=AJn(x)+BJ-n(x)，其中A,B為任意常數(shù)，n為非整數(shù).如果令A(yù)=cotnπ,B=-cscnπ，則得n階貝塞爾方程另一個(gè)與Jn(x)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解

此解稱(chēng)為n階第二類(lèi)貝塞爾函數(shù).從而方程x2y″+xy′+(x2-n2)y=0 的通解可寫(xiě)成y(x)=CJn(x)+DYn(x)，其中C,D為任意常數(shù)，n為任意實(shí)數(shù)[1-3].

1.1 Bessel函數(shù)的遞推公式

不同階數(shù)的Bessel函數(shù)之間有一定的聯(lián)系，由Jn(x)的表達(dá)式很容易推出以下兩個(gè)基本遞推公式：

1.2 Bessel函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)

定理1Jn(x)有無(wú)窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn)，這些零點(diǎn)在x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分布.故Jn(x)有無(wú)窮多個(gè)正零點(diǎn).

定理2Jn(x)的零點(diǎn)與Jn+1(x)的零點(diǎn)是彼此相間分布的，而且Jn(x)的絕對(duì)值最小的零點(diǎn)比Jn+1(x)的絕對(duì)值最小的零點(diǎn)更接近于零.

定理3 如果x值充分大，則Jn(x)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離接近于π.

1.3 Bessel函數(shù)的正交完全性

2 應(yīng)用舉例

求解熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題：

分離變量得[2,3]

即有

顯然|R(0)|<+∞，由(2)得R(1)=0.而方程(5)為零階貝塞爾方程，通解為:

將λm代入方程(4)得

如此以來(lái)，

根據(jù)疊加原理可知，方程(1)在滿(mǎn)足初始條件(2)的解為

由初始條件(3)得

所以方程(1)滿(mǎn)足初始條件(2)、(3)的解為

3 結(jié)語(yǔ)

利用貝塞爾函數(shù)的一些性質(zhì)，比如遞推公式、零點(diǎn)分布性質(zhì)、正交性及模的計(jì)算方法等，可以方便求解熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題.不僅如此，對(duì)于波動(dòng)方程、Laplace方程的定解問(wèn)題也可以利用貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解，這里不再贅述[5].

參考文獻(xiàn)：

[1]谷超豪,李大潛,陳恕行,等.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：高等教育出版社,2005:193-196.

[2]段志文,韓淑霞.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)[M].北京：高等教育出版社,2008:119-135.

[3]張慧清,吳小吟,楊小軍.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2005:147-149.

[4]陳祖墀.偏微分方程[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2004:65-94.

[5]金啟勝.利用Bessel函數(shù)求解波動(dòng)方程的定解問(wèn)題[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào),2014(4):89-91.