數(shù)列求和的幾種方法和技巧

童西香

【摘要】數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)這部分是一個(gè)難點(diǎn)，但只要找準(zhǔn)規(guī)律這類(lèi)問(wèn)題也就會(huì)迎刃而解，下面，就根據(jù)幾個(gè)例題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的幾種方法和技巧。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列前n項(xiàng)求和方法技巧

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.62 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）07-0152-02 一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。

1.等差數(shù)列求和公式：Sn=■=na1+■d

2.等比數(shù)列求和公式：Sn=na1 (q=1)■=■(q≠1)

3.Sn=■k=■n(n+1)

4.Sn=■k2=■n(n+1)(2n+1)

5.Sn=■k3=[■n(n+1)]2

二、反序相加法求和

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1+an).將Sn=a1+a2+…+an與Sn=an+an-1+…+a1兩式相加,如果得到一個(gè)常數(shù)列,其和為A,那么Sn=■.

例1：已知f(x)滿(mǎn)足x1,x2∈R,當(dāng)x1+x2=1時(shí),f(x1)+f(x2)=■,若求Sn=f(0)+f■+f■+…+f■+f(1),n∈N,求Sn

由f(x1)+f(x2)=■知只要自變量x1+x2=1即成立,又知0+1=1·■+■=1,…,則易求Sn.

解：因?yàn)镾n=f(0)+f■+f■+…+f■+f(1),①

所以Sn=f(1)+f■+…+f■+f(0).②

①+②,得

2Sn=[f(0)+f(1)]+f■+f■+…+[f(1)+f(0)]

=■

=■(n+1).

所以Sn=■(n+1).

例2：求證：C■■+3C■■+5C■■+…+(2n+1)C■■=(n+1)2■

證明： 設(shè)Sn=C■■+3C■■+5C■■+…+(2n+1)C■■①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得

Sn=(2n+1)C■■+(2n-1)C■■+…+3C■■+C■■ （反序）

又由C■■=C■■可得

Sn=(2n+1)C■■+(2n-1)C■■+…+3C■■+C■■②

①+②得2Sn=(2n+2)(C■■+C■■+…+C■■+C■■)=2(n+1)·2n（反序相加）

∴Sn=(n+1)·2n

三、錯(cuò)位相減法求和

這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。

例3：如已知數(shù)列{an}：an=(2n-1)·3n，求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn

解：Sn=1×31+3×32+5×33+…+[2(n-1)-1]·3n-1+(2n-1)·3n①

在上式兩邊同乘以等比數(shù)列{3n}的公比3，得

3Sn=1×32+3×33-5×34+…+[2(n-1)-1]·3n+(2n-1)·3n+1②

由①～②（兩等式的右邊錯(cuò)位相減）

2Sn=1×31+(3×32-1×32)+(5+33-3×33)+…+{(2n-1)3n-[2(n-1)-1]3n}-(2n-1)3n+1

=1×31+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)3n+1

=1×31+2(32+33+…+3n)-(2n-1)3n+1

=3+(3n+1-9)-(2n-1)·3n+1

=(2-2n)3n+1-6

∴Sn=(n-1)·3n+1+3

點(diǎn)評(píng)：在①式兩邊也可以同時(shí)除以等比數(shù)列的公比3，得到式子與①式錯(cuò)位相減也可求出Sn.

四、裂項(xiàng)法求和

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。

常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法有：

1．■=■(■-■)

2．■=■(■-■)

3．■=■[■-■]

4．■=■(■-■)

例4：求數(shù)列■,■，…，■的前n項(xiàng)和

解：設(shè)an= ■=■-■(裂項(xiàng)）

則Sn=■+■+…+■（裂項(xiàng)求和）

＝(■-■)+(■-■)+…+(■-■)

＝■-1

五、分組法求和

有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。

例5：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1，■+4，■+7，…，■+3n-2，…

解：設(shè)Sn=(1+1)+(■+4)+(■+7)+…(■+3n-2)

將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得

Sn=(1+■+■+…+■)+(1+4+7+…+3n-2)（分組）

當(dāng)a＝1時(shí)， Sn＝n+■=■（分組求和）

當(dāng)a≠1時(shí)，Sn＝■+■=■+■

點(diǎn)評(píng)：分組求和即將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個(gè)可以求和的數(shù)列,分別求和。

六、合并法求和

針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.

例6：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+cos178°+cos179°的值

解：設(shè)Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+cos178°+cos179°

∵cosn°=-cos(180°-n°)（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）

∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°（合并求和）

＝ 0

七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和

先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法。

例7：求1+11+111+…+■之和.

解：由于■=■×■=■(10k-1) （找通項(xiàng)及特征）

∴1+11+111+…+■

＝■(101-1)+■(102-1)+■(103-1)+…■(10n-1) （分組求和）

＝■(101+102+103+…+10n)-■■

＝■·■-■

＝■(10n+1-10-9n)

八、組合數(shù)法

原數(shù)列各項(xiàng)可寫(xiě)成組合數(shù)形式，則可利用公式C■■+C■■=C■■求解。

例8：求1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n的和

由1+2+3+…+n=■n(n+1)=C■■知可利用“組合數(shù)法”求和

解 Sn＝1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)

=1+3+6+■

=C■■+C■■+C■■+…C■■

=C■■+C■■+C■■+…C■■

=…

=C■■

=■n(n+1)(n+2)

數(shù)列求和問(wèn)題,一般說(shuō)來(lái)方法靈活多樣,解法往往不止一種,很難說(shuō)盡求全。本文中所介紹的這幾種求和方法,主要是給出一些解題的思路和方法,若把握好解題思路,則可以熟練掌握數(shù)列求和的一般方法。