高中數(shù)學(xué)排列組合中幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型

摘 要：以常見(jiàn)的排列組合試題為例，分析了各種排列組合中的數(shù)學(xué)模型，以期幫助學(xué)生更快更準(zhǔn)確地解決排列組合問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)模型；排列組合

排列組合問(wèn)題是高考中必考的一個(gè)類(lèi)型題，常常單獨(dú)命題或與概率內(nèi)容等相結(jié)合，一般以較容易題出現(xiàn)，但由于解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)方法靈活，切人點(diǎn)多，且抽象性極強(qiáng)，在解題過(guò)程中發(fā)生重復(fù)或遺漏現(xiàn)象不易被發(fā)現(xiàn)，所以又成為高中學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。故在解題過(guò)程中通過(guò)分類(lèi)、分步把復(fù)雜問(wèn)題分解，找出問(wèn)題的切入點(diǎn)，建立合理的數(shù)學(xué)模型，將問(wèn)題簡(jiǎn)單化、常規(guī)化。

一、特殊元素優(yōu)先數(shù)學(xué)模型

對(duì)于存在特殊元素或特殊位置的排列組合問(wèn)題，我們可以從這些“特殊”入手，先滿(mǎn)足特殊元素或特殊位置，再去滿(mǎn)足其他元素或其他位置，這種模型稱(chēng)為“特殊元素優(yōu)先數(shù)學(xué)模型”。

例1.用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)____個(gè)。（用數(shù)字作答）

解：先安排四位偶數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字（優(yōu)先考慮）。無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)中如果個(gè)位數(shù)是0共有C■A■個(gè)，同時(shí)如果個(gè)位數(shù)是2或4共有C■C■A■=96個(gè)，所以，重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共有60+96=156個(gè)。

點(diǎn)評(píng)：特殊元素優(yōu)先法是比較容易入手的一種方法，在處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)一是要注意優(yōu)先考慮有要求的特殊位置的元素，二是要注意與分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合運(yùn)用。

二、捆綁式數(shù)學(xué)模型

對(duì)于某些元素要求相鄰排列的問(wèn)題，可先將相鄰元素捆綁并看作一個(gè)元素再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素進(jìn)行自排， 這種模型稱(chēng)為“捆綁式數(shù)學(xué)模型”。這種模型分為兩種，一種是相鄰元素要全排列，一種是相鄰元素是組合問(wèn)題，不用排列。

例2.四個(gè)工人去住旅店，旅店只剩下三個(gè)房間，要求四人中必須有兩個(gè)住在一個(gè)房間，另兩個(gè)房間各住一人，問(wèn)共有多少種不同的安排方法？

解：第一步：把四個(gè)工人中的二個(gè)捆綁在一起，共有C■=6種方法；第二步：把四個(gè)工人看成三個(gè)工人進(jìn)行排列，共有A■=6種方法。所以共有36種不同的安排方法。

點(diǎn)評(píng)：由于兩個(gè)工人在同一個(gè)房間沒(méi)有排列問(wèn)題，所以不能自排。還有一種典型的錯(cuò)誤排法，先在四個(gè)人中選出三個(gè)工人入住三個(gè)房間，有24種方法，再把剩下一個(gè)人放下四個(gè)房間中的任意一個(gè)，共有4種方法，故共有96種方法。請(qǐng)學(xué)生思考，這種方法為什么是錯(cuò)誤的？

三、插空式數(shù)學(xué)模型

對(duì)于某些元素要求不相鄰排列的問(wèn)題，可先排好沒(méi)有限制條件的元素，再將所指定的不相鄰的元素插入它們的間隙及兩端位置，這種模型稱(chēng)為“插空式數(shù)學(xué)模型”。

四、AB型數(shù)學(xué)模型

對(duì)于一些排列組合問(wèn)題，不同的元素或不同的情況只有兩種，我們可把它們視為A和B，再進(jìn)行排列，這種模型稱(chēng)為“AB型數(shù)學(xué)模型”。坐座位問(wèn)題，射擊問(wèn)題，相同的小球放入盒中的問(wèn)題，方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題等等都可以歸結(jié)為“AB型數(shù)學(xué)模型”。

例3.一個(gè)樓梯共10級(jí)臺(tái)階，每步走1級(jí)或2級(jí)，8步走完，一共有多少種走法？

解：10級(jí)臺(tái)階，要求8步走完，并且每步只能走1級(jí)或2級(jí)。顯然必須有2步中每步走2級(jí)，6步中每步走一級(jí)。記每次走1級(jí)臺(tái)階為A，記每次走2級(jí)臺(tái)階為B，則原問(wèn)題就相當(dāng)于在8個(gè)格子中選2個(gè)填寫(xiě)B(tài)。其余的填寫(xiě)A，這是一個(gè)8選2的組合問(wèn)題，所以一共有28種走法。

點(diǎn)評(píng)：本題利用AB型數(shù)學(xué)模型，把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題映射為一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題。

提高學(xué)生解排列組合題的有效途徑之一是將一些常見(jiàn)題型進(jìn)行方法歸類(lèi)，構(gòu)造模型解題。這樣有利于學(xué)生區(qū)別模式，并進(jìn)而熟練運(yùn)用。本文列舉了四種常見(jiàn)的排列組合典型問(wèn)題的解題模型，希望能對(duì)大家有所幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]王雷，連四清.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決方式的比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010.

[2]顧亞楠.排列組合中的數(shù)學(xué)思想方法[J].考試：高考理科版，2008.

作者簡(jiǎn)介：林子碧，男，出生年月：1979.11，本科，福建省泉州市南安華僑中學(xué)，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。