把數(shù)學(xué)思想方法的種子播種在學(xué)生心田

黃惠娟

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和所使用的方法的本質(zhì)認(rèn)識，它是數(shù)學(xué)知識的精髓、數(shù)學(xué)的靈魂。教學(xué)中我們要充分挖掘隱藏在具體知識內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在參與學(xué)習(xí)的過程中逐步領(lǐng)悟、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法。本文總結(jié)了四條經(jīng)驗(yàn)：研究教材，挖掘數(shù)學(xué)思想方法；組織探究，滲透數(shù)學(xué)思想方法；巧設(shè)練習(xí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法；總結(jié)反思，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】思想方法 挖掘 滲透 應(yīng)用 強(qiáng)化

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）09-0147-02

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法是貫穿數(shù)學(xué)教材的兩條主線：其中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是一條明線，直接用文字形式寫在教材里；數(shù)學(xué)思想方法則是一條暗線，蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)教材的每一個知識點(diǎn)之中。數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和所使用的方法的本質(zhì)認(rèn)識，它是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出來的一些觀點(diǎn)，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓、數(shù)學(xué)的靈魂。正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏在從事多年的數(shù)學(xué)教育之后所說：“作為知識的數(shù)學(xué)如果進(jìn)入社會之后沒機(jī)會應(yīng)用，出校門后一兩年可能就忘了，唯有那種銘刻于腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期地在他們工作和生活中發(fā)揮著作用?！痹诮虒W(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，才能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展。

一、研究教材，挖掘數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法不像一些概念、公式、性質(zhì)等明顯地寫在教材中，而是呈隱蔽的形式蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識體系里，數(shù)學(xué)思想方法的滲透是以數(shù)學(xué)知識為載體，在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中悄悄地得以完成的。小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法有：轉(zhuǎn)化思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、假設(shè)思想、對應(yīng)思想、猜想驗(yàn)證思想、極限思想、符號化思想等。我們在鉆研教材設(shè)計(jì)教案時要站在數(shù)學(xué)思想方法的高度，對教學(xué)內(nèi)容用恰當(dāng)?shù)恼Z言進(jìn)行深入淺出的分析，把隱藏在具體知識內(nèi)容背后的思想方法挖掘出來，使之成為學(xué)生可以理解、可以學(xué)到手的知識。每一章節(jié)要滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法？應(yīng)如何結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行滲透？這些問題我們在備課時都要考慮到。

課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)教學(xué)分為“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四大知識領(lǐng)域，每一知識領(lǐng)域的教學(xué)對數(shù)學(xué)思想方法的滲透都有不同的側(cè)重，例如“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)著重滲透函數(shù)思想、符號化思想、極限思想等；“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)著重滲透統(tǒng)計(jì)思想、分類思想等；“空間與圖形”的教學(xué)著重滲透猜想與驗(yàn)證思想、轉(zhuǎn)化思想等。但這些并不是絕對分開的，只是側(cè)重不同，比如，“數(shù)與代數(shù)”這一知識領(lǐng)域的教學(xué)也經(jīng)常滲透轉(zhuǎn)化思想、分類思想等；“空間與圖形”這一知識領(lǐng)域的教學(xué)同樣經(jīng)常滲透符號化思想、數(shù)形結(jié)合思想等。

只有認(rèn)真研讀教材、深刻分析教材、將編者的意圖吃透，才能充分挖掘教材中的隱性資源。從知識中挖掘方法，從方法中提煉思想，只有這樣，才會真正領(lǐng)悟隱藏在知識背后的思想方法。

二、組織探究，滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)知識的探究過程，實(shí)質(zhì)上也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過程。比如概念的形成、公式的推導(dǎo)、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)等都蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是抽象的，課堂上，我們要本著“知識再創(chuàng)造”的理念組織教學(xué)，學(xué)生只有親身經(jīng)歷知識的形成過程，才能對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生體驗(yàn)，在參與的過程中才能逐步領(lǐng)悟內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法。下面結(jié)合自己的課堂實(shí)例談幾個常用的數(shù)學(xué)思想方法。

1.數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合是一個重要的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對象的兩個側(cè)面，數(shù)形結(jié)合即是把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題。借助于圖形可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、易于理解；另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”

比如，教學(xué)“兩端都栽的植樹問題”時，為了使學(xué)生真正理解“棵數(shù)”與“段數(shù)”之間的關(guān)系，課堂上采用“動手實(shí)踐與合作交流”相結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，組織學(xué)生進(jìn)行“模擬植樹”。借助直觀、形象的圖形幫助學(xué)生理解掌握 “棵數(shù)=段數(shù)+1”、“段數(shù)=棵數(shù)-1”這一抽象的代數(shù)問題。通過“模擬植樹”這一課堂活動就是有目的地向?qū)W生滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，讓學(xué)生體會到直觀圖形可以幫助自己理解一些抽象的數(shù)量關(guān)系。

2.類比思想方法

類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)新規(guī)律。如：“加法結(jié)合律”類比遷移到“乘法結(jié)合律”、“萬以內(nèi)數(shù)的讀法”類比遷移到“多位數(shù)的讀法”、“商不變的性質(zhì)”類比遷移到“比的基本性質(zhì)”、“除數(shù)是兩位數(shù)的除法計(jì)算”類比遷移到“除數(shù)是三位數(shù)的除法計(jì)算”等。類比是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，沒有類比，就無法歸類，無法遷移。類比可以使學(xué)生觸類旁通，發(fā)現(xiàn)知識的共性，找到知識的本質(zhì)。教學(xué)上，利用類比的方法組織教學(xué)，既可以復(fù)習(xí)以前的知識，又很自然地引入新知教學(xué)，促使學(xué)生對知識的正遷移。

如教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時，課初我給學(xué)生設(shè)計(jì)了兩道復(fù)習(xí)題：①說一說商不變的性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。②說一說比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同除法、分?jǐn)?shù)有什么聯(lián)系。通過這兩道復(fù)習(xí)題的思考，引導(dǎo)學(xué)生探究得出比的基本性質(zhì)，并鼓勵學(xué)生舉例驗(yàn)證自己的猜想。這樣的教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時也使學(xué)生認(rèn)識到知識是可以遷移的，類比是一種很好的學(xué)習(xí)方法。

3.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法

轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決問題的一種基本思想，轉(zhuǎn)化就是把數(shù)學(xué)問題由一種形式變換成另一種形式，化歸就是把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題。通過轉(zhuǎn)化，把不熟悉的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單的問題。例如：異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法、小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法、平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為長方形的面積進(jìn)行公式的推導(dǎo)等。轉(zhuǎn)化與化歸是經(jīng)常用到的一種數(shù)學(xué)思想方法，匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得語曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)家們也往往不是對問題進(jìn)行正面的攻擊，而是將它不斷地變形，直到把它轉(zhuǎn)化為能夠解決的問題”。

如教學(xué)“圓的面積”這一課，我先給學(xué)生復(fù)習(xí)長方形、平行四邊形、三角形等一些平面圖形的面積公式，接著，問學(xué)生：“在以前的學(xué)習(xí)中，我們是怎樣推導(dǎo)出平行四邊形、三角形、梯形的面積公式的？” 生答：“是把它們轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的平面圖形進(jìn)行推導(dǎo)的。”我說：“沒錯，轉(zhuǎn)化是一種很重要的學(xué)習(xí)方法，今天學(xué)習(xí)圓的面積，我們同樣可以把圓轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的平面圖形?！?接著，啟發(fā)學(xué)生把圓平均分成若干個扇形，剪開后把這些扇形拼成已學(xué)過的平面圖形去推導(dǎo)圓面積公式。學(xué)生通過分一分、剪一剪、拼一拼等操作，把圓轉(zhuǎn)化成近似的長方形、近似的三角形、近似的梯形等，推導(dǎo)得出：S=兀R2。

生1：把圓平均分成若干個扇形，然后拼出一個近似的長方形，長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半（即兀R），長方形的寬相當(dāng)于圓的半徑（即R）。因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以圓的面積S=兀R×R=兀R2

生2：把圓平均分成若干個扇形，然后拼出一個近似的三角形，三角形的底相當(dāng)于圓周長的1/4（即1/2兀R），三角形的高相當(dāng)于4條半徑的長度（即4R）。因?yàn)槿切蔚拿娣e=底×高÷2，所以圓的面積S=1/2兀R×4R÷2=兀R2

生3：把圓平均分成若干個扇形，然后拼出一個近似的梯形，梯形的上底加下底之和相當(dāng)于圓周長的一半（即兀R），梯形的高相當(dāng)于2條半徑的長度（即2R）。因?yàn)樘菪蔚拿娣e=（上底+下底）×高÷2，所以圓的面積S=兀R×2R÷2=兀R2

4.極限思想方法

極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它蘊(yùn)涵著豐富的辯證唯物主義思想。早在公元3世紀(jì)，我國杰出數(shù)學(xué)家劉徽在創(chuàng)立“割圓術(shù)”的過程中，就豐富和發(fā)展了極限思想?，F(xiàn)在我們教學(xué)圓面積計(jì)算公式時，通過多媒體課件演示，讓學(xué)生明白，當(dāng)把圓分割成無限多個扇形時，拼成的圖形就越接近長方形。教材中蘊(yùn)涵著極限思想的教學(xué)內(nèi)容很多，如：直線和射線的長度、自然數(shù)的個數(shù)、一個數(shù)的倍數(shù)、循環(huán)小數(shù)、圓有無數(shù)條半徑、無數(shù)條直徑……

在教學(xué)“圓的認(rèn)識”這一課時，我除了讓學(xué)生認(rèn)識圓各部分的名稱和特征外，還有意在課件上出示一組圖：正方形——正八邊形——正十六邊形——正三十二邊形……圓，讓學(xué)生領(lǐng)悟到：無限多邊形的盡頭就是圓。教學(xué)中，我有意挖掘，并抓住適當(dāng)?shù)臅r機(jī)，給學(xué)生滲透極限思想。

5.符號化思想方法

用符號化的語言（ 包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號） 來描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容， 這就是符號化思想方法。以符號的濃縮形式可以表達(dá)大量的信息，把復(fù)雜的語言文字?jǐn)⑹鲇煤啙嵜髁说淖帜腹奖硎境鰜恚?便于記憶， 便于運(yùn)用。小學(xué)數(shù)學(xué)常見的有代數(shù)符號、公式符號、定律符號等，如：加法交換律用字母表示為a+b=b+a 、加法結(jié)合律用字母表示為（a+b）+c=a+（b+c）。

符號化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中隨處可見，教師要有意識地進(jìn)行滲透。教材從一年級開始就用“（ ）”或“□”代替變量 x ，讓學(xué)生填數(shù)。例如：2+3=（ ），4+□=9， 8=□+□+□+□+□+□+□；再如：學(xué)校有8個球，又買來5個，現(xiàn)在有多少個？要學(xué)生填出□ ○ □ = □ （個）。在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時，我設(shè)計(jì)了下面這一有趣的情境，課件播放學(xué)生熟悉的兒歌：“一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，撲通一聲跳下水；兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿，撲通兩聲跳下水；三只青蛙三張嘴，六只眼睛十二條腿，撲通三聲跳下水；……”要求學(xué)生用字母表示兒歌中的數(shù)。這首念不完的兒歌用字母表示其中的數(shù)字就可以濃縮成一句話：N只青蛙N張嘴，2N只眼睛4N條腿，撲通N聲跳下水。學(xué)生從解題中會進(jìn)一步明白用字母表示數(shù)的優(yōu)越性，大量的數(shù)學(xué)信息用一句含有字母的話就表達(dá)出來了。

在新知探索階段，學(xué)生只有親身經(jīng)歷知識的形成過程，才能真正領(lǐng)悟隱藏在知識背后的數(shù)學(xué)思想。這樣，學(xué)生所掌握的知識才是富有生命力的、可遷移的，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)。

三、巧設(shè)練習(xí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法

教材中，同一教學(xué)內(nèi)容可蘊(yùn)含幾種不同的數(shù)學(xué)思想方法，而同一種數(shù)學(xué)思想方法又常常分布在不同的知識之中。教學(xué)時，我們要有針對性地設(shè)計(jì)一些練習(xí)題，鼓勵學(xué)生運(yùn)用體驗(yàn)過的數(shù)學(xué)思想方法去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題，讓學(xué)生在頭腦中留下深刻的印象，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題的能力。

曾經(jīng)聆聽過劉德武老師執(zhí)教的《小數(shù)乘法與學(xué)習(xí)策略》，本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了《小數(shù)乘法》計(jì)算方法之后設(shè)計(jì)的一節(jié)練習(xí)課，通過不同層次的練習(xí)分別向?qū)W生滲透了轉(zhuǎn)化、比較、擇優(yōu)、排除等數(shù)學(xué)思想。再如，《兩道土論圓周》這節(jié)有關(guān)圓周長的練習(xí)課，老師引導(dǎo)學(xué)生用猜想、驗(yàn)證、推理、假設(shè)、遷移等方法解決問題。觀摩這兩節(jié)課，給我的教學(xué)帶來了很大的啟示，在那以后的教學(xué)中我也經(jīng)常精心設(shè)計(jì)一些練習(xí)課，鼓勵學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法尋求解題策略，效果很好。

四、總結(jié)反思，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法

總結(jié)反思是課堂教學(xué)整體優(yōu)化的重要環(huán)節(jié)，可以使課堂教學(xué)的結(jié)構(gòu)嚴(yán)密、緊湊、融為一體，還能引發(fā)學(xué)生向更深層次探究。當(dāng)問題得到解決后，教師要有意識引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，反思自己的思維過程，反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的，在探索問題的過程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法。還要引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行縱向的總結(jié)，比如學(xué)習(xí)了“圓的面積”之后，讓學(xué)生去回憶：學(xué)習(xí)哪些知識時也是運(yùn)用了“轉(zhuǎn)化與化歸”這一思想方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)中既有橫向反思又有縱向總結(jié)，可以讓自己的思維得到良好的培養(yǎng)與發(fā)展。教學(xué)時，站在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的高度引導(dǎo)學(xué)生理解知識，才能準(zhǔn)確把握知識的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，達(dá)到真正的學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)思想方法是將知識化為能力的橋梁，數(shù)學(xué)思想方法的滲透要循序漸進(jìn)，要持之以恒、反復(fù)訓(xùn)練。寓數(shù)學(xué)思想方法于平時的教學(xué)之中，把數(shù)學(xué)思想方法的種子播種在學(xué)生心田，讓它開花、結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

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[5]《數(shù)學(xué)思想方法》網(wǎng)絡(luò)資源：http：//baike.baidu.com/view/938303.htm