基于APOS理論下的中職數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略探析

申海濱

【摘要】概念是認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)，是思維的基本單位.數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的前提是正確地理解數(shù)學(xué)概念.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程其實(shí)是學(xué)生自我建構(gòu)的過程.APOS理論認(rèn)為學(xué)生概念學(xué)習(xí)的自我建構(gòu)階段就是活動(dòng)階段、過程階段、對(duì)象階段和圖式階段.本文從APOS理論四階段出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，探索中職概念教學(xué).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)教學(xué)；APOS理論

概念是對(duì)客觀事物的本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)，每個(gè)概念都有內(nèi)涵和外延，形成的心理過程大致可分為以下幾個(gè)步驟：識(shí)別不同事例，從同類事件中抽出共性，將這種共性與記憶中的觀念相聯(lián)系，同已知的其他概念分化，將本質(zhì)屬性一般化，下定義.概念的形成實(shí)質(zhì)上可以概括為兩個(gè)階段：從完整的表象升華為抽象的規(guī)定，使抽象的規(guī)定在思維形成中導(dǎo)致具體的再現(xiàn).而“數(shù)學(xué)概念”則反映了思考對(duì)象空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維方式.所謂“本質(zhì)屬性”就是指構(gòu)成某種事物的基本特征，這種屬性只為這類事物所具有，它是一種事物區(qū)別于另一種事物的基本依據(jù).《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》明確指出：“正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、掌握基本技能和培養(yǎng)基本方法的前提.”在中職的課堂教學(xué)中，常有一部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣甚至心懷恐懼，這部分同學(xué)在課堂上的有效參與度不高，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差，尤其是在概念的理解和應(yīng)用方面.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)概念之所以有如此重要的地位，原因在于學(xué)生在分析題目、理解和解決問題的過程中發(fā)揮的重要指導(dǎo)性作用，因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.正確理解數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的前提，可見概念的重要性.

一、中職概念教學(xué)現(xiàn)狀及原因分析

從數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理過程分析來看，影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理因素主要有：（1）原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；（2）感性材料和感性經(jīng)驗(yàn)；（3）抽象概括能力；（4）語言表達(dá)能力.研究表明，優(yōu)生與中下生在（1）（3）兩點(diǎn)的差距較為明顯，而在（2）（4）兩點(diǎn)則區(qū)別不大.究竟怎樣才能有效提高中下生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)水平呢？筆者認(rèn)為：“以學(xué)生現(xiàn)有的思維發(fā)展水平為依據(jù)進(jìn)行教學(xué)”，采用符合中下生認(rèn)知水平的概念教學(xué)方法和策略，優(yōu)化教與學(xué)的環(huán)節(jié)，將有效提高概念教學(xué)的水平.因此，更多地通過感性材料和感性經(jīng)驗(yàn)來組織概念教學(xué)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，化難為易，逐步培養(yǎng)中下生的抽象概括能力和語言表達(dá)能力，有效促進(jìn)概念的自主建構(gòu).

一方面是學(xué)習(xí)方法不適應(yīng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)具有高度抽象性和形式化的特點(diǎn)——數(shù)學(xué)中的形式化，就是用特定的數(shù)學(xué)語言，包括數(shù)學(xué)的符號(hào)語言、圖像語言和文字語言表達(dá)自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象的空間結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系.數(shù)學(xué)的表達(dá)方式大多是形式化的思想材料，這通常導(dǎo)致這些學(xué)生對(duì)概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生障礙.另一方面是教師不太注重傳授概念學(xué)習(xí)的策略，相關(guān)的策略訓(xùn)練就更少.一些教師照搬照抄，方法簡單，在教學(xué)中憑經(jīng)驗(yàn)備課，對(duì)概念的背景、內(nèi)涵和外延沒有引起足夠的重視，很多數(shù)學(xué)概念教師往往一帶而過或直接要求學(xué)生記住結(jié)論，然后通過解題來理解概念，題海戰(zhàn)術(shù)是理解概念的常法，讓學(xué)生在練習(xí)中去領(lǐng)悟概念.“只重結(jié)果不重過程”，學(xué)生學(xué)到的概念是機(jī)械的、零碎的，不利于知識(shí)遷移形成能力，更不用說掌握其中的數(shù)學(xué)思想方法.這種讓學(xué)生背概念、背題目、背結(jié)論的做法，其惡果讓學(xué)生徹底對(duì)數(shù)學(xué)反感，最終放棄數(shù)學(xué).

二、APOS理論溯源

APOS理論是針對(duì)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程研究的一種建構(gòu)注意的學(xué)習(xí)理論，該理論是美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基在數(shù)學(xué)的實(shí)踐中提出的一種觀念理論模式.該理論認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程其實(shí)是一種自我心理建構(gòu)的過程，在這個(gè)過程中學(xué)生只有調(diào)整自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或改造外部的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使得主客觀彼此一致，才能建構(gòu)起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).一般來說，這一建構(gòu)過程要經(jīng)歷四個(gè)階段：活動(dòng)階段（Action）、過程階段（Process）、對(duì)象階段（Object）和圖式階段（Scheme）.取這四個(gè)階段英文單詞的首個(gè)字母，故命名為“APOS理論”，“APOS理論”的科學(xué)性和實(shí)用性為數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了有力的理論支持.APOS理論對(duì)特定的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程作出了切實(shí)分析，它解釋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理活動(dòng)的核心概念和概念框架，揭示了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì).APOS理論的四個(gè)階段反映了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中的思維過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念形成的規(guī)律性，為教師如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了一種具體而實(shí)用的教學(xué)策略.

三、APOS理論下的概念教學(xué)策略

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，概念教學(xué)相當(dāng)重要.只要遵循認(rèn)知規(guī)律，就可以使學(xué)生理解抽象的概念，從而學(xué)生在輕松愉快的氛圍中獲得知識(shí)、掌握知識(shí).所以概念的教學(xué)策略應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：

（一）注重概念的背景

在學(xué)習(xí)概念時(shí)，APOS理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生首先需要處理的數(shù)學(xué)問題應(yīng)具有現(xiàn)實(shí)生活情境，并認(rèn)為概念的理解始于在情境中活動(dòng).因此，在概念教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)注意概念的情境，組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過活動(dòng)，學(xué)生獲得概念的初步認(rèn)識(shí).

1.以“問題”的形式引入新概念

以“問題”的形式引入新概念是概念教學(xué)中常用的方法.一般來說，用“問題”引入概念的途徑有兩條：①從現(xiàn)實(shí)生活情境問題引入數(shù)學(xué)概念；②從數(shù)學(xué)問題或理論本身的發(fā)展引入概念.

例如“函數(shù)的概念”的導(dǎo)入利用問題情境進(jìn)行：①學(xué)校為了鼓勵(lì)學(xué)生多參加體育鍛煉，以便增強(qiáng)體質(zhì)，購置一批運(yùn)動(dòng)器材.經(jīng)詢問一個(gè)足球大概需要110元，列出需要足球個(gè)數(shù)x與應(yīng)付錢數(shù)y的關(guān)系式；②要組建一支隊(duì)伍，要購置一批隊(duì)服，每件需要84元，且取貨需要路費(fèi)20元，列出購買件數(shù)x與應(yīng)付款數(shù)y之間的關(guān)系式.

這是一個(gè)“導(dǎo)入”材料，以“設(shè)問”的形式出現(xiàn)，主要作用是容易引起學(xué)生的注意，引發(fā)學(xué)生思考.創(chuàng)造生活情境，讓學(xué)生形成函數(shù)意識(shí)！

2.以直觀材料為基礎(chǔ)引入新概念

以日常生活中的事物或模型、圖形、圖表等直觀材料，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納、概括去獲取概念.數(shù)學(xué)概念是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的，如集合、函數(shù)、二面角、異面直線等都是因?qū)嵺`的需要而產(chǎn)生的，這類概念的直觀材料很多.

例如，學(xué)習(xí)“二面角”的概念時(shí)，可以讓學(xué)生辨認(rèn)一些熟悉的實(shí)例，像翻蓋式的課桌、門板與門框、相鄰的兩面墻面、打開的電腦燈等，然后分化出各例的屬性，從中找出共同的本質(zhì)屬性.翻蓋式課桌可以看成是兩個(gè)半平面，相鄰的墻面也可以看成兩個(gè)半平面，并且都有公共的棱.它們的共同屬性是：都可以抽象地看成從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面，得到二面角的定義.

以直觀材料為基礎(chǔ)引入新概念，是用概念形成的方式進(jìn)行教學(xué)，因此，在教學(xué)中，應(yīng)選擇能充分顯示被引入概念的共同屬性的事例，引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析，使學(xué)生從事例中概括出共同的本質(zhì)屬性，形成概念.

3.從概念的發(fā)生過程引入新概念

有些概念是用發(fā)生式定義的，這類概念的教學(xué)可以采用演示活動(dòng)的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發(fā)生過程.這種方法直觀形象，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，導(dǎo)入的過程自然地闡明了概念的客觀存在性.教師要根據(jù)概念產(chǎn)生的背景，選定最佳的引入路徑，讓學(xué)生盡快觸及概念的本質(zhì)特點(diǎn)，體現(xiàn)概念建立過程的高效化，而不應(yīng)為了追求形式上的新穎，模糊概念產(chǎn)生的背景，把簡單的問題復(fù)雜化，把清晰的問題混亂化.如，等差數(shù)列概念一直是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)過程中的難點(diǎn)，有很多學(xué)生學(xué)過后只能記住等差數(shù)列的形式特征，不能理解公差、首項(xiàng)的真正意義與關(guān)系.等差數(shù)列的本質(zhì)在于按照一定的規(guī)律遞增或遞減.認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)，需要通過操作活動(dòng)，理解具體的等差數(shù)列的意義.

4.以新、舊概念之間的關(guān)系引入新概念

大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的連貫性是很強(qiáng)的，概念不是孤立產(chǎn)生或存在的，概念之間往往有著密切的聯(lián)系，特別是那些具有相似或相同關(guān)系的概念，我們可以根據(jù)新舊知識(shí)的連接點(diǎn)、相似點(diǎn)用類比法引入概念.這樣有利于學(xué)生在思維中將知識(shí)和技能從已知的概念遷移到未知的概念上來，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力.

例如，由“橢圓”的概念類比“雙曲線”的概念、拋物線的概念，并且把學(xué)過的二次曲線的概念做系統(tǒng)的歸納總結(jié)，形成知識(shí)鏈，同時(shí)，把這個(gè)系統(tǒng)比喻成家庭成員表利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的掌握.

（二）注重概念的形成過程

APOS理論指出，學(xué)生是在“過程”中對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行抽象反省，得到概念的本質(zhì)屬性.由此出發(fā)，在概念教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生的分析探究，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程.教師應(yīng)提出合理的問題來引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行反思，學(xué)生的思維活動(dòng)朝著概念本質(zhì)屬性的方向進(jìn)行，初步形成概念.這樣學(xué)生獲得的不僅僅是概念，更重要的是經(jīng)歷了抽象概括的思維過程.

1.抓住概念的重難點(diǎn)

概念的形成過程往往帶著許多無關(guān)特征，因此，教師應(yīng)抓住重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生.這樣學(xué)生便能把握概念的實(shí)質(zhì)，盡量減少乃至消除不利因素的干擾.如“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的公開課教學(xué)中，通過“剪圓—在直角坐標(biāo)系貼圓—找圓心、半徑—寫出圓方程”的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)在“直角坐標(biāo)系”中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這一概念形成成因.教師在聽取學(xué)生的意見后，因勢(shì)利導(dǎo)，概括出大家的意見，引導(dǎo)學(xué)生得出確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.

2.抓住概念的關(guān)鍵詞

數(shù)學(xué)中包含著大量的數(shù)學(xué)概念，而有些概念往往是由若干個(gè)詞或詞組組成的定義.這些數(shù)學(xué)語言表述精確，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)這一類事物的本質(zhì)屬性作了明確的闡述.我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)就要“抓”住這些本質(zhì)的東西不放，讓學(xué)生建立起正確的概念.如，在學(xué)習(xí)“首尾順次連接不共面的四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形，叫作空間四邊形”這一概念時(shí)，就應(yīng)抓住“不共面”和“首尾順次連接”不放，用長短不同的一些木條，讓學(xué)生搭出空間四邊形，從而讓學(xué)生明確組成空間四邊形的兩個(gè)基本條件，加深對(duì)空間四邊形及性質(zhì)的理解.

3.抓住概念間的內(nèi)在聯(lián)系

對(duì)于有內(nèi)在聯(lián)系的概念，要做好比較，加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解.

例如，“一元二次不等式”的概念，是建立在“元”“次”“不等式”這三個(gè)概念基礎(chǔ)之上的.“元”表示未知數(shù)，“次”表示未知數(shù)的最高次數(shù)，次數(shù)是就整式而言的，“一元二次不等式”是在學(xué)習(xí)一元一次不等式基礎(chǔ)上的整式不等式的學(xué)習(xí).這樣的學(xué)習(xí)方式在一元一次不等式中，學(xué)生已有類似的經(jīng)歷，便于知識(shí)的遷移，同時(shí)有利于學(xué)生便于抓住“一元二次不等式”與“一元一次不等式”的關(guān)系.并為以后學(xué)習(xí)其他不等式的概念打下基礎(chǔ).

4.抓住概念內(nèi)涵與外延的揭示

概念的內(nèi)涵和外延是概念的本質(zhì)特征，是理解和把握概念的基礎(chǔ).只有充分理解和把握概念的內(nèi)涵和外延才能清楚、準(zhǔn)確地界定某一概念，區(qū)分概念間的差異.因此，揭示概念的內(nèi)涵與外延是概念教學(xué)中必不可少的.比如：在講授一元二次不等式時(shí)，其概念的內(nèi)涵是“只含有一個(gè)未知數(shù)（x）且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式”這個(gè)性質(zhì)，其外延是一切形如一元二次不等式的全體.

（三）重視概念的對(duì)象化

APOS理論強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)概念只有在學(xué)習(xí)者頭腦中呈現(xiàn)出“過程—對(duì)象”一體化時(shí)，才算真正形成.這體現(xiàn)了概念形成實(shí)質(zhì)上的兩個(gè)階段：從完整的表象中分離出抽象的規(guī)定，使抽象的規(guī)定在思維中具體地再現(xiàn).在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，教師要幫助學(xué)生抽象出定義，還應(yīng)考慮如何使數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化學(xué)生思維中的具體.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的目的就是實(shí)踐.學(xué)生對(duì)概念的掌握是在頭腦中主動(dòng)地進(jìn)行思維.它能使已有知識(shí)再一次具體形象化，能使概念的理解更全面化、深刻化.數(shù)學(xué)家波利亞說過：“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量題目，還不如適當(dāng)?shù)剡x擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.”這一思想與我國的變式教學(xué)相吻合.變式數(shù)學(xué)能提供一定的學(xué)習(xí)前景，能激發(fā)學(xué)生思考問題，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)各種信息進(jìn)行加工和轉(zhuǎn)換.學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)能發(fā)現(xiàn)各種變式的實(shí)質(zhì)聯(lián)系.在解決變式的過程中，學(xué)生對(duì)概念、原理形成深刻的理解有利于建立良好地知識(shí)結(jié)構(gòu).因此，在概念的教學(xué)中運(yùn)用變式鞏固強(qiáng)化概念，可以使學(xué)生從多角度認(rèn)識(shí)概念，良好地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，從而掌握概念的本質(zhì)屬性.在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，巧用變式，對(duì)于學(xué)生形成清晰的概念有明顯的促進(jìn)作用，它有利于開發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，可以使概念的本質(zhì)屬性更加突出，達(dá)到化難為易的效果.同時(shí)也有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性.

如，函數(shù)概念表示的多樣性，一方面表現(xiàn)在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區(qū)間、不等式等不同形式來表示；另一方面表現(xiàn)在它可以用圖像、表格、對(duì)應(yīng)、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨(dú)立地抽象出函數(shù)的概念來.認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)函數(shù)概念一般有三個(gè)角度：用變量的依賴關(guān)系認(rèn)識(shí)函數(shù)、用圖像認(rèn)識(shí)函數(shù)、用對(duì)應(yīng)關(guān)系認(rèn)識(shí)函數(shù).

（四）重視概念圖式的建構(gòu)

APOS理論指出，數(shù)學(xué)的建構(gòu)還要上升到“圖式階段”，即在知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)中深化概念的認(rèn)識(shí)和理解.“圖式階段”是一個(gè)循序漸進(jìn)的建構(gòu)過程，首先是數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)，包括數(shù)學(xué)概念的抽象過程、定義、實(shí)例、形式化表示、子概念（如定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則）；在此基礎(chǔ)上，加強(qiáng)概念與其他概念的區(qū)別和聯(lián)系，建構(gòu)起概念網(wǎng)絡(luò).教師應(yīng)加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)體系的整體中深化對(duì)概念的理解.

例如，在著名的建筑物或公園中代表性景點(diǎn)等實(shí)物中尋找?guī)缀螆D形，發(fā)現(xiàn)重要幾何特征和性質(zhì)，通過學(xué)生動(dòng)手繪制和測(cè)量這些幾何體中相關(guān)的量，老師帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用公式進(jìn)行練習(xí)，并在其中嘗試體驗(yàn)數(shù)學(xué)在生活中的運(yùn)用，認(rèn)識(shí)它的優(yōu)越性.這樣在學(xué)生頭腦中建立棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的心理表征、直觀的實(shí)例、概念形成過程、定義形式（抽象的）四者之間的聯(lián)系與區(qū)別.老師引導(dǎo)學(xué)生思考它們的聯(lián)系與區(qū)別，然后幫助學(xué)生建立合理的圖式，讓學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)，幫助學(xué)生在頭腦中建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò).當(dāng)然學(xué)生建構(gòu)概念的圖式層面是學(xué)習(xí)的最高階段，在現(xiàn)有教學(xué)環(huán)境下很多學(xué)生難以達(dá)到這一層面.例如，為什么要學(xué)習(xí)二次函數(shù)？學(xué)習(xí)二次函數(shù)的本質(zhì)是什么？

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是教師教學(xué)研究的一個(gè)重要課題.雖然數(shù)學(xué)概念種類繁多，但在APOS理論指導(dǎo)下，注重概念的背景、概念的形成，注重概念的對(duì)象化和圖式的建構(gòu)，采用符合學(xué)生認(rèn)知水平的概念教學(xué)方法和策略，優(yōu)化教與學(xué)的環(huán)節(jié)，有效提高概念教學(xué)的水平，從而在數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法之間建立有機(jī)的結(jié)合，形成完整的系統(tǒng).

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