例談解答題得分策略

謝明輝

解答題作為中考數(shù)學(xué)試題的一種形式，有其獨特的作用，它既可以考查同學(xué)們對數(shù)學(xué)基本知識、基本技能的掌握情況，還能體現(xiàn)同學(xué)們對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟程度. 解答題的答題過程比結(jié)論更重要，解答過程要寫得層次分明、結(jié)構(gòu)完整. 答題過程中的一些技巧也是不容忽視的，最基本的技巧之一就是踩點得分. 下面結(jié)合近幾年與二次函數(shù)有關(guān)的考題予以分析.

例1 （2013·山東日照）如圖1，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為（-3，0），經(jīng)過B點的直線交拋物線于點D（-2，-3）.

（1） 求拋物線的解析式和直線BD的解析式；

（2） 過x軸上點E（a，0）（E點在B點的右側(cè)）作直線EF∥BD，交拋物線于點F，是否存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由.

【考點】本題考查待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)和一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是用a表示F的坐標，數(shù)形結(jié)合是解決本題的重要方法.

【分析】（1） 已知A（-3，0）、D（-2，-3）兩點的坐標，運用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式，然后解方程求出B點的坐標，再求直線的解析式，寫到這一步就可以得到6分；

（2） 先假設(shè)存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形，得到DF∥EB，由此用a表示F的坐標，代入二次函數(shù)解析式得關(guān)于a的一元二次方程，求解檢驗可得a的值，便可得到滿分.

解：（1） y=x2+bx+c過A（-3，0）、D（-2，-3）兩點，得9-3b+c=0，

4-2b+c=-3.解得b=2，

c=-3.

∴y=x2+2x-3.（3分）

由x2+2x-3=0，得：x1=-3，x2=1，

∴B的坐標是（1，0）.

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則k+b=0，

-2k+b=-3.解得k=1，

b=-1.

∴直線BD的解析式為y=x-1. （6分）

（2） 假設(shè)存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形，得到DF∥BE，且DF=BE.

∵E點在B的右側(cè)，∴BE=a-1即DF=a-1，

又∵D點的坐標為（-2，-3），

∴F（-2+a-1，-3），即F（a-3，-3）. （7分）

把F（a-3，-3）代入到y(tǒng)=x2+2x-3，

（a-3）2+2（a-3）-3=-3解得：a1=1，a2=3. （9分）

當a=1時，E點的坐標（1，0），這與B點重合，故舍去；∴當a=3時，E點的坐標（3，0），符合題意.

∴存在實數(shù)a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形. （10分）

例2 （2012·貴州畢節(jié)）某商品的進價為每件20元，售價為每件30元，每個月可賣出180件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月就會少賣出10件，但每件售價不能高于35元. 設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為整數(shù)），每個月的銷售利潤在x的取值范圍內(nèi)為y元.

（1） 求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2） 每件商品的售價為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

（3） 每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰好是1 920元？

【考點】本題是關(guān)于二次函數(shù)應(yīng)用的利潤問題，得到月銷售量是解決本題的突破點，注意結(jié)合自變量的取值求得相應(yīng)的售價.

【分析】（1） 銷售利潤=每件商品的利潤×月銷售量，根據(jù)每件售價不能高于35元，可得自變量的取值，可得3分；

（2） 利用公式法結(jié)合（1）得到的函數(shù)解析式求二次函數(shù)的最值，結(jié)合實際意義，求得整數(shù)解即可得6分；

（3） 令（1）中的y=1 920求得合適的x的值即可得3分.

解：（1） y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1 800（0≤x≤5，且x為整數(shù)）. （3分）

（2） 當x=-=-=4時，y最大=1 960元，∴每件商品的售價為34元. （9分）

（3） 1 920=-10x2+80x+1 800，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2.

∴售價為32元時，利潤為1 920元. （12分）

例3 （2011·江蘇徐州）如圖2，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點P，頂點為點C（1，-2）.

（1） 求此函數(shù)的表達式；

（2） 作點C關(guān)于x軸的對稱點D，順次連接A、C、B、D. 若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標；

（3） 在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得△PEF是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點F的坐標及△PEF的面積；若不存在，請說明理由.

【考點】本題考查了二次函數(shù)、菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)等知識.

【分析】（1） 因為a=1且頂點坐標為（1，-2），由頂點式可以直接寫出函數(shù)關(guān)系式，可得2分.

（2） 因為菱形是中心對稱圖形，過對稱中心的任一條直線把菱形分成面積相等的兩部分，求出菱形對稱中心M的坐標，得出直線PM的解析式，結(jié)合二次函數(shù)解析式求出E點坐標，得5分.

（3） 先假設(shè)存在F，然后根據(jù)三角形相似求出F的坐標，得3分，最后根據(jù)F點的坐標求出三角形的面積即得滿分.

解：（1） ∵y=x2+bx+c的頂點為（1，-2），

∴y=（x-1）2-2，y=x2-2x-1. （2分）

（2） 存在點E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個四邊形. 設(shè)直線PE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b. 由題意得，四邊形ACBD是菱形. 故直線PE必經(jīng)過菱形ACBD的對稱中心M. （4分）

由P（0，-1），M（1，0），得b=-1，

k+b=0.

從而y=x-1，設(shè)E（x，x-1），代入y=x2-2x-1，得x-1=x2-2x-1.

解之得x1=0，x2=3，根據(jù)題意，得點E（3，2）. （7分）

（3） 假設(shè)存在這樣的點F，可設(shè)F（x，x2-2x-1）.

過點F作FG⊥y軸，垂足為G點.

在△POM和△FGP 中，

∵∠OMP+∠OPM=90 °，∠FPG+∠OPM=90°，∴∠OMP=∠FPG.

又∵∠POM=∠PGF，

∴△POM～△FGP.

∴=.

又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即-1-（x2-2x-1）=x，解得x1=0，x2=1. 根據(jù)題意得F（1，-2）. （10分）

S△PEF=S△MFP+S△MFE=×2×1+×2×2=3.（12分）

綜上可見，在做解答題時如果遇到一個很困難的問題，確實“啃不動”，一個聰明的解題策略是：將它分解為一系列的小問題，先解決每個小問題，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，特別針對那些層次明顯的題目，每完成一步都可以得分，最后結(jié)論即使未得出，得分也已過半.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）

解答題作為中考數(shù)學(xué)試題的一種形式，有其獨特的作用，它既可以考查同學(xué)們對數(shù)學(xué)基本知識、基本技能的掌握情況，還能體現(xiàn)同學(xué)們對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟程度. 解答題的答題過程比結(jié)論更重要，解答過程要寫得層次分明、結(jié)構(gòu)完整. 答題過程中的一些技巧也是不容忽視的，最基本的技巧之一就是踩點得分. 下面結(jié)合近幾年與二次函數(shù)有關(guān)的考題予以分析.

例1 （2013·山東日照）如圖1，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為（-3，0），經(jīng)過B點的直線交拋物線于點D（-2，-3）.

（1） 求拋物線的解析式和直線BD的解析式；

（2） 過x軸上點E（a，0）（E點在B點的右側(cè)）作直線EF∥BD，交拋物線于點F，是否存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由.

【考點】本題考查待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)和一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是用a表示F的坐標，數(shù)形結(jié)合是解決本題的重要方法.

【分析】（1） 已知A（-3，0）、D（-2，-3）兩點的坐標，運用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式，然后解方程求出B點的坐標，再求直線的解析式，寫到這一步就可以得到6分；

（2） 先假設(shè)存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形，得到DF∥EB，由此用a表示F的坐標，代入二次函數(shù)解析式得關(guān)于a的一元二次方程，求解檢驗可得a的值，便可得到滿分.

解：（1） y=x2+bx+c過A（-3，0）、D（-2，-3）兩點，得9-3b+c=0，

4-2b+c=-3.解得b=2，

c=-3.

∴y=x2+2x-3.（3分）

由x2+2x-3=0，得：x1=-3，x2=1，

∴B的坐標是（1，0）.

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則k+b=0，

-2k+b=-3.解得k=1，

b=-1.

∴直線BD的解析式為y=x-1. （6分）

（2） 假設(shè)存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形，得到DF∥BE，且DF=BE.

∵E點在B的右側(cè)，∴BE=a-1即DF=a-1，

又∵D點的坐標為（-2，-3），

∴F（-2+a-1，-3），即F（a-3，-3）. （7分）

把F（a-3，-3）代入到y(tǒng)=x2+2x-3，

（a-3）2+2（a-3）-3=-3解得：a1=1，a2=3. （9分）

當a=1時，E點的坐標（1，0），這與B點重合，故舍去；∴當a=3時，E點的坐標（3，0），符合題意.

∴存在實數(shù)a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形. （10分）

例2 （2012·貴州畢節(jié)）某商品的進價為每件20元，售價為每件30元，每個月可賣出180件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月就會少賣出10件，但每件售價不能高于35元. 設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為整數(shù)），每個月的銷售利潤在x的取值范圍內(nèi)為y元.

（1） 求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2） 每件商品的售價為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

（3） 每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰好是1 920元？

【考點】本題是關(guān)于二次函數(shù)應(yīng)用的利潤問題，得到月銷售量是解決本題的突破點，注意結(jié)合自變量的取值求得相應(yīng)的售價.

【分析】（1） 銷售利潤=每件商品的利潤×月銷售量，根據(jù)每件售價不能高于35元，可得自變量的取值，可得3分；

（2） 利用公式法結(jié)合（1）得到的函數(shù)解析式求二次函數(shù)的最值，結(jié)合實際意義，求得整數(shù)解即可得6分；

（3） 令（1）中的y=1 920求得合適的x的值即可得3分.

解：（1） y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1 800（0≤x≤5，且x為整數(shù)）. （3分）

（2） 當x=-=-=4時，y最大=1 960元，∴每件商品的售價為34元. （9分）

（3） 1 920=-10x2+80x+1 800，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2.

∴售價為32元時，利潤為1 920元. （12分）

例3 （2011·江蘇徐州）如圖2，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點P，頂點為點C（1，-2）.

（1） 求此函數(shù)的表達式；

（2） 作點C關(guān)于x軸的對稱點D，順次連接A、C、B、D. 若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標；

（3） 在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得△PEF是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點F的坐標及△PEF的面積；若不存在，請說明理由.

【考點】本題考查了二次函數(shù)、菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)等知識.

【分析】（1） 因為a=1且頂點坐標為（1，-2），由頂點式可以直接寫出函數(shù)關(guān)系式，可得2分.

（2） 因為菱形是中心對稱圖形，過對稱中心的任一條直線把菱形分成面積相等的兩部分，求出菱形對稱中心M的坐標，得出直線PM的解析式，結(jié)合二次函數(shù)解析式求出E點坐標，得5分.

（3） 先假設(shè)存在F，然后根據(jù)三角形相似求出F的坐標，得3分，最后根據(jù)F點的坐標求出三角形的面積即得滿分.

解：（1） ∵y=x2+bx+c的頂點為（1，-2），

∴y=（x-1）2-2，y=x2-2x-1. （2分）

（2） 存在點E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個四邊形. 設(shè)直線PE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b. 由題意得，四邊形ACBD是菱形. 故直線PE必經(jīng)過菱形ACBD的對稱中心M. （4分）

由P（0，-1），M（1，0），得b=-1，

k+b=0.

從而y=x-1，設(shè)E（x，x-1），代入y=x2-2x-1，得x-1=x2-2x-1.

解之得x1=0，x2=3，根據(jù)題意，得點E（3，2）. （7分）

（3） 假設(shè)存在這樣的點F，可設(shè)F（x，x2-2x-1）.

過點F作FG⊥y軸，垂足為G點.

在△POM和△FGP 中，

∵∠OMP+∠OPM=90 °，∠FPG+∠OPM=90°，∴∠OMP=∠FPG.

又∵∠POM=∠PGF，

∴△POM～△FGP.

∴=.

又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即-1-（x2-2x-1）=x，解得x1=0，x2=1. 根據(jù)題意得F（1，-2）. （10分）

S△PEF=S△MFP+S△MFE=×2×1+×2×2=3.（12分）

綜上可見，在做解答題時如果遇到一個很困難的問題，確實“啃不動”，一個聰明的解題策略是：將它分解為一系列的小問題，先解決每個小問題，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，特別針對那些層次明顯的題目，每完成一步都可以得分，最后結(jié)論即使未得出，得分也已過半.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）

解答題作為中考數(shù)學(xué)試題的一種形式，有其獨特的作用，它既可以考查同學(xué)們對數(shù)學(xué)基本知識、基本技能的掌握情況，還能體現(xiàn)同學(xué)們對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟程度. 解答題的答題過程比結(jié)論更重要，解答過程要寫得層次分明、結(jié)構(gòu)完整. 答題過程中的一些技巧也是不容忽視的，最基本的技巧之一就是踩點得分. 下面結(jié)合近幾年與二次函數(shù)有關(guān)的考題予以分析.

例1 （2013·山東日照）如圖1，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為（-3，0），經(jīng)過B點的直線交拋物線于點D（-2，-3）.

（1） 求拋物線的解析式和直線BD的解析式；

（2） 過x軸上點E（a，0）（E點在B點的右側(cè)）作直線EF∥BD，交拋物線于點F，是否存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由.

【考點】本題考查待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)和一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是用a表示F的坐標，數(shù)形結(jié)合是解決本題的重要方法.

【分析】（1） 已知A（-3，0）、D（-2，-3）兩點的坐標，運用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式，然后解方程求出B點的坐標，再求直線的解析式，寫到這一步就可以得到6分；

（2） 先假設(shè)存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形，得到DF∥EB，由此用a表示F的坐標，代入二次函數(shù)解析式得關(guān)于a的一元二次方程，求解檢驗可得a的值，便可得到滿分.

解：（1） y=x2+bx+c過A（-3，0）、D（-2，-3）兩點，得9-3b+c=0，

4-2b+c=-3.解得b=2，

c=-3.

∴y=x2+2x-3.（3分）

由x2+2x-3=0，得：x1=-3，x2=1，

∴B的坐標是（1，0）.

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則k+b=0，

-2k+b=-3.解得k=1，

b=-1.

∴直線BD的解析式為y=x-1. （6分）

（2） 假設(shè)存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形，得到DF∥BE，且DF=BE.

∵E點在B的右側(cè)，∴BE=a-1即DF=a-1，

又∵D點的坐標為（-2，-3），

∴F（-2+a-1，-3），即F（a-3，-3）. （7分）

把F（a-3，-3）代入到y(tǒng)=x2+2x-3，

（a-3）2+2（a-3）-3=-3解得：a1=1，a2=3. （9分）

當a=1時，E點的坐標（1，0），這與B點重合，故舍去；∴當a=3時，E點的坐標（3，0），符合題意.

∴存在實數(shù)a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形. （10分）

例2 （2012·貴州畢節(jié)）某商品的進價為每件20元，售價為每件30元，每個月可賣出180件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月就會少賣出10件，但每件售價不能高于35元. 設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為整數(shù)），每個月的銷售利潤在x的取值范圍內(nèi)為y元.

（1） 求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2） 每件商品的售價為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

（3） 每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰好是1 920元？

【考點】本題是關(guān)于二次函數(shù)應(yīng)用的利潤問題，得到月銷售量是解決本題的突破點，注意結(jié)合自變量的取值求得相應(yīng)的售價.

【分析】（1） 銷售利潤=每件商品的利潤×月銷售量，根據(jù)每件售價不能高于35元，可得自變量的取值，可得3分；

（2） 利用公式法結(jié)合（1）得到的函數(shù)解析式求二次函數(shù)的最值，結(jié)合實際意義，求得整數(shù)解即可得6分；

（3） 令（1）中的y=1 920求得合適的x的值即可得3分.

解：（1） y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1 800（0≤x≤5，且x為整數(shù)）. （3分）

（2） 當x=-=-=4時，y最大=1 960元，∴每件商品的售價為34元. （9分）

（3） 1 920=-10x2+80x+1 800，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2.

∴售價為32元時，利潤為1 920元. （12分）

例3 （2011·江蘇徐州）如圖2，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點P，頂點為點C（1，-2）.

（1） 求此函數(shù)的表達式；

（2） 作點C關(guān)于x軸的對稱點D，順次連接A、C、B、D. 若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標；

（3） 在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得△PEF是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點F的坐標及△PEF的面積；若不存在，請說明理由.

【考點】本題考查了二次函數(shù)、菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)等知識.

【分析】（1） 因為a=1且頂點坐標為（1，-2），由頂點式可以直接寫出函數(shù)關(guān)系式，可得2分.

（2） 因為菱形是中心對稱圖形，過對稱中心的任一條直線把菱形分成面積相等的兩部分，求出菱形對稱中心M的坐標，得出直線PM的解析式，結(jié)合二次函數(shù)解析式求出E點坐標，得5分.

（3） 先假設(shè)存在F，然后根據(jù)三角形相似求出F的坐標，得3分，最后根據(jù)F點的坐標求出三角形的面積即得滿分.

解：（1） ∵y=x2+bx+c的頂點為（1，-2），

∴y=（x-1）2-2，y=x2-2x-1. （2分）

（2） 存在點E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個四邊形. 設(shè)直線PE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b. 由題意得，四邊形ACBD是菱形. 故直線PE必經(jīng)過菱形ACBD的對稱中心M. （4分）

由P（0，-1），M（1，0），得b=-1，

k+b=0.

從而y=x-1，設(shè)E（x，x-1），代入y=x2-2x-1，得x-1=x2-2x-1.

解之得x1=0，x2=3，根據(jù)題意，得點E（3，2）. （7分）

（3） 假設(shè)存在這樣的點F，可設(shè)F（x，x2-2x-1）.

過點F作FG⊥y軸，垂足為G點.

在△POM和△FGP 中，

∵∠OMP+∠OPM=90 °，∠FPG+∠OPM=90°，∴∠OMP=∠FPG.

又∵∠POM=∠PGF，

∴△POM～△FGP.

∴=.

又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即-1-（x2-2x-1）=x，解得x1=0，x2=1. 根據(jù)題意得F（1，-2）. （10分）

S△PEF=S△MFP+S△MFE=×2×1+×2×2=3.（12分）

綜上可見，在做解答題時如果遇到一個很困難的問題，確實“啃不動”，一個聰明的解題策略是：將它分解為一系列的小問題，先解決每個小問題，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，特別針對那些層次明顯的題目，每完成一步都可以得分，最后結(jié)論即使未得出，得分也已過半.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）