巧解二次函數(shù) 力爭中考高分

史新景

同學們學習二次函數(shù)時既要重視對圖像與性質(zhì)的理解，更要重視解決問題過程中的巧妙方法，要善于探究規(guī)律、總結(jié)方法. 這對同學們探究性學習的培養(yǎng)以及創(chuàng)新思維能力、自主探究解決問題能力的提升都大有裨益.

一、 巧用拋物線的對稱性

二次函數(shù)的圖像是拋物線，拋物線既簡潔又美觀，根源在于它具有軸對稱性，它的對稱軸是平行（或重合）于y軸的直線. 抓住這一特點，我們可以巧妙地解決一些具體問題.

例1 （2013·江蘇徐州）二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像上部分點的坐標滿足下表：則該函數(shù)圖像的頂點坐標為（ ）.

A. （-3，-3） B. （-2，-2）

C. （-1，-3） D. （0，-6）

【分析】本題在解答時可以從表格中選取三組數(shù)據(jù)代入函數(shù)解析式求a、b、c的值，確定函數(shù)關(guān)系式，進而求出頂點坐標；還可以利用二次函數(shù)的對稱性，仔細觀察表格給出的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的一些數(shù)據(jù)，確定對稱軸，然后直接從表格中讀出頂點坐標. 相比之下第二種方法較為簡單.

解：由表格可以看出當x=-3和-1時的函數(shù)值都是-3，所以二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-2，所以頂點坐標為（-2，-2）. 故選B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，仔細觀察表格數(shù)據(jù)確定對稱軸是解題的關(guān)鍵.

例3 （2013·江蘇蘇州）已知二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖像與x軸的一個交點為（1，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數(shù)根是（ ）.

A. x1=1，x2=-1 B. x1=1，x2=2

C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=3

【分析】關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m =0的兩實數(shù)根就是二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標.

解：∵二次函數(shù)的解析式是y=x2-3x+m（m為常數(shù)），圖像的對稱軸是直線x=. 又∵二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖像與x軸的一個交點為（1，0），根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)知，該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（2，0）.

∴關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數(shù)根分別是：x1=1，x2=2. 故選B.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關(guān)系. 解答該題時，可以利用代入法求得m的值，再代入一元二次方程x2-3x+m=0求出它的實數(shù)根，這對同學們計算能力的要求較高. 若能結(jié)合圖像，考慮到拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，解題就變得既簡單又準確.

三、 巧解方程解決拋物線與x軸交點問題

例4 （2013·江蘇南京）已知二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m） （a，m為常數(shù)，且a≠0）.

（1） 求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點；

（2） 略.

【分析】按常規(guī)思路，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點，所以b2-4ac>0，先把二次函數(shù)關(guān)系式化為一般形式y(tǒng)=ax2-（a+2am）x+am2+am，因為a≠0，求得Δ=a2>0，所以對于二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m），不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點. 但是這種方法計算起來比較麻煩. 換個思路，直接求解二次函數(shù)所對應(yīng)的一元二次方程的根，問題就變得簡單多了.

解：當y=0時，a（x-m）2-a（x-m）=0，即a（x-m）（x-m-1）=0，∵a≠0，解得x1=m，x2=m+1，所以二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m）與x軸交點坐標（m，0），（m+1，0），所以，不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點.

【點評】本題的解法另辟蹊徑，回避了計算量較大的b2-4ac，直接求解出二次函數(shù)所對應(yīng)的一元二次方程的兩個不相等的實根，從而判斷出不論a與m為何值，二次函數(shù)與x軸有兩個交點.

四、 巧用數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是指把問題中抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”（即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合），可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到優(yōu)化解題途徑的目的. 解決二次函數(shù)的相關(guān)問題時如果能巧妙地運用數(shù)形結(jié)合，則可以收到事半功倍的效果.

例5 二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像如圖1所示，若x2-2x-3>5，求x的取值范圍.

【分析】本題中的不等式x2-2x-3>5是含有絕對值的不等式，去絕對值后可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，但求一元二次不等式的解集對初中生來講是無法解決的問題. 利用數(shù)形結(jié)合思想，先作出y=x2-2x-3的圖像，根據(jù)圖像求出y=5和y=x2-2x-3的交點坐標，此題就解決了.

解：函數(shù)y=x2-2x-3的圖像如圖2所示，由圖像可知當y=5時，x2-2x-3=5，解得x1=4，x2=-2，結(jié)合圖像x2-2x-3>5的解集為x<-2或x>4.

【點評】本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出y=x2-2x-3的圖像，由方程x2-2x-3=5求出x的值，再根據(jù)圖像確定x2-2x-3>5中x的取值范圍.

數(shù)學是一個充滿智慧的世界，二次函數(shù)在里面扮演著重要角色，讓我們用好奇作舟，用探索作槳，一起暢游在這美麗迷人的拋物線海域里.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）

同學們學習二次函數(shù)時既要重視對圖像與性質(zhì)的理解，更要重視解決問題過程中的巧妙方法，要善于探究規(guī)律、總結(jié)方法. 這對同學們探究性學習的培養(yǎng)以及創(chuàng)新思維能力、自主探究解決問題能力的提升都大有裨益.

一、 巧用拋物線的對稱性

二次函數(shù)的圖像是拋物線，拋物線既簡潔又美觀，根源在于它具有軸對稱性，它的對稱軸是平行（或重合）于y軸的直線. 抓住這一特點，我們可以巧妙地解決一些具體問題.

例1 （2013·江蘇徐州）二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像上部分點的坐標滿足下表：則該函數(shù)圖像的頂點坐標為（ ）.

A. （-3，-3） B. （-2，-2）

C. （-1，-3） D. （0，-6）

【分析】本題在解答時可以從表格中選取三組數(shù)據(jù)代入函數(shù)解析式求a、b、c的值，確定函數(shù)關(guān)系式，進而求出頂點坐標；還可以利用二次函數(shù)的對稱性，仔細觀察表格給出的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的一些數(shù)據(jù)，確定對稱軸，然后直接從表格中讀出頂點坐標. 相比之下第二種方法較為簡單.

解：由表格可以看出當x=-3和-1時的函數(shù)值都是-3，所以二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-2，所以頂點坐標為（-2，-2）. 故選B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，仔細觀察表格數(shù)據(jù)確定對稱軸是解題的關(guān)鍵.

例3 （2013·江蘇蘇州）已知二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖像與x軸的一個交點為（1，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數(shù)根是（ ）.

A. x1=1，x2=-1 B. x1=1，x2=2

C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=3

【分析】關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m =0的兩實數(shù)根就是二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標.

解：∵二次函數(shù)的解析式是y=x2-3x+m（m為常數(shù)），圖像的對稱軸是直線x=. 又∵二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖像與x軸的一個交點為（1，0），根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)知，該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（2，0）.

∴關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數(shù)根分別是：x1=1，x2=2. 故選B.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關(guān)系. 解答該題時，可以利用代入法求得m的值，再代入一元二次方程x2-3x+m=0求出它的實數(shù)根，這對同學們計算能力的要求較高. 若能結(jié)合圖像，考慮到拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，解題就變得既簡單又準確.

三、 巧解方程解決拋物線與x軸交點問題

例4 （2013·江蘇南京）已知二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m） （a，m為常數(shù)，且a≠0）.

（1） 求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點；

（2） 略.

【分析】按常規(guī)思路，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點，所以b2-4ac>0，先把二次函數(shù)關(guān)系式化為一般形式y(tǒng)=ax2-（a+2am）x+am2+am，因為a≠0，求得Δ=a2>0，所以對于二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m），不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點. 但是這種方法計算起來比較麻煩. 換個思路，直接求解二次函數(shù)所對應(yīng)的一元二次方程的根，問題就變得簡單多了.

解：當y=0時，a（x-m）2-a（x-m）=0，即a（x-m）（x-m-1）=0，∵a≠0，解得x1=m，x2=m+1，所以二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m）與x軸交點坐標（m，0），（m+1，0），所以，不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點.

【點評】本題的解法另辟蹊徑，回避了計算量較大的b2-4ac，直接求解出二次函數(shù)所對應(yīng)的一元二次方程的兩個不相等的實根，從而判斷出不論a與m為何值，二次函數(shù)與x軸有兩個交點.

四、 巧用數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是指把問題中抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”（即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合），可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到優(yōu)化解題途徑的目的. 解決二次函數(shù)的相關(guān)問題時如果能巧妙地運用數(shù)形結(jié)合，則可以收到事半功倍的效果.

例5 二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像如圖1所示，若x2-2x-3>5，求x的取值范圍.

【分析】本題中的不等式x2-2x-3>5是含有絕對值的不等式，去絕對值后可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，但求一元二次不等式的解集對初中生來講是無法解決的問題. 利用數(shù)形結(jié)合思想，先作出y=x2-2x-3的圖像，根據(jù)圖像求出y=5和y=x2-2x-3的交點坐標，此題就解決了.

解：函數(shù)y=x2-2x-3的圖像如圖2所示，由圖像可知當y=5時，x2-2x-3=5，解得x1=4，x2=-2，結(jié)合圖像x2-2x-3>5的解集為x<-2或x>4.

【點評】本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出y=x2-2x-3的圖像，由方程x2-2x-3=5求出x的值，再根據(jù)圖像確定x2-2x-3>5中x的取值范圍.

數(shù)學是一個充滿智慧的世界，二次函數(shù)在里面扮演著重要角色，讓我們用好奇作舟，用探索作槳，一起暢游在這美麗迷人的拋物線海域里.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）

同學們學習二次函數(shù)時既要重視對圖像與性質(zhì)的理解，更要重視解決問題過程中的巧妙方法，要善于探究規(guī)律、總結(jié)方法. 這對同學們探究性學習的培養(yǎng)以及創(chuàng)新思維能力、自主探究解決問題能力的提升都大有裨益.

一、 巧用拋物線的對稱性

二次函數(shù)的圖像是拋物線，拋物線既簡潔又美觀，根源在于它具有軸對稱性，它的對稱軸是平行（或重合）于y軸的直線. 抓住這一特點，我們可以巧妙地解決一些具體問題.

例1 （2013·江蘇徐州）二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像上部分點的坐標滿足下表：則該函數(shù)圖像的頂點坐標為（ ）.

A. （-3，-3） B. （-2，-2）

C. （-1，-3） D. （0，-6）

【分析】本題在解答時可以從表格中選取三組數(shù)據(jù)代入函數(shù)解析式求a、b、c的值，確定函數(shù)關(guān)系式，進而求出頂點坐標；還可以利用二次函數(shù)的對稱性，仔細觀察表格給出的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的一些數(shù)據(jù)，確定對稱軸，然后直接從表格中讀出頂點坐標. 相比之下第二種方法較為簡單.

解：由表格可以看出當x=-3和-1時的函數(shù)值都是-3，所以二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-2，所以頂點坐標為（-2，-2）. 故選B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，仔細觀察表格數(shù)據(jù)確定對稱軸是解題的關(guān)鍵.

例3 （2013·江蘇蘇州）已知二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖像與x軸的一個交點為（1，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數(shù)根是（ ）.

A. x1=1，x2=-1 B. x1=1，x2=2

C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=3

【分析】關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m =0的兩實數(shù)根就是二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標.

解：∵二次函數(shù)的解析式是y=x2-3x+m（m為常數(shù)），圖像的對稱軸是直線x=. 又∵二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖像與x軸的一個交點為（1，0），根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)知，該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（2，0）.

∴關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數(shù)根分別是：x1=1，x2=2. 故選B.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關(guān)系. 解答該題時，可以利用代入法求得m的值，再代入一元二次方程x2-3x+m=0求出它的實數(shù)根，這對同學們計算能力的要求較高. 若能結(jié)合圖像，考慮到拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，解題就變得既簡單又準確.

三、 巧解方程解決拋物線與x軸交點問題

例4 （2013·江蘇南京）已知二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m） （a，m為常數(shù)，且a≠0）.

（1） 求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點；

（2） 略.

【分析】按常規(guī)思路，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點，所以b2-4ac>0，先把二次函數(shù)關(guān)系式化為一般形式y(tǒng)=ax2-（a+2am）x+am2+am，因為a≠0，求得Δ=a2>0，所以對于二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m），不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點. 但是這種方法計算起來比較麻煩. 換個思路，直接求解二次函數(shù)所對應(yīng)的一元二次方程的根，問題就變得簡單多了.

解：當y=0時，a（x-m）2-a（x-m）=0，即a（x-m）（x-m-1）=0，∵a≠0，解得x1=m，x2=m+1，所以二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m）與x軸交點坐標（m，0），（m+1，0），所以，不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點.

【點評】本題的解法另辟蹊徑，回避了計算量較大的b2-4ac，直接求解出二次函數(shù)所對應(yīng)的一元二次方程的兩個不相等的實根，從而判斷出不論a與m為何值，二次函數(shù)與x軸有兩個交點.

四、 巧用數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是指把問題中抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”（即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合），可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到優(yōu)化解題途徑的目的. 解決二次函數(shù)的相關(guān)問題時如果能巧妙地運用數(shù)形結(jié)合，則可以收到事半功倍的效果.

例5 二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像如圖1所示，若x2-2x-3>5，求x的取值范圍.

【分析】本題中的不等式x2-2x-3>5是含有絕對值的不等式，去絕對值后可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，但求一元二次不等式的解集對初中生來講是無法解決的問題. 利用數(shù)形結(jié)合思想，先作出y=x2-2x-3的圖像，根據(jù)圖像求出y=5和y=x2-2x-3的交點坐標，此題就解決了.

解：函數(shù)y=x2-2x-3的圖像如圖2所示，由圖像可知當y=5時，x2-2x-3=5，解得x1=4，x2=-2，結(jié)合圖像x2-2x-3>5的解集為x<-2或x>4.

【點評】本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出y=x2-2x-3的圖像，由方程x2-2x-3=5求出x的值，再根據(jù)圖像確定x2-2x-3>5中x的取值范圍.

數(shù)學是一個充滿智慧的世界，二次函數(shù)在里面扮演著重要角色，讓我們用好奇作舟，用探索作槳，一起暢游在這美麗迷人的拋物線海域里.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）