非連續(xù)邊界層對圓柱聲學(xué)共鳴頻率的影響研究

尹釗瑋， 馮曉娟， 林 鴻， 張金濤

（中國計量科學(xué)研究院熱工計量科學(xué)研究所，北京 100013）

非連續(xù)邊界層對圓柱聲學(xué)共鳴頻率的影響研究

尹釗瑋， 馮曉娟， 林 鴻， 張金濤

（中國計量科學(xué)研究院熱工計量科學(xué)研究所，北京 100013）

基于聲學(xué)一階微擾理論，建立了低壓下由于氣-固界面的溫度階躍和速度滑移帶來的邊界層不連續(xù)性對圓柱聲學(xué)共鳴頻率的擾動規(guī)律，進一步發(fā)展了圓柱聲學(xué)共振頻率的非連續(xù)邊界層修正模型，計算了非連續(xù)邊界層對4種惰性氣體、不同聲學(xué)模式和不同壓力及溫度的影響。分析研究顯示，氣體處于低壓狀態(tài)時，溫度階躍和速度滑移會使聲學(xué)共振頻率發(fā)生偏移，不引入聲能損耗。在50 kPa時，非連續(xù)邊界層對聲學(xué)共鳴頻率的影響可達10× 10－6，表明非連續(xù)邊界層修正項對于10－6不確定度水平的尖端聲學(xué)共鳴測量，是一個重要的不確定性來源。

計量學(xué)；圓柱聲學(xué)共鳴；邊界層；溫度階躍；速度滑移

1 引 言

氣相聲速是目前可測量的具有最小不確定度的熱物性之一，是熱力學(xué)科學(xué)研究和熱工技術(shù)應(yīng)用的重要基礎(chǔ)參數(shù)［1］。聲學(xué)共鳴法是國際計量界重新測定Boltzmann常數(shù)，并由此重新定義熱力學(xué)溫度單位開爾文（K）的研究中，具有最小測量不確定度的方法［2，3］。氣相聲速通過準(zhǔn)確測定共鳴腔內(nèi)工質(zhì)氣體的理想共振頻率和共鳴腔幾何尺寸計算得到。然而實際的聲學(xué)共鳴腔中，各種非理想因素會對共鳴腔內(nèi)氣體的理想共振模式帶來擾動［4，5］。為了追求玻爾茲曼常數(shù)確定的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度達到1× 10－6水平，就必須對這些非理想因素對聲學(xué)共鳴頻率的擾動作用機理進行深入研究，并給予合理修正。

熱邊界層和粘性邊界層是影響聲學(xué)共鳴法測量不確定度的最主要來源。實際的工作氣體是有粘性的。有聲學(xué)共鳴時，氣體介質(zhì)在聲學(xué)共鳴腔內(nèi)運動，會在圓柱聲學(xué)共鳴腔內(nèi)壁上形成對共振頻率有擾動的粘性邊界層和熱邊界層；兩個端蓋與工作氣體有熱交換；低壓條件下，實際工作氣體與共鳴腔內(nèi)壁存在溫度和粘度不連續(xù)的滑移邊界條件。這些因素共同作用，形成有能量與動量梯度的熱和粘性邊界層。這種熱交換和粘滯性引起的聲阻抗，會使測量的聲學(xué)共鳴頻率發(fā)生偏移，需要對系統(tǒng)偏差修正［6］。根據(jù)流體力學(xué)理論，可以很好地對邊界層效應(yīng)給于修正，但因為腔內(nèi)氣體與壁面之間存在溫度梯度，在低壓區(qū)無法給出準(zhǔn)確的熱邊界層修正值。Ewing等針對圓球諧振腔的溫度階躍問題提出了理論修正［7］。

本文研究了圓柱共鳴腔中不同聲學(xué)模式下非連續(xù)邊界層對圓柱聲學(xué)共振頻率的影響，給出了擾動準(zhǔn)確修正的分析模型，并實現(xiàn)了擾動修正。

2 理論基礎(chǔ)

理想情況下聲波在圓柱形共鳴腔內(nèi)傳播，其波動方程的本征波函數(shù)φN為：

式中，r，θ，z分別為圓柱徑向、角向與軸向極坐標(biāo)，l、m、n分別為軸向、角向和徑向共振模式的量子數(shù)，Jm為m階柱Bessel函數(shù)，χmn為dJm（x）／d x＝0的第n個根，L和a分別為圓柱腔的腔長和半徑，特征值kN為波數(shù)，且kN＝ω／c，c為聲音在工質(zhì)中傳播的速度，ω為角頻率。

根據(jù)波數(shù)與頻率關(guān)系可知，理想共振頻率為：

在共振頻率的實際測量中，由流體的粘滯性和熱傳導(dǎo)引起的邊界層效應(yīng)、開孔、殼體振動以及分子弛豫等非理想因素，使得實測的共振頻率fN偏離了理想共振頻率f0，并且變成了有一定寬度的尖峰［8］。用復(fù)數(shù)表示實際測量的共振頻率：

式中，fN表示實際測量的共鳴頻率，gN表示實際測量的頻率半寬，定義為聲壓衰減到振幅1時距離共振頻率中心的頻率偏差，Δfj和gj為第j個非理想因素對共振頻率和頻率半寬的影響。

根據(jù)聲學(xué)一階微擾理論，可以得到氣體工質(zhì)與壁面之間熱邊界層和粘性邊界層對理想波數(shù)kN的擾動計算公式：

式中，V為圓柱腔體積，Λ0N為歸一化常數(shù)：

式中，ε0＝1，εl＞0＝2。

熱邊界層和粘性邊界層非理想因素對共振頻率和頻率半寬的影響可表示為［9］：

3 非連續(xù)邊界層修正

在氣體壓力較低時，流體力學(xué)理論就無法準(zhǔn)確描述邊界層處的變化。在邊界處，氣體分子會表現(xiàn)出能量和動量的不連續(xù)性變化，這種現(xiàn)象被稱為溫度階躍和速度滑移。納維-斯托克斯等指出，分子平均自由程lm＝lg（lg為分子振動波長）。傳統(tǒng)的邊界層理論認(rèn)為實際氣體與殼體表面處氣體之間導(dǎo)熱系數(shù)相等，溫度變化可以忽略，氣體分子在氣固表面處的切向速度為0。但氣體壓力較低時，需要考慮有限分子平均自由程，相同的溫度梯度變化，氣固表面之間的能量傳遞小于氣氣表面的傳遞，是因為這種情況下，分子只能單向移動，即移動到表面或離開表面?；跉夤踢吔鐥l件，分子的切向速度無法在邊界處達到平衡，同時為了滿足穩(wěn)定的溫度分布，即氣體與壁面的熱流密度相等，就要使溫度梯度在該處增大。非連續(xù)性邊界層的干擾如圖1所示：

圖1 圓柱共鳴腔非連續(xù)邊界層示意圖

根據(jù)動力學(xué)理論，能量與動量的不連續(xù)性為：

式中，Te為氣體溫度，Tw為殼體壁面溫度，v0為滑移速度，λ為流體的導(dǎo)熱系數(shù)，η為流體的粘度，Jh是流向殼體表面的能量流密度，Jp是流向殼體表面的動量流密度，熱ξth與粘性ξv適應(yīng)長度：

式中，M為氣體的分子量，R為通用氣體常數(shù)，cv為定容比熱容。熱適應(yīng)系數(shù)hth定義為實際通過殼體表面?zhèn)鬟f的熱能與氣體和殼體表面達到熱平衡時傳遞的熱能之比ΔE1／ΔE2，粘性適應(yīng)系數(shù)hv定義為實際通過殼體表面分子的動量與氣體和殼體動量平衡時分子動量之比。hth與hv均與殼體表面材質(zhì)，特別是分子吸收層有關(guān)。

考慮熱邊界層長度δth，粘性邊界層長度δv，溫度階躍適應(yīng)長度ξth和分子滑移引起的適應(yīng)長度ξv，可以得到圓柱共鳴腔柱面的聲導(dǎo)納yside和端面的聲導(dǎo)納yend為：

只考慮溫度階躍和速度滑移對共鳴頻率的影響，可以得到非連續(xù)邊界層對圓柱腔體的理想諧振頻率的偏移為：

式中，Δfth和Δfv為溫度階躍和速度滑移對共鳴頻率的偏移，并且非連續(xù)邊界層對共振峰的半寬沒有影響，即不會導(dǎo)致聲能的耗散。從式（16）和式（17）可以看出，Δfth和Δfv對理想諧振頻率的相對偏移量與諧振頻率無關(guān)，只與氣體物性和熱力學(xué)性質(zhì)，以及腔體尺寸有關(guān)。

4 討論和分析

氦（He）、氬（Ar）、氪（Kr）和氙氣（Xe）是測量Boltzmann常數(shù)的工質(zhì)氣體。對于這4種氣體，圖2和圖3分別給出了非連續(xù)邊界層對純軸向和純徑向聲學(xué)模式理想諧振頻率的偏移與氣體壓力的變化關(guān)系。其中，圓柱型共鳴腔的尺寸為長度L＝80 mm，半徑a＝40 mm，氣體溫度為T＝273.16 K。從圖中可以看出，從氦氣到氬氣，隨著原子直徑增加，非連續(xù)邊界層對共鳴頻率的偏移量逐漸減小，并且偏移量隨著壓力減小而逐漸增加。粘性適應(yīng)長度隨分子量增大而減小，因此速度滑移對共振頻率的擾動亦隨分子量增大而減小，這種差異在壓力較低時更為明顯。對于氦氣，在壓力p＝20 kPa時，溫度階躍影響超過了60×10－6，這個修正量對于測量玻爾茲曼常數(shù)達到1×10－6的要求十分重要。速度滑移對頻率的偏移要小于溫度階躍的影響，但對氦氣的影響仍然達到了10×10－6左右。非連續(xù)邊界層對純軸向聲學(xué)共鳴頻率的偏移量要大于純徑向模式。圖4和圖5分別給出了對于這4種氣體，非連續(xù)邊界層對純軸向和純徑向模式理想諧振頻率的偏移與氣體溫度的變化關(guān)系，氣體壓力p＝50 kPa。從圖中可以看出，非連續(xù)邊界層對共鳴頻率的改變隨溫度變化成正比關(guān)系，對氦氣的影響要遠大于其余3種惰性氣體（氬、氪和氙氣）。

圖2 溫度階躍對理想聲學(xué)共鳴頻率的偏移和壓力關(guān)系圖

圖3 速度滑移對理想聲學(xué)共鳴頻率的偏移和壓力關(guān)系圖

圖4 溫度階躍對理想聲學(xué)共鳴頻率的偏移和溫度關(guān)系圖

圖5 速度滑移對理想聲學(xué)共鳴頻率的偏移和溫度關(guān)系圖

5 結(jié) 論

本文基于聲學(xué)微擾理論，研究了非連續(xù)邊界層（溫度階躍和速度滑移）對圓柱聲學(xué)共鳴頻率擾動機理，并建立了修正模型。分析結(jié)果表明，非連續(xù)邊界層對圓柱聲學(xué)共鳴頻率的偏移量在低壓下遠大于1×10－6，并且與氣體分子（原子）直徑和壓力成反比，與溫度成正比。溫度階躍和速度滑移不會使聲波能量損失，對頻率半寬沒有影響。對于追求不確定度達到1×10－6水平的尖端聲學(xué)共鳴法測量，如測定玻爾茲曼常數(shù)，必須進行非連續(xù)邊界層的擾動效應(yīng)修正，才可獲得更接近物理真實結(jié)果。

［1］ Moldover M R.Optimizing acoustic measurements of the Boltzmann constant［J］.CRPhys，2009，10（9）：815－827.

［2］ Moldover M R，Trusler J P M，Edwards T J，etal. Measurement of the universal gas constant R using a spherical acoustic resonator［J］.JResNatlBurStand，1988，60（4）：249－252.

［3］ Gavioso R M，Benedetto G，Merlone A，etal.Progress Towards an Acoustic Measurement of the Molar Gas Constant at INRIM［J］.IntJThermophys，2007，28（6）：1775－1788.

［4］ Zhang JT，Lin H，Sun JP，etal.Cylindrical Acoustic Resonator for the Re-determination of the Boltzmann Constant［J］.IntJThermophys，2010，31（7）：1273－1293.

［5］ 馮曉娟.高精度熱物性實驗系統(tǒng)研制與CO2／丙烷熱力學(xué)性質(zhì)研究［D］.北京：清華大學(xué)熱能工程系，2010.

［6］ Trusler JPM.Physical acoustics and metrology of fluids［M］.New York：Adam Hilger，1991.

［7］ Ewing M B，McGlashan M L，Trusler J P M.The temperature-jump effect and the theory of the thermal boundary layer for a spherical resonator.Speeds of sound in argon at 273.16 K［J］.Metrologia，1986，22（2）：93－102.

［8］ Estrada-Alexanders A F，Trusler JPM.Speed of sound in carbon dioxide at temperatures between（220 and 450）K and pressures up to 14 MPa［J］.JChemThermodyn，1998，30（12）：1589－1601.

［9］ Morse P M C，Ingard K U.Theoretical acoustics［M］. New Jersey：McGraw-Hill，1986.

The Discontinuous Boundary Layer Effects on Acoustic Resonance Frequency in Cylindrical Cavity

YIN Zhao-wei， FENG Xiao-juan， LIN Hong， ZHANG Jin-tao
（National Institute of Metrology，Division of Thermophysics and Process Measurements，Beijing 100013，China）

Based on the first order acoustic perturbation theory，the discontinuous boundary layer effects from the temperature-jump and slip-velocity between the gas and the solid wall are investigated.At low pressures，temperature-jump and slip-velocity make a significant contribution to the resonance frequencies but not to energy losses.The corrections to the resonance frequencies are presented.The corrections for different gases，different acousticmodes at different pressures and temperatures are also compared.This correction is very necessary for the re-determination of the Boltzmann constant.

Metrology；Cylindrical resonator；Boundary layer；Temperature-jump；Slip-velocity

TB94

A

1000-1158（2014）01-0001-04

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．01．01

2012-10-11；

2012-12-29

國家自然科學(xué)基金（51106143，50906076）

尹釗瑋（1987－），女，中國計量科學(xué)研究院碩士研究生，主要從事溫度計量與流體熱物性的研究。yinzw＠nim.ac.cn