“因式分解”應(yīng)注意的問(wèn)題及常見(jiàn)錯(cuò)誤

俞海江

摘 要：根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教學(xué)要求，本文結(jié)合多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)因式分解的要求、注意點(diǎn)、常見(jiàn)錯(cuò)誤，力求讓學(xué)生掌握因式分解的方法。

關(guān)鍵詞：分解因式 注意問(wèn)題 幾種變化 常見(jiàn)錯(cuò)誤

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（c）-0094-02

新浙教版教材下冊(cè)第四章主要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是多項(xiàng)式的因式分解。

這一章的重點(diǎn)是因式分解的幾種基本方法，難點(diǎn)是學(xué)完幾種基本方法后，能否根據(jù)不同的題目，進(jìn)行具體的分析，靈活地綜合運(yùn)用多種方法分解因式，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵在于掌握分解因式各種方法的特點(diǎn)。

1 學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的要求

（1）明確因式分解的意義，掌握因式分解的常用方法和一般步驟。

（2）能熟練地綜合運(yùn)用學(xué)過(guò)的幾種基本方法進(jìn)行因式分解。

2 學(xué)習(xí)中因注意的問(wèn)題

（1）因式分解是一種和差化積的變換，屬于恒等變形，變形前后的式子必須相等（恒等），保持“形”變而“值”不變，既不能“無(wú)中生有”，也不能“化有為無(wú)”。如：

x2-xy+y2=x2-2xy+y2=（x-y）2就是錯(cuò)誤的。

（2）因式分解的定義中所說(shuō)的“積的形式”是對(duì)因式分解的多項(xiàng)式的整體來(lái)說(shuō)，不能只分解多項(xiàng)式的一部分，如：

①x2+2x-16=（x-3）（x+5）-1

（2）x3-x2+x-1=x（x2-x+1）-1

這些表示方法都不能算是因式分解。

根據(jù)定義，多項(xiàng)式所分解成的每個(gè)因式必須是整式，例如x-y=（x2-y2）× 就不是因式分解。

（3）教材中指出：“因式分解，必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止”指的是在規(guī)定的數(shù)系范圍內(nèi)不能再分解為止。在沒(méi)學(xué)到實(shí)數(shù)之前，只能在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行。如36x4-y4=（6x2+y2）（6x2-y2），以后學(xué)了實(shí)數(shù)后，另一個(gè)因式6x2-y2還能分解，但現(xiàn)在不能。但要注意并非任一多項(xiàng)式都能在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解因式，如x2-6x+10。對(duì)于能夠分解的多項(xiàng)式，方法往往不限于一種，要力求選擇最簡(jiǎn)便的方法。

（4）由于受課本上的例題及其解法的影響，一些同學(xué)對(duì)因式分解的結(jié)果表達(dá)式產(chǎn)生一種錯(cuò)覺(jué)，就是表達(dá)式一定是唯一的，其實(shí)不然，如：

分解因式：m2+mn+n2

解法一：m2+mn+n2=（m）2+2。mn+n2=（m+n）2

解法二：m2+mn+n2=（m2+6mn+9n2）

=（m+3n）2

值得指出的是：上述例說(shuō)明由于系數(shù)與符號(hào)的作用，多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果表達(dá)式可能有幾種形式。當(dāng)然，這些形式不同的表達(dá)式是可以互化的，其值不變。

3 在學(xué)習(xí)中，要掌握好以下幾種變化，可為分解因式創(chuàng)造有利條件

（1）符號(hào)變化。

例：分解因式（a+b）（p-q）+（a-b）（q-p）.

若將q-p變?yōu)?（p-q），則

原式=（a+b）（p-q）-（a-b）（p-q）=（p-q）（a+b-a+b）=2b（p-q）

（2）指數(shù)的變化。

例：分解因式x n+1-x n-1

若將x n+1變?yōu)閤 n-1.x 2，則

原式=x n-1（x 2-1）=x n-1（x +1）（x -1）.

（3）代換變化。

例：分解因式4（x +y）2-12（x +y）（2x -y）+9（2x -y）2

若設(shè)m=x +y，n=x -y，則

原式=4m2-12mn+9n2=（2m-3n）2. 即有

上式=[2（x +y）-3（2x -y）]2=（5y-4x ）2

（4）組合變化。

例：分解因式x 2-6x -4y2+12y

原式=（x 2-4y2）-（6x -12y）=（x +2y）（x -2y）-6（x -2y）=（x -2y）（x +2y-6）.

（5）展合變化。

例：分解因式ab（c2-d2）-cd（a2-b2）

原式=abc2-abd2-a2cd+b2cd=（abc2-a2cd）+（b2cd-abd2）

=ac（bc-ad）+bd（bc-ad）=（bc-ad）（ac+bd）

（6）增拆變化。

例：分解因式x4+4y4

原式=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=（x2+2y2）2-（2xy）2=（x2+2xy+2y2）（x2-2xy+2y2）

在進(jìn)行以上六種變化時(shí)，應(yīng)做到“多想一步，有的放矢”。

4 因式分解是學(xué)習(xí)分式、解方程、三角函數(shù)式變形的基礎(chǔ)

它也是教與學(xué)的難點(diǎn)之一，其解法靈活、技巧性強(qiáng)，所以容易出錯(cuò)，為防微杜漸和糾正錯(cuò)誤，下面將因式分解中常見(jiàn)的錯(cuò)誤作一歸類分析。

4.1 只分解了部分項(xiàng)

錯(cuò)解例1：

P2-5p-36=（p2-5p）-36=p（p-5）-36

或=（P2-36）-5p=（p+6）（p-6）-5p

錯(cuò)解例2：

4x2-4xy+y2-a2=（4x2-4xy）+（y2-a2）=4x（x-y）+（y+a）（y-a）

或=（4x2-a2）-（4xy-y2）=（2x+a）（2x-a）-y（4x-y）

分析：兩個(gè)錯(cuò)例四種解法，一個(gè)病根，就是只看到了局部中的多項(xiàng)式能分解因式，沒(méi)有看到全局的下一步不能分解因式，因而，把不應(yīng)分組的錯(cuò)例1分了組；把該分組的錯(cuò)例2分錯(cuò)了組，這種錯(cuò)誤反應(yīng)了對(duì)因式分解的定義沒(méi)有真正理解。

錯(cuò)例1分解的正確結(jié)果是（p+4）（p-9）

錯(cuò)例2的正確分組時(shí)（4x2-4xy+y2）-a2

4.2 提公因式法中的錯(cuò)誤

（1）符號(hào)處理失誤。

例3：分解因式：

誤解：原式

分析：多項(xiàng)式的首項(xiàng)帶有負(fù)號(hào)時(shí)，在解題時(shí)可先提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)為正，再提公因式。

正解：原式。

（2）有而不提。

例4：分解因式：。

誤解：原式

致原式分解后括號(hào)里仍有公因式。

正解：原式

（3）忽略系數(shù)。

例5：分解因式：

誤解：原式

分析：系數(shù)也是因式，分解時(shí)要提取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)。

正解：原式

（4）漏掉了括號(hào)里是1的項(xiàng)。

例6：分解因式：3x2-6xy-x

誤解：原式=x（3x-6y）

分析：把公因式x提出后，就認(rèn)為多項(xiàng)式中是x的項(xiàng)不存在了，因而漏掉了括號(hào)里是1的項(xiàng)，這里把單獨(dú)成項(xiàng)的不可省略的“1”與可省略的系數(shù)“1”弄混了。

正解：原式=x（3x-6y-1）

4.3 運(yùn)用公式中的錯(cuò)誤

（1）不理解公式中字母的含義，錯(cuò)用公式。

例7：分解因式：。

誤解：原式

分析：對(duì)平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）中a、b未理解其含義。公式中的a、b應(yīng)分別為3x和2y。

正解：原式

（2）不記公式特點(diǎn)，亂用公式。

例8：分解因式：

誤解：原式

分析：對(duì)完全平方公式的特點(diǎn)認(rèn)識(shí)不足，以至把誤認(rèn)為是完全平方式。

正解：原式

（3）思維有局限，復(fù)雜式子中不會(huì)用公式。

例9：分解因式：

許多同學(xué)對(duì)此題束手無(wú)策，或誤解為原式。

分析：公式中的字母可以表示任何數(shù)、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。要避免把公式中的字母看成一個(gè)數(shù)的局限性。

正解：原式

4.4 分解不徹底

分解不徹底是分解因式時(shí)最容易犯的錯(cuò)誤，應(yīng)注意分解因式要分解到每個(gè)因式不能再分解為止。

例10：分解因式

誤解：原式

分析：分解出來(lái)的因式，沒(méi)有繼續(xù)分解徹底。

正解：原式

4.5 混淆了因式分解與整式乘法的區(qū)別

錯(cuò)解例11：

（a2+1）2-4a2=（a2+2a+1）（a2-2a+1）=（a+1）2（a-1）2=（a2-1）2

分析：錯(cuò)例11把已經(jīng)分解完的因式 （a+1）2（a-1）2又進(jìn)行了整式乘法運(yùn)算，得 （a2-1）2，這是對(duì)因式分解的概念沒(méi)有理解所造成的。

4.6 漏掉了項(xiàng)中的字母

錯(cuò)解例12：

5x2+6xy-8y2=（x+2）（5x-4）

分析：錯(cuò)例12分解成的兩個(gè)因式之所以都漏掉了字母y，是由于受了第三項(xiàng)不含字母的二次三項(xiàng)式分解因式的影響，這是思維定勢(shì)的反映。

總之，因式分解的錯(cuò)誤原因很多，要認(rèn)真審題，深刻理解公式，牢記分解方法，并能靈活運(yùn)用。以下口訣同學(xué)們?cè)诜纸膺^(guò)程中不妨試一試，希望對(duì)你有所幫助：

首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有公先提公；

某項(xiàng)提出莫漏1，公式特點(diǎn)要牢記；

各個(gè)因式看仔細(xì)，括號(hào)里面分到“底”。

因式分解的內(nèi)容滲透于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材之中。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)初一的整式四則運(yùn)算，又為本冊(cè)下一章分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力。我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)予以足夠重視，從而促使學(xué)生更好地學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，為我們的祖國(guó)培養(yǎng)更多更優(yōu)秀的人才。

參考文獻(xiàn)

[1] 數(shù)理化學(xué)習(xí)：初中版[D].哈爾濱師范大學(xué).