不可小覷的三角形中線

高爽

三角形中線定義：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中線.

三角形中線能帶給我們的結(jié)論：

①若AD是△ABC的中線，則一定有BD=CD=BC，如圖1.

②一個(gè)三角形有三條中線，交于內(nèi)部一點(diǎn)O，如圖2.

③若AD是△ABC的中線，則△ABC 的面積被AD平分，即S△ABD=S△ACD=S△ABC.

理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖3，AH同為△ABD和△ACD 的高，所以S△ABD=BD·AH，S△ACD=CD·AH，又因BD=CD=BC，故S△ABD=S△ACD=S△ABC.

在初中數(shù)學(xué)的范疇里，中點(diǎn)是個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，由它引發(fā)的各種習(xí)題不勝枚舉. 記住中線的作用，既可以獲得線段相等或者倍半的關(guān)系，又可以獲得面積等分或者倍半的關(guān)系.

經(jīng)典習(xí)題鏈接：

蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第27頁習(xí)題6

（1） 如圖4，AD是△ABC的中線，△ABC和△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（2） 你能把1個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)三角形嗎？試畫出相應(yīng)的圖形.

【思路引導(dǎo)】

（1） 由前面第③個(gè)結(jié)論可得S△ABD=S△ABC.

（2） 既然一條中線可以平分面積，那么在已經(jīng)是一半面積的三角形中，可以繼續(xù)利用中線完成二次平分，也就實(shí)現(xiàn)了將原三角形面積4等分，如圖5或圖6.

【注】作圖方法不是唯一的，因每一次平分都可作三角形任意一條邊上的中線，在本題（1）問的情況下作圖就共有27種方法，同學(xué)們有興趣可以自己嘗試畫一畫，這里不一一列舉.

【變式提升】

1. 如圖7，△ABC中，D是AC邊的二等分點(diǎn)，E是BC邊的四等分點(diǎn)，F(xiàn)是BD邊的二等分點(diǎn)，若S△ABC=16，則S△DEF=______.

2. 如圖8，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，S△ABC=16，則S△ABD=______.

E是AD的中點(diǎn)， 則S△EBD=________.

F是BE的中點(diǎn)， 則S△BCF=________.

G是FC的中點(diǎn)， 則S△EFG=________.

3. 探索：在如圖9至圖10中，△ABC的面積為a.

（1） 如圖9，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA. 若△ACD的面積為S1，則S1=_______（用含a的代數(shù)式表示）；

（2） 如圖10，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE. 若△DEC的面積為S2，則S2=_______（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；

（3） 在圖10的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖11）. 若陰影部分的面積為S3，則S3=_______（用含a的代數(shù)式表示）.

【發(fā)現(xiàn)】像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖11），此時(shí)，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次. 可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的_______倍.

參考答案：

1. 3 2. 8 4 4 2 3. a 2a 6a 7

（作者單位：河北省秦皇島市第十六中學(xué)）endprint

三角形中線定義：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中線.

三角形中線能帶給我們的結(jié)論：

①若AD是△ABC的中線，則一定有BD=CD=BC，如圖1.

②一個(gè)三角形有三條中線，交于內(nèi)部一點(diǎn)O，如圖2.

③若AD是△ABC的中線，則△ABC 的面積被AD平分，即S△ABD=S△ACD=S△ABC.

理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖3，AH同為△ABD和△ACD 的高，所以S△ABD=BD·AH，S△ACD=CD·AH，又因BD=CD=BC，故S△ABD=S△ACD=S△ABC.

在初中數(shù)學(xué)的范疇里，中點(diǎn)是個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，由它引發(fā)的各種習(xí)題不勝枚舉. 記住中線的作用，既可以獲得線段相等或者倍半的關(guān)系，又可以獲得面積等分或者倍半的關(guān)系.

經(jīng)典習(xí)題鏈接：

蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第27頁習(xí)題6

（1） 如圖4，AD是△ABC的中線，△ABC和△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（2） 你能把1個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)三角形嗎？試畫出相應(yīng)的圖形.

【思路引導(dǎo)】

（1） 由前面第③個(gè)結(jié)論可得S△ABD=S△ABC.

（2） 既然一條中線可以平分面積，那么在已經(jīng)是一半面積的三角形中，可以繼續(xù)利用中線完成二次平分，也就實(shí)現(xiàn)了將原三角形面積4等分，如圖5或圖6.

【注】作圖方法不是唯一的，因每一次平分都可作三角形任意一條邊上的中線，在本題（1）問的情況下作圖就共有27種方法，同學(xué)們有興趣可以自己嘗試畫一畫，這里不一一列舉.

【變式提升】

1. 如圖7，△ABC中，D是AC邊的二等分點(diǎn)，E是BC邊的四等分點(diǎn)，F(xiàn)是BD邊的二等分點(diǎn)，若S△ABC=16，則S△DEF=______.

2. 如圖8，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，S△ABC=16，則S△ABD=______.

E是AD的中點(diǎn)， 則S△EBD=________.

F是BE的中點(diǎn)， 則S△BCF=________.

G是FC的中點(diǎn)， 則S△EFG=________.

3. 探索：在如圖9至圖10中，△ABC的面積為a.

（1） 如圖9，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA. 若△ACD的面積為S1，則S1=_______（用含a的代數(shù)式表示）；

（2） 如圖10，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE. 若△DEC的面積為S2，則S2=_______（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；

（3） 在圖10的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖11）. 若陰影部分的面積為S3，則S3=_______（用含a的代數(shù)式表示）.

【發(fā)現(xiàn)】像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖11），此時(shí)，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次. 可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的_______倍.

參考答案：

1. 3 2. 8 4 4 2 3. a 2a 6a 7

（作者單位：河北省秦皇島市第十六中學(xué)）endprint

三角形中線定義：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中線.

三角形中線能帶給我們的結(jié)論：

①若AD是△ABC的中線，則一定有BD=CD=BC，如圖1.

②一個(gè)三角形有三條中線，交于內(nèi)部一點(diǎn)O，如圖2.

③若AD是△ABC的中線，則△ABC 的面積被AD平分，即S△ABD=S△ACD=S△ABC.

理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖3，AH同為△ABD和△ACD 的高，所以S△ABD=BD·AH，S△ACD=CD·AH，又因BD=CD=BC，故S△ABD=S△ACD=S△ABC.

在初中數(shù)學(xué)的范疇里，中點(diǎn)是個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，由它引發(fā)的各種習(xí)題不勝枚舉. 記住中線的作用，既可以獲得線段相等或者倍半的關(guān)系，又可以獲得面積等分或者倍半的關(guān)系.

經(jīng)典習(xí)題鏈接：

蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第27頁習(xí)題6

（1） 如圖4，AD是△ABC的中線，△ABC和△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（2） 你能把1個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)三角形嗎？試畫出相應(yīng)的圖形.

【思路引導(dǎo)】

（1） 由前面第③個(gè)結(jié)論可得S△ABD=S△ABC.

（2） 既然一條中線可以平分面積，那么在已經(jīng)是一半面積的三角形中，可以繼續(xù)利用中線完成二次平分，也就實(shí)現(xiàn)了將原三角形面積4等分，如圖5或圖6.

【注】作圖方法不是唯一的，因每一次平分都可作三角形任意一條邊上的中線，在本題（1）問的情況下作圖就共有27種方法，同學(xué)們有興趣可以自己嘗試畫一畫，這里不一一列舉.

【變式提升】

1. 如圖7，△ABC中，D是AC邊的二等分點(diǎn)，E是BC邊的四等分點(diǎn)，F(xiàn)是BD邊的二等分點(diǎn)，若S△ABC=16，則S△DEF=______.

2. 如圖8，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，S△ABC=16，則S△ABD=______.

E是AD的中點(diǎn)， 則S△EBD=________.

F是BE的中點(diǎn)， 則S△BCF=________.

G是FC的中點(diǎn)， 則S△EFG=________.

3. 探索：在如圖9至圖10中，△ABC的面積為a.

（1） 如圖9，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA. 若△ACD的面積為S1，則S1=_______（用含a的代數(shù)式表示）；

（2） 如圖10，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE. 若△DEC的面積為S2，則S2=_______（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；

（3） 在圖10的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖11）. 若陰影部分的面積為S3，則S3=_______（用含a的代數(shù)式表示）.

【發(fā)現(xiàn)】像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖11），此時(shí)，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次. 可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的_______倍.

參考答案：

1. 3 2. 8 4 4 2 3. a 2a 6a 7

（作者單位：河北省秦皇島市第十六中學(xué)）endprint