探討概率統(tǒng)計中微積分的應用

孫向濤

摘 要：概率統(tǒng)計就是針對與自然界中隨機出現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律，微積分不僅是概率統(tǒng)計的基礎，概率統(tǒng)計與微積分之間是相互聯(lián)系、相互發(fā)展的關系。特別是隨著天文學、生物學、經(jīng)濟學、工程學、化學、力學的發(fā)展，微積分與概率統(tǒng)計的關系也越來越緊密，以下本篇就探討在概率統(tǒng)計中微積分的應用。

關鍵詞：微積分 概率統(tǒng)計 函數(shù)

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（c）-0217-01

眾所周知概率統(tǒng)計是建立在微積分的基礎上的，概率統(tǒng)計針對隨機事件規(guī)律的統(tǒng)計，而概率統(tǒng)計中又會應用的微積分，微積分不僅是概率統(tǒng)計的關鍵，同時也可以決定概率統(tǒng)計的成敗。以下就從微積分、概率統(tǒng)計的概念出發(fā)，介紹微積分在概率統(tǒng)計中的應用。

1 概率統(tǒng)計與微積分的概念

概率統(tǒng)計就是針對自然界的不確定性的現(xiàn)象，包括結果的不確定、偶然隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的集體性規(guī)律，再根據(jù)概率論、數(shù)理統(tǒng)計的方法，統(tǒng)計出數(shù)據(jù)的規(guī)律性。然而對于微積分，也就是研究函數(shù)的微分、積分以及有關函數(shù)概念與函數(shù)應用的數(shù)學分支，微積分是建立在實數(shù)、極限、函數(shù)基礎上的[1]。微積分在建立中的出發(fā)點就是直觀的無窮小量，這個基礎理論顯然也是不牢固的，通過19世紀柯西與維爾斯特拉斯的極限理論以及康托爾的實數(shù)理論，才形成當前嚴密化的微積分知識。而且若果說沒有微積分的推動，那么對于概率統(tǒng)計中的公理化、系統(tǒng)化學科也將很難形成。微積分同概率統(tǒng)計之間是有一定的親緣關系，微積分不僅可以決定概率論中的確定論特征，概率論的發(fā)展也是另辟蹊徑，概率統(tǒng)計中不僅有著非線性、反因果的特征，微積分更是可以滲透到概率統(tǒng)計中的各個方面[2]。

2 概率統(tǒng)計中微積分的應用

針對概率統(tǒng)計與微積分的概念，以及概率統(tǒng)計與微積分的關系，以下就從一些例子出發(fā)，分析在概率統(tǒng)計中的微積分應用。

問題1：有N個朋友可以隨機地在一個圓桌旁邊就坐，如果說在所有的朋友當前，其中有兩個人是一定要坐在一起的，也就是要要在的相鄰的座位，那么這個概率為多少？

問題2：在一個書架整理中，可以將編號分別是1，2，3的三本書任意地排列擺放在書架上，那么在這樣的排列方式中，則出現(xiàn)至少有一本書在從左到右的排列順序號同這本書編號相同，這樣的概率又是多少？

問題3：在5個數(shù)字中進行連續(xù)抽取，針對1，2，3，4，5中等可能數(shù)字有放回地進行連續(xù)抽取期中國的3個數(shù)字，那么針對這樣的事件中，3個數(shù)字完全不同出現(xiàn)的概率是多少？3個數(shù)字中不含1與5的概率是多少？“個數(shù)字中5剛好可以出現(xiàn)兩次的概率是多少？以及在3個數(shù)字中至少出現(xiàn)以此數(shù)字5的概率是多少？

3 微積分方法在概率統(tǒng)計中的實際應用

3.1 級數(shù)求和法

級數(shù)是數(shù)學的重要組成部分，是表示函數(shù)的重要工具。在利用裂項相消法去求級數(shù)和的方法中，其關鍵計算方法就是要怎樣去將級數(shù)通項拆開，并將其可以拆分成前后都有抵消部分的數(shù)據(jù)形式，通常經(jīng)過變形的級數(shù)，不僅有理化分子，也有理化分母以及三角函數(shù)恒等，將其進行變形處理，就可以達到裂項相消的計算目標。又比如，針對一個三角函數(shù)式的級數(shù)求和中，計算級數(shù)的通項，就需要考慮怎樣去利用三角函數(shù)公式，將這個三角函數(shù)式簡化成兩式之差，這樣就也可以達到運用裂項相消法的目標。并且，如果說一個級數(shù)的通項是一個分母的分式，以及通項是若干根式之積的分式， 這時候就可以考慮把分母以及分子有理化，之后也會便于運用裂項相消法進行級數(shù)求和。同時在求級數(shù)和中，也可以利用四則運算的方法，等將所給的級數(shù)轉化成代數(shù)方程的形式，然后再去求解。這些都可以證明，在概率統(tǒng)計中微積分的應用，微積分與概率統(tǒng)計有著相關聯(lián)系。

3.2 求極限的應用

極限也是一種概率形式，極限作為微積分中的基礎，貫穿在微積分的始終，極限的求法也是多種多樣的，以下做具體介紹。公式原理如：求和法中當數(shù)列的通項是由n項的和構成時，通常可以考慮先求和再求極限.等差數(shù)列與等比數(shù)列往往可以直接用公式，而有些則需用到拆項、重組等，需要去認真觀察所給的數(shù)列，這樣就可以把原來的數(shù)列化為簡單的數(shù)列，求其極限。

3.3 求概率方法

原理：就是通過建立隨機模型，應用概率方法確定復雜結構的數(shù)列極限。建立如下表示的隨機模型：也就根據(jù)設一個袋中裝有一個紅球與一個白球，并可以從中有放回的取球兩次，如果說兩球都是紅球，則是成功；如果說兩球不都是紅球，就袋子里面再放一個白球，直到成功。同時對于求概率的方法中，也可以將這個數(shù)轉化為微分方程再進行求解，也就是根據(jù)它的導數(shù)以及它本身的特點，找出二者之間的關聯(lián)，看它是否可以滿足在微分方程中的定解條件，然后再解該方程求概率。

3.4 使用Stolz定理來求極限

在數(shù)列極限問題的求解中，運用適當?shù)奈⒎e分方法，不僅可以及時找到問題的突破口，還可以舉一反三的解決問題。我們知道數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件，對某些極限問題，也可通過級數(shù)來幫助解決。

3.5 對于二重積分的計算

4 結語

綜上所述，通過以上分析，不僅認識到概率統(tǒng)計與微積分的概念，更是認識到概率統(tǒng)計與微積分之間的關系，并且針對概率統(tǒng)計中的微積分應用，了解到微積分在概率統(tǒng)計中的重要性。

參考文獻

[1] 張英琴.對工科概率統(tǒng)計課程教學的幾點建議[J].科教文匯（下旬刊），2010，7（18）：41-42.

[2] 孫春香，李冠軍.數(shù)學建模思想在概率統(tǒng)計教學中的應用[J].科技資訊，2012，14（12）：76-77.

[3] 馬冉，姬玉榮.數(shù)學建模思想在概率統(tǒng)計教學中的融入[J].數(shù)學學習與研究，2010，21（14）：56-57.endprint

摘 要：概率統(tǒng)計就是針對與自然界中隨機出現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律，微積分不僅是概率統(tǒng)計的基礎，概率統(tǒng)計與微積分之間是相互聯(lián)系、相互發(fā)展的關系。特別是隨著天文學、生物學、經(jīng)濟學、工程學、化學、力學的發(fā)展，微積分與概率統(tǒng)計的關系也越來越緊密，以下本篇就探討在概率統(tǒng)計中微積分的應用。

關鍵詞：微積分 概率統(tǒng)計 函數(shù)

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（c）-0217-01

眾所周知概率統(tǒng)計是建立在微積分的基礎上的，概率統(tǒng)計針對隨機事件規(guī)律的統(tǒng)計，而概率統(tǒng)計中又會應用的微積分，微積分不僅是概率統(tǒng)計的關鍵，同時也可以決定概率統(tǒng)計的成敗。以下就從微積分、概率統(tǒng)計的概念出發(fā)，介紹微積分在概率統(tǒng)計中的應用。

1 概率統(tǒng)計與微積分的概念

概率統(tǒng)計就是針對自然界的不確定性的現(xiàn)象，包括結果的不確定、偶然隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的集體性規(guī)律，再根據(jù)概率論、數(shù)理統(tǒng)計的方法，統(tǒng)計出數(shù)據(jù)的規(guī)律性。然而對于微積分，也就是研究函數(shù)的微分、積分以及有關函數(shù)概念與函數(shù)應用的數(shù)學分支，微積分是建立在實數(shù)、極限、函數(shù)基礎上的[1]。微積分在建立中的出發(fā)點就是直觀的無窮小量，這個基礎理論顯然也是不牢固的，通過19世紀柯西與維爾斯特拉斯的極限理論以及康托爾的實數(shù)理論，才形成當前嚴密化的微積分知識。而且若果說沒有微積分的推動，那么對于概率統(tǒng)計中的公理化、系統(tǒng)化學科也將很難形成。微積分同概率統(tǒng)計之間是有一定的親緣關系，微積分不僅可以決定概率論中的確定論特征，概率論的發(fā)展也是另辟蹊徑，概率統(tǒng)計中不僅有著非線性、反因果的特征，微積分更是可以滲透到概率統(tǒng)計中的各個方面[2]。

2 概率統(tǒng)計中微積分的應用

針對概率統(tǒng)計與微積分的概念，以及概率統(tǒng)計與微積分的關系，以下就從一些例子出發(fā)，分析在概率統(tǒng)計中的微積分應用。

問題1：有N個朋友可以隨機地在一個圓桌旁邊就坐，如果說在所有的朋友當前，其中有兩個人是一定要坐在一起的，也就是要要在的相鄰的座位，那么這個概率為多少？

問題2：在一個書架整理中，可以將編號分別是1，2，3的三本書任意地排列擺放在書架上，那么在這樣的排列方式中，則出現(xiàn)至少有一本書在從左到右的排列順序號同這本書編號相同，這樣的概率又是多少？

問題3：在5個數(shù)字中進行連續(xù)抽取，針對1，2，3，4，5中等可能數(shù)字有放回地進行連續(xù)抽取期中國的3個數(shù)字，那么針對這樣的事件中，3個數(shù)字完全不同出現(xiàn)的概率是多少？3個數(shù)字中不含1與5的概率是多少？“個數(shù)字中5剛好可以出現(xiàn)兩次的概率是多少？以及在3個數(shù)字中至少出現(xiàn)以此數(shù)字5的概率是多少？

3 微積分方法在概率統(tǒng)計中的實際應用

3.1 級數(shù)求和法

級數(shù)是數(shù)學的重要組成部分，是表示函數(shù)的重要工具。在利用裂項相消法去求級數(shù)和的方法中，其關鍵計算方法就是要怎樣去將級數(shù)通項拆開，并將其可以拆分成前后都有抵消部分的數(shù)據(jù)形式，通常經(jīng)過變形的級數(shù)，不僅有理化分子，也有理化分母以及三角函數(shù)恒等，將其進行變形處理，就可以達到裂項相消的計算目標。又比如，針對一個三角函數(shù)式的級數(shù)求和中，計算級數(shù)的通項，就需要考慮怎樣去利用三角函數(shù)公式，將這個三角函數(shù)式簡化成兩式之差，這樣就也可以達到運用裂項相消法的目標。并且，如果說一個級數(shù)的通項是一個分母的分式，以及通項是若干根式之積的分式， 這時候就可以考慮把分母以及分子有理化，之后也會便于運用裂項相消法進行級數(shù)求和。同時在求級數(shù)和中，也可以利用四則運算的方法，等將所給的級數(shù)轉化成代數(shù)方程的形式，然后再去求解。這些都可以證明，在概率統(tǒng)計中微積分的應用，微積分與概率統(tǒng)計有著相關聯(lián)系。

3.2 求極限的應用

極限也是一種概率形式，極限作為微積分中的基礎，貫穿在微積分的始終，極限的求法也是多種多樣的，以下做具體介紹。公式原理如：求和法中當數(shù)列的通項是由n項的和構成時，通?？梢钥紤]先求和再求極限.等差數(shù)列與等比數(shù)列往往可以直接用公式，而有些則需用到拆項、重組等，需要去認真觀察所給的數(shù)列，這樣就可以把原來的數(shù)列化為簡單的數(shù)列，求其極限。

3.3 求概率方法

原理：就是通過建立隨機模型，應用概率方法確定復雜結構的數(shù)列極限。建立如下表示的隨機模型：也就根據(jù)設一個袋中裝有一個紅球與一個白球，并可以從中有放回的取球兩次，如果說兩球都是紅球，則是成功；如果說兩球不都是紅球，就袋子里面再放一個白球，直到成功。同時對于求概率的方法中，也可以將這個數(shù)轉化為微分方程再進行求解，也就是根據(jù)它的導數(shù)以及它本身的特點，找出二者之間的關聯(lián)，看它是否可以滿足在微分方程中的定解條件，然后再解該方程求概率。

3.4 使用Stolz定理來求極限

在數(shù)列極限問題的求解中，運用適當?shù)奈⒎e分方法，不僅可以及時找到問題的突破口，還可以舉一反三的解決問題。我們知道數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件，對某些極限問題，也可通過級數(shù)來幫助解決。

3.5 對于二重積分的計算

4 結語

綜上所述，通過以上分析，不僅認識到概率統(tǒng)計與微積分的概念，更是認識到概率統(tǒng)計與微積分之間的關系，并且針對概率統(tǒng)計中的微積分應用，了解到微積分在概率統(tǒng)計中的重要性。

參考文獻

[1] 張英琴.對工科概率統(tǒng)計課程教學的幾點建議[J].科教文匯（下旬刊），2010，7（18）：41-42.

[2] 孫春香，李冠軍.數(shù)學建模思想在概率統(tǒng)計教學中的應用[J].科技資訊，2012，14（12）：76-77.

[3] 馬冉，姬玉榮.數(shù)學建模思想在概率統(tǒng)計教學中的融入[J].數(shù)學學習與研究，2010，21（14）：56-57.endprint

摘 要：概率統(tǒng)計就是針對與自然界中隨機出現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律，微積分不僅是概率統(tǒng)計的基礎，概率統(tǒng)計與微積分之間是相互聯(lián)系、相互發(fā)展的關系。特別是隨著天文學、生物學、經(jīng)濟學、工程學、化學、力學的發(fā)展，微積分與概率統(tǒng)計的關系也越來越緊密，以下本篇就探討在概率統(tǒng)計中微積分的應用。

關鍵詞：微積分 概率統(tǒng)計 函數(shù)

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（c）-0217-01

眾所周知概率統(tǒng)計是建立在微積分的基礎上的，概率統(tǒng)計針對隨機事件規(guī)律的統(tǒng)計，而概率統(tǒng)計中又會應用的微積分，微積分不僅是概率統(tǒng)計的關鍵，同時也可以決定概率統(tǒng)計的成敗。以下就從微積分、概率統(tǒng)計的概念出發(fā)，介紹微積分在概率統(tǒng)計中的應用。

1 概率統(tǒng)計與微積分的概念

概率統(tǒng)計就是針對自然界的不確定性的現(xiàn)象，包括結果的不確定、偶然隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的集體性規(guī)律，再根據(jù)概率論、數(shù)理統(tǒng)計的方法，統(tǒng)計出數(shù)據(jù)的規(guī)律性。然而對于微積分，也就是研究函數(shù)的微分、積分以及有關函數(shù)概念與函數(shù)應用的數(shù)學分支，微積分是建立在實數(shù)、極限、函數(shù)基礎上的[1]。微積分在建立中的出發(fā)點就是直觀的無窮小量，這個基礎理論顯然也是不牢固的，通過19世紀柯西與維爾斯特拉斯的極限理論以及康托爾的實數(shù)理論，才形成當前嚴密化的微積分知識。而且若果說沒有微積分的推動，那么對于概率統(tǒng)計中的公理化、系統(tǒng)化學科也將很難形成。微積分同概率統(tǒng)計之間是有一定的親緣關系，微積分不僅可以決定概率論中的確定論特征，概率論的發(fā)展也是另辟蹊徑，概率統(tǒng)計中不僅有著非線性、反因果的特征，微積分更是可以滲透到概率統(tǒng)計中的各個方面[2]。

2 概率統(tǒng)計中微積分的應用

針對概率統(tǒng)計與微積分的概念，以及概率統(tǒng)計與微積分的關系，以下就從一些例子出發(fā)，分析在概率統(tǒng)計中的微積分應用。

問題1：有N個朋友可以隨機地在一個圓桌旁邊就坐，如果說在所有的朋友當前，其中有兩個人是一定要坐在一起的，也就是要要在的相鄰的座位，那么這個概率為多少？

問題2：在一個書架整理中，可以將編號分別是1，2，3的三本書任意地排列擺放在書架上，那么在這樣的排列方式中，則出現(xiàn)至少有一本書在從左到右的排列順序號同這本書編號相同，這樣的概率又是多少？

問題3：在5個數(shù)字中進行連續(xù)抽取，針對1，2，3，4，5中等可能數(shù)字有放回地進行連續(xù)抽取期中國的3個數(shù)字，那么針對這樣的事件中，3個數(shù)字完全不同出現(xiàn)的概率是多少？3個數(shù)字中不含1與5的概率是多少？“個數(shù)字中5剛好可以出現(xiàn)兩次的概率是多少？以及在3個數(shù)字中至少出現(xiàn)以此數(shù)字5的概率是多少？

3 微積分方法在概率統(tǒng)計中的實際應用

3.1 級數(shù)求和法

級數(shù)是數(shù)學的重要組成部分，是表示函數(shù)的重要工具。在利用裂項相消法去求級數(shù)和的方法中，其關鍵計算方法就是要怎樣去將級數(shù)通項拆開，并將其可以拆分成前后都有抵消部分的數(shù)據(jù)形式，通常經(jīng)過變形的級數(shù)，不僅有理化分子，也有理化分母以及三角函數(shù)恒等，將其進行變形處理，就可以達到裂項相消的計算目標。又比如，針對一個三角函數(shù)式的級數(shù)求和中，計算級數(shù)的通項，就需要考慮怎樣去利用三角函數(shù)公式，將這個三角函數(shù)式簡化成兩式之差，這樣就也可以達到運用裂項相消法的目標。并且，如果說一個級數(shù)的通項是一個分母的分式，以及通項是若干根式之積的分式， 這時候就可以考慮把分母以及分子有理化，之后也會便于運用裂項相消法進行級數(shù)求和。同時在求級數(shù)和中，也可以利用四則運算的方法，等將所給的級數(shù)轉化成代數(shù)方程的形式，然后再去求解。這些都可以證明，在概率統(tǒng)計中微積分的應用，微積分與概率統(tǒng)計有著相關聯(lián)系。

3.2 求極限的應用

極限也是一種概率形式，極限作為微積分中的基礎，貫穿在微積分的始終，極限的求法也是多種多樣的，以下做具體介紹。公式原理如：求和法中當數(shù)列的通項是由n項的和構成時，通常可以考慮先求和再求極限.等差數(shù)列與等比數(shù)列往往可以直接用公式，而有些則需用到拆項、重組等，需要去認真觀察所給的數(shù)列，這樣就可以把原來的數(shù)列化為簡單的數(shù)列，求其極限。

3.3 求概率方法

原理：就是通過建立隨機模型，應用概率方法確定復雜結構的數(shù)列極限。建立如下表示的隨機模型：也就根據(jù)設一個袋中裝有一個紅球與一個白球，并可以從中有放回的取球兩次，如果說兩球都是紅球，則是成功；如果說兩球不都是紅球，就袋子里面再放一個白球，直到成功。同時對于求概率的方法中，也可以將這個數(shù)轉化為微分方程再進行求解，也就是根據(jù)它的導數(shù)以及它本身的特點，找出二者之間的關聯(lián)，看它是否可以滿足在微分方程中的定解條件，然后再解該方程求概率。

3.4 使用Stolz定理來求極限

在數(shù)列極限問題的求解中，運用適當?shù)奈⒎e分方法，不僅可以及時找到問題的突破口，還可以舉一反三的解決問題。我們知道數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件，對某些極限問題，也可通過級數(shù)來幫助解決。

3.5 對于二重積分的計算

4 結語

綜上所述，通過以上分析，不僅認識到概率統(tǒng)計與微積分的概念，更是認識到概率統(tǒng)計與微積分之間的關系，并且針對概率統(tǒng)計中的微積分應用，了解到微積分在概率統(tǒng)計中的重要性。

參考文獻

[1] 張英琴.對工科概率統(tǒng)計課程教學的幾點建議[J].科教文匯（下旬刊），2010，7（18）：41-42.

[2] 孫春香，李冠軍.數(shù)學建模思想在概率統(tǒng)計教學中的應用[J].科技資訊，2012，14（12）：76-77.

[3] 馬冉，姬玉榮.數(shù)學建模思想在概率統(tǒng)計教學中的融入[J].數(shù)學學習與研究，2010，21（14）：56-57.endprint