對多邊形內(nèi)、外角和的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用

陸煒鋒

從課本中我們知道，多邊形的一個(gè)內(nèi)角與它的外角共用一條射線，兩者既有區(qū)別，又有聯(lián)系. 最基本的區(qū)別就是概念不同，最基本的聯(lián)系就是兩者之和為180°. 下面從區(qū)別和聯(lián)系兩個(gè)方面來深入探討一下.

一、 多邊形的內(nèi)角和

在推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和公式時(shí)，用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)三角形的內(nèi)角和的問題.即從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n-3）條對角線，它們將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形. 這（n-2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角拼在一起就是n邊形的內(nèi)角和，從而得到n邊形的內(nèi)角和是（n-2）·180°（n≥3）.

如圖1，六邊形可以分成四個(gè)三角形，所以六邊形的內(nèi)角和就是四個(gè)三角形的內(nèi)角度數(shù)之和：（6-2）×180°=720°.

例1 （依葫蘆畫瓢）九邊形的內(nèi)角和是________.

【分析】直接利用公式解題：（9-2）×180°=1 260°.

例2 （方程思想） 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【分析】已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和，求邊數(shù)，可先設(shè)邊數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和公式列出方程求解. 有些數(shù)學(xué)問題從形式上看雖然不是方程問題，但通過挖掘等量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為方程. 同學(xué)們應(yīng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中掌握并運(yùn)用方程思想.

【答案】設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，則有：（n-2）·180°=720°，∴n=6. 選C.

二、 多邊形的外角和

在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角），這些外角的和叫做多邊形的外角和.

n邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°，n個(gè)外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角的總和等于n·180°，所以外角和為n·180°-（n-2）·180°=360°，即多邊形的外角和等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).

如圖2，五邊形一共有10個(gè)外角，而五邊形的外角和則是∠1+∠3+∠5+∠7+∠9=360°.

例3 （小試牛刀） 一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于45°，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為（ ）.

A. 675° B. 720°

C. 900° D. 1 080°

【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和與外角和.由于已知多邊形每個(gè)外角均為45°，從而可知多邊形邊數(shù)n為360°÷45°=8，進(jìn)而求出多邊形的內(nèi)角和為（8-2）×180°=1 080°，故選D.

三、 兩者的聯(lián)系

例4 （“內(nèi)”“外”兼修） 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是（ ）.

A. 四邊形 B. 五邊形

C. 六邊形 D. 八邊形

【分析】已知任意多邊形的外角和是360°，可知其內(nèi)角和是720°，利用內(nèi)角和公式（n-2）·180°=360°×2，得n=6，故選C.

【答案】C.

例5 （由“內(nèi)”而“外”） 已知一個(gè)多邊形各個(gè)內(nèi)角都等于150°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

【分析】本題可以有兩種方法：（1） 這是一道利用多邊形內(nèi)角和求多邊形邊數(shù)的應(yīng)用題.解題的關(guān)鍵是要明確多邊形各個(gè)內(nèi)角相加即為多邊形的內(nèi)角和.多邊形的內(nèi)角和表示為（n-2）·180°的形式，由于所給多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等，所以多邊形的內(nèi)角和又表示為n·150°，從而可列出方程求解. （2） 已知每個(gè)內(nèi)角都等于150°，易得每個(gè)外角都是30°，再根據(jù)多邊形外角和為360°，可求出邊數(shù).

【答案】方法一：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意，得（n-2）·180°=n·150°，解得n=12，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12.

方法二：由題意，得這個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是180°-150°=30°，所以多邊形的邊數(shù)n=360°÷30°=12.

例6 （以“偏”概“全”） 已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且每一個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

【分析】（1） 因?yàn)槎噙呅蔚拿總€(gè)外角與和它相鄰的內(nèi)角相加等于180°，根據(jù)題意，可先求出外角的度數(shù)，再求邊數(shù)；（2） 由于本題所給的條件是多邊形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系，所以還可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之間的關(guān)系.

【答案】方法一：設(shè)多邊形的每一個(gè)外角為x，則它的每個(gè)內(nèi)角為9x. 根據(jù)題意，得x+9x=180°，解得x=18°. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n=360°÷18°=20.

方法二：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n. 根據(jù)題意，得（n-2）·180°=9×360°. 解得n=20. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為20.

正確運(yùn)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化和方程思想，理解內(nèi)角和與外角和的聯(lián)系與區(qū)別是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省海門市六甲初中）

從課本中我們知道，多邊形的一個(gè)內(nèi)角與它的外角共用一條射線，兩者既有區(qū)別，又有聯(lián)系. 最基本的區(qū)別就是概念不同，最基本的聯(lián)系就是兩者之和為180°. 下面從區(qū)別和聯(lián)系兩個(gè)方面來深入探討一下.

一、 多邊形的內(nèi)角和

在推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和公式時(shí)，用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)三角形的內(nèi)角和的問題.即從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n-3）條對角線，它們將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形. 這（n-2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角拼在一起就是n邊形的內(nèi)角和，從而得到n邊形的內(nèi)角和是（n-2）·180°（n≥3）.

如圖1，六邊形可以分成四個(gè)三角形，所以六邊形的內(nèi)角和就是四個(gè)三角形的內(nèi)角度數(shù)之和：（6-2）×180°=720°.

例1 （依葫蘆畫瓢）九邊形的內(nèi)角和是________.

【分析】直接利用公式解題：（9-2）×180°=1 260°.

例2 （方程思想） 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【分析】已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和，求邊數(shù)，可先設(shè)邊數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和公式列出方程求解. 有些數(shù)學(xué)問題從形式上看雖然不是方程問題，但通過挖掘等量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為方程. 同學(xué)們應(yīng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中掌握并運(yùn)用方程思想.

【答案】設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，則有：（n-2）·180°=720°，∴n=6. 選C.

二、 多邊形的外角和

在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角），這些外角的和叫做多邊形的外角和.

n邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°，n個(gè)外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角的總和等于n·180°，所以外角和為n·180°-（n-2）·180°=360°，即多邊形的外角和等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).

如圖2，五邊形一共有10個(gè)外角，而五邊形的外角和則是∠1+∠3+∠5+∠7+∠9=360°.

例3 （小試牛刀） 一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于45°，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為（ ）.

A. 675° B. 720°

C. 900° D. 1 080°

【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和與外角和.由于已知多邊形每個(gè)外角均為45°，從而可知多邊形邊數(shù)n為360°÷45°=8，進(jìn)而求出多邊形的內(nèi)角和為（8-2）×180°=1 080°，故選D.

三、 兩者的聯(lián)系

例4 （“內(nèi)”“外”兼修） 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是（ ）.

A. 四邊形 B. 五邊形

C. 六邊形 D. 八邊形

【分析】已知任意多邊形的外角和是360°，可知其內(nèi)角和是720°，利用內(nèi)角和公式（n-2）·180°=360°×2，得n=6，故選C.

【答案】C.

例5 （由“內(nèi)”而“外”） 已知一個(gè)多邊形各個(gè)內(nèi)角都等于150°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

【分析】本題可以有兩種方法：（1） 這是一道利用多邊形內(nèi)角和求多邊形邊數(shù)的應(yīng)用題.解題的關(guān)鍵是要明確多邊形各個(gè)內(nèi)角相加即為多邊形的內(nèi)角和.多邊形的內(nèi)角和表示為（n-2）·180°的形式，由于所給多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等，所以多邊形的內(nèi)角和又表示為n·150°，從而可列出方程求解. （2） 已知每個(gè)內(nèi)角都等于150°，易得每個(gè)外角都是30°，再根據(jù)多邊形外角和為360°，可求出邊數(shù).

【答案】方法一：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意，得（n-2）·180°=n·150°，解得n=12，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12.

方法二：由題意，得這個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是180°-150°=30°，所以多邊形的邊數(shù)n=360°÷30°=12.

例6 （以“偏”概“全”） 已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且每一個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

【分析】（1） 因?yàn)槎噙呅蔚拿總€(gè)外角與和它相鄰的內(nèi)角相加等于180°，根據(jù)題意，可先求出外角的度數(shù)，再求邊數(shù)；（2） 由于本題所給的條件是多邊形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系，所以還可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之間的關(guān)系.

【答案】方法一：設(shè)多邊形的每一個(gè)外角為x，則它的每個(gè)內(nèi)角為9x. 根據(jù)題意，得x+9x=180°，解得x=18°. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n=360°÷18°=20.

方法二：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n. 根據(jù)題意，得（n-2）·180°=9×360°. 解得n=20. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為20.

正確運(yùn)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化和方程思想，理解內(nèi)角和與外角和的聯(lián)系與區(qū)別是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省海門市六甲初中）

從課本中我們知道，多邊形的一個(gè)內(nèi)角與它的外角共用一條射線，兩者既有區(qū)別，又有聯(lián)系. 最基本的區(qū)別就是概念不同，最基本的聯(lián)系就是兩者之和為180°. 下面從區(qū)別和聯(lián)系兩個(gè)方面來深入探討一下.

一、 多邊形的內(nèi)角和

在推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和公式時(shí)，用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)三角形的內(nèi)角和的問題.即從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n-3）條對角線，它們將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形. 這（n-2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角拼在一起就是n邊形的內(nèi)角和，從而得到n邊形的內(nèi)角和是（n-2）·180°（n≥3）.

如圖1，六邊形可以分成四個(gè)三角形，所以六邊形的內(nèi)角和就是四個(gè)三角形的內(nèi)角度數(shù)之和：（6-2）×180°=720°.

例1 （依葫蘆畫瓢）九邊形的內(nèi)角和是________.

【分析】直接利用公式解題：（9-2）×180°=1 260°.

例2 （方程思想） 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【分析】已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和，求邊數(shù)，可先設(shè)邊數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和公式列出方程求解. 有些數(shù)學(xué)問題從形式上看雖然不是方程問題，但通過挖掘等量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為方程. 同學(xué)們應(yīng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中掌握并運(yùn)用方程思想.

【答案】設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，則有：（n-2）·180°=720°，∴n=6. 選C.

二、 多邊形的外角和

在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角），這些外角的和叫做多邊形的外角和.

n邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°，n個(gè)外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角的總和等于n·180°，所以外角和為n·180°-（n-2）·180°=360°，即多邊形的外角和等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).

如圖2，五邊形一共有10個(gè)外角，而五邊形的外角和則是∠1+∠3+∠5+∠7+∠9=360°.

例3 （小試牛刀） 一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于45°，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為（ ）.

A. 675° B. 720°

C. 900° D. 1 080°

【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和與外角和.由于已知多邊形每個(gè)外角均為45°，從而可知多邊形邊數(shù)n為360°÷45°=8，進(jìn)而求出多邊形的內(nèi)角和為（8-2）×180°=1 080°，故選D.

三、 兩者的聯(lián)系

例4 （“內(nèi)”“外”兼修） 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是（ ）.

A. 四邊形 B. 五邊形

C. 六邊形 D. 八邊形

【分析】已知任意多邊形的外角和是360°，可知其內(nèi)角和是720°，利用內(nèi)角和公式（n-2）·180°=360°×2，得n=6，故選C.

【答案】C.

例5 （由“內(nèi)”而“外”） 已知一個(gè)多邊形各個(gè)內(nèi)角都等于150°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

【分析】本題可以有兩種方法：（1） 這是一道利用多邊形內(nèi)角和求多邊形邊數(shù)的應(yīng)用題.解題的關(guān)鍵是要明確多邊形各個(gè)內(nèi)角相加即為多邊形的內(nèi)角和.多邊形的內(nèi)角和表示為（n-2）·180°的形式，由于所給多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等，所以多邊形的內(nèi)角和又表示為n·150°，從而可列出方程求解. （2） 已知每個(gè)內(nèi)角都等于150°，易得每個(gè)外角都是30°，再根據(jù)多邊形外角和為360°，可求出邊數(shù).

【答案】方法一：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意，得（n-2）·180°=n·150°，解得n=12，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12.

方法二：由題意，得這個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是180°-150°=30°，所以多邊形的邊數(shù)n=360°÷30°=12.

例6 （以“偏”概“全”） 已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且每一個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

【分析】（1） 因?yàn)槎噙呅蔚拿總€(gè)外角與和它相鄰的內(nèi)角相加等于180°，根據(jù)題意，可先求出外角的度數(shù)，再求邊數(shù)；（2） 由于本題所給的條件是多邊形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系，所以還可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之間的關(guān)系.

【答案】方法一：設(shè)多邊形的每一個(gè)外角為x，則它的每個(gè)內(nèi)角為9x. 根據(jù)題意，得x+9x=180°，解得x=18°. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n=360°÷18°=20.

方法二：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n. 根據(jù)題意，得（n-2）·180°=9×360°. 解得n=20. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為20.

正確運(yùn)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化和方程思想，理解內(nèi)角和與外角和的聯(lián)系與區(qū)別是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省海門市六甲初中）