解題反思

夏志輝

摘 要：解題教學是高中數(shù)學教學的主要部分，在教學中，注重解題反思，可以提高學生的思維能力. 本文從四個方面入手談提高思維能力的途徑：反思解題中題目間的聯(lián)系；反思解題的完善性；反思解題方法的多樣性；反思解題中錯誤的根源. 闡述了教師如何引導學生進行解題反思，以提高學生的思維能力.

關鍵詞：解題教學；解題反思；思維能力

在數(shù)學教學中，我們常遇到這樣的情況：“這種題型講過n次，可考試時學生還是錯了！”究其原因，主要是因為學生為解題而解題，只重視解題的結果和數(shù)量，而不重視解題后的反思，更不重視思維能力的培養(yǎng). 通過反思，學生對解題的科學性，正確性，深層性有了更深的認識，既能牢固掌握知識，也能提高自己的解題能力. 下面筆者結合平時的教學實踐，談談如何引導學生解題后進行反思，如何反思，以幫助學生養(yǎng)成良好的解題習慣，提高思維能力.

反思題目間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生思維的獨創(chuàng)性

教師在解題教學時，要善于引導學生反思與題目有關聯(lián)的一系列相關問題，按思維的進程讓學生進行聯(lián)想，使不同學生都能發(fā)現(xiàn)探索不同層次的問題，從而激發(fā)全體學生的學習興趣，真正體現(xiàn)以學生發(fā)展為本的教學原則和大眾數(shù)學課程的理念.

例1 設P（x，y）是圓x2+y2=1上的任意一點，求u=的最大值.

反思1：u=與斜率公式結構相似，馬上聯(lián)想到u=可看成圓上的點P（x，y）與點A（-1，2）連線的斜率，從而轉(zhuǎn)化為求直線PA的斜率的最大值，由數(shù)形結合可知，當直線PA與圓相切時，斜率最大（另一條切線的斜率不存在），易求得切線的斜率為k=-，所以umax= -.

反思2：聯(lián)想函數(shù)與方程，由u=得y-2=u（x+1），這是一條直線方程，根據(jù)題意，此直線與圓有公共點，因此y-2=u（x+1），x2+y2=1有解，消去y得（u2+1）x2+（2u2+4u）x+u2+4u+3=0，由Δ≥0得u≤ -，即umax=-.

反思3：聯(lián)想平面幾何知識，直線與圓有公共點，故圓心（0，0）到直線的距離d≤1，從而得出u≤-，即umax=-.

反思4：聯(lián)想圓的參數(shù)方程，由于點P（x，y）在圓上，所以可令x=cosθ，y=sinθ，則u=，即sinθ-ucosθ=u+2，

所以sin（θ-φ）=（其中tanφ=-u）. 利用正弦函數(shù)的有界性，得出u≤-，即umax=-.

實踐證明，每一次解題教學，都是一次師生探索發(fā)現(xiàn)的過程. 反思，不僅僅能使學生體會到成功的喜悅之情，還可以幫助學生把各種知識各種方法聯(lián)系起來，形成解決問題的信息網(wǎng)絡和最佳方案. 通過反思，學生能在更大程度上完善自己的思維品質(zhì)，提升自己的綜合解題素質(zhì)，同時將所學知識進一步“內(nèi)化”，使自己有一個長足的進步.

反思解題的完善性，培養(yǎng)學生思維的深刻性

有的學生解完題后，沒有進行題后反思的習慣，不靜下心反思解題的方法、過程、變式，更沒有反思解題過程是否完善或者存在某個因素是否考慮，導致解題的遺漏或錯誤等諸如此類的問題，這種只重結果和數(shù)量的低效解題是學生中一種嚴重的弊端，值得每一個數(shù)學教師重視. 相反，如果我們能夠在解題后對解題的過程是否完善進行反思，不但可以減少錯誤，更能有效地培養(yǎng)學生思維的深刻性.

例2 設集合A={xx2-3x-10≤0}，B={xm+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求實數(shù)m的取值范圍.

解：因為A={xx2-3x-10≤0}={x-2≤x≤5}，且A∪B=A，所以B？哿A.

又m+1≤2m-1，2m-1≤5，m+1≥-2，

解得：2≤m≤3，

所以，m的取值范圍是[2，3].

由A∪B=A，有B？哿A，在進行運算時，只考慮了B≠，而忽略B=的情況，因此解題的過程并不完善，導致結果錯誤，必須補上B=的情形，m+1>2m-1，得m<2，得到m的取值范圍是（-∞，3].

由此可見，如果解題后不進行反思，很容易因為忽視某些因素導致解題的不完整或錯誤，因此，我們必須從平時的每一節(jié)課、每道習題開始養(yǎng)成解題后反思的習慣，及時發(fā)現(xiàn)遺漏，彌補遺漏，完善過程，最大限度減少錯誤，避免錯誤，從而更深刻、更準確、更全面對概念、定理、公理進行理解，這對培養(yǎng)學生思維的深刻性也大有裨益.

反思解題方法的多樣性，培養(yǎng)學生思維的廣闊性

引導學生從不同的角度、不同的方位進行反思，或從方法技巧反思，可以獲得解決問題的不同方法. 在解題過程中，學生的解題方法有時是教師始料不及的，教師要善于了解學生的思維動態(tài)，鼓勵學生進行反思，以喚醒其解題的靈感，抓住關鍵，及時點撥，指明方向，促使思維的連鎖反應，從而達到總結規(guī)律，尋求最優(yōu)的快速靈活的解題習慣.

例3 方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是________.

解法1：由二次方程根的分布知識和二次函數(shù)圖象性質(zhì)求解，應分類討論（此處過程略）.

反思1：此題正面求解較繁，可運用補集思想，從反面求解.

解法2：①方程無實根等價于：Δ=4-4a<0？圯a>1，

②方程有兩個正根等價于

Δ=4-4a≥0，->0，>0？圯a∈，

綜合①②得方程無負根等價于a>1，運用補集思想可得方程至少有一負根等價于a≤1.

反思2：用參變分離思想，有如下解法.

解法3：原方程變形為：a=-= -+12+1≤1，因為x<0，故當x=-1時，-+12+1=1，此時可得a≤1.

解數(shù)學題，可以從不同的角度去思考. 不同的策略、角度得到不同的解題方法，不同的解題方法又有助于拓寬解題思路，提高學生分析問題的能力，促進學生思維的靈活性. 反之，如果僅限于滿足結果，沒有聯(lián)想、類比、變式，久而久之解題的思路將會變得越來越狹窄，思維的創(chuàng)造性也會因此漸漸消失. 因此在解題中不能滿足于某種解法，而是引導學生從各個不同視角去分析，留給學生更廣闊的探求空間，使學生的思維在百花叢中綻放.

反思解題中錯誤的根源，培養(yǎng)思維的批判性

解數(shù)學題，出現(xiàn)錯誤在所難免，出現(xiàn)錯誤的因素多種多樣，有的因為審題不清，有的因為概念模糊，有的因為解題策略有誤，有的因為運算量大、計算馬虎等，解題出現(xiàn)錯誤并不可怕，關鍵是要重視錯誤，反思錯誤，找出錯誤的地方，是由于什么原因?qū)е碌?，如何改正，給學生一個對基礎知識重新理解的機會，使學生在糾錯的過程中牢牢掌握基礎知識，在反思中不斷得到提高.

例4 已知圓的方程x2+y2+2x+ky+k2=0和某一定點P（1，1），要使過點P所作圓的切線有兩條，求k的取值范圍.

解：圓的方程可變?yōu)椋海▁+1）2+y+=，

所以圓心坐標為-1，-，半徑r=.

因為過P點要作圓的兩條切線，

所以P點在圓外，即>，

得到：k2+k+4>0？圯k++>0.

又對k∈R，k++>0恒成立，

所以，k的取值范圍是R.

反思本例的解題錯誤，是由于對圓的一般方程這一概念不夠清楚，因為方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓，也可能是一個點或沒有圖形，只有化成標準形式：

x++y+=（D2+E2-4F），且D2+E2-4F>0時，此方程才表示圓，此題正是由于忽視這個條件導致錯誤，

因此，必須同時滿足

4-3k2>0，>，

？搖？搖解得：-

所以，k的取值范圍是-，.

通過對此錯解題的反思，可以幫助我們及時發(fā)現(xiàn)解題過程出現(xiàn)的錯誤，剖析錯誤的原因，并及時地加以糾正，這樣，既加深對基本概念的理解，又為以后正確、靈活應用奠定堅實的基礎，更重要的是通過這種反思可極大培養(yǎng)學生思維的批判性.

總之，反思是數(shù)學解題教學不可或缺的重要環(huán)節(jié)，教會學生反思比學生多做題更為重要. 教師在解題過程中，不但要引導學生如何審題、分析問題、轉(zhuǎn)化問題，更重要的是解題后啟發(fā)學生從不同的角度、不同的層次進行反思，強化反思意識，培養(yǎng)反思習慣，提高思維能力.