基于期權(quán)價(jià)格的Lévy過(guò)程參數(shù)估計(jì)研究

柳向東，楊 飛

暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣州 510632

基于期權(quán)價(jià)格的Lévy過(guò)程參數(shù)估計(jì)研究

柳向東，楊 飛

暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣州 510632

Lévy過(guò)程可準(zhǔn)確描述某些復(fù)雜的分布特征，如:尖峰、厚尾及有偏等，也可將標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所展現(xiàn)的非連續(xù)性體現(xiàn)出來(lái)，因此在金融過(guò)程中得到了廣泛而有效的運(yùn)用.本研究基于期權(quán)的定價(jià)公式，運(yùn)用極大似然法以及快速傅里葉變換對(duì)方差伽馬 (Variance-Gamma，VG)模型、Carr-Geman-Madan-Yor(CGMY)模型及VGSA模型 (VG和Cox-Ingersoll-Ross模型的復(fù)合指數(shù)模型)等幾種典型Lévy過(guò)程的參數(shù)進(jìn)行有效估計(jì)，并且通過(guò)香港恒生指數(shù)期權(quán)數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行驗(yàn)證.

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué);Lévy過(guò)程;期權(quán)定價(jià);極大似然參數(shù)估計(jì);特征函數(shù);快速傅里葉變換

用以描述標(biāo)的資產(chǎn)收益率對(duì)數(shù)路徑特征的布朗運(yùn)動(dòng)原始模型是Black等［1］創(chuàng)建的，但越來(lái)越多的實(shí)證表明，布朗運(yùn)動(dòng)還不能完全刻畫(huà)標(biāo)的資產(chǎn)規(guī)律.20世紀(jì)40年代數(shù)學(xué)家 Lévy［2］提出一系列具有右連續(xù)左極限存在，且滿足獨(dú)立增量等性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程，布朗運(yùn)動(dòng)是其特例.金融學(xué)者將Lévy過(guò)程應(yīng)用到標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)模型中使其一般化，以刻畫(huà)金融實(shí)際標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)獨(dú)有的性質(zhì).

Lévy過(guò)程在金融界引起廣泛關(guān)注［3-17］，由于其假設(shè)條件相對(duì)寬松，能同時(shí)描繪連續(xù)和跳躍過(guò)程，可對(duì)尖峰和后尾分布進(jìn)行建模，對(duì)探索市場(chǎng)動(dòng)態(tài)具有優(yōu)越性，但其參數(shù)估計(jì)仍是一個(gè)難題［3］.Lévy模型通常以特征函數(shù)的形式刻畫(huà)，無(wú)法獲得封閉形式的概率密度函數(shù)，因此要獲得參數(shù)估計(jì)，可在傅立葉變換基礎(chǔ)上建立可執(zhí)行的數(shù)值估計(jì)方法.Carr等［4］通過(guò)數(shù)值模擬方法對(duì)特征函數(shù)進(jìn)行反向逆變換，得到Lévy過(guò)程Xt的概率密度函數(shù)近似值，采用極大似然法估計(jì)模型參數(shù).但該方法比較耗時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)似然函數(shù)無(wú)界的情況，無(wú)法獲得最優(yōu)解.為此，本研究使用幾類常用特殊 Lévy模型，如Merton jump-diffusion(MJD)模型、方差伽馬(Variance-Gamma，VG)模 型、Carr-Geman-Madan-Yor(CGMY)模型、VGSA模型(VG和Cox-Ingersoll-Ross模型的復(fù)合指數(shù)模型)和Heston模型，結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)中的極大似然思想，提出適合Lévy過(guò)程的極大似然參數(shù)估計(jì)法，基于期權(quán)價(jià)格對(duì)上述幾類模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并將該方法用于香港恒生指數(shù)期權(quán)定價(jià)中，比較不同模型的優(yōu)越性.

1 Lévy過(guò)程和模型

Lévy過(guò)程X={Xt:t≥0}是具有平穩(wěn)獨(dú)立增量的右連續(xù)左極限存在的隨機(jī)過(guò)程.根據(jù) Lévy-Khintchine分解定理，1維Lévy過(guò)程X的特征函數(shù)為

其中，θ為L(zhǎng)évy過(guò)程的特征三元組;γ為漂移量;σ為波動(dòng)率;為示性函數(shù);r∈R;σ2≥0;v(d x)為R{0}上的一個(gè)測(cè)度，且滿足

這里，v稱為L(zhǎng)évy測(cè)度;(γ，σ2，v(d x))為L(zhǎng)évy過(guò)程X的特征三元組.當(dāng)Lévy測(cè)度是零測(cè)度時(shí)，Lévy過(guò)程降為帶漂移項(xiàng)的布朗運(yùn)動(dòng).

Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)下的模型主要分為固定波動(dòng)率模型和隨機(jī)波動(dòng)率模型，常見(jiàn)的固定波動(dòng)率模型有Black-Scholes(BS)模型、VG模型和CGMY模型;隨機(jī)波動(dòng)率模型有Heston模型和VGSA模型.下面簡(jiǎn)單介紹Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)下的幾類模型.

1.1 固定波動(dòng)率模型

BS 模型是 Lévy 過(guò)程的一個(gè)特例［3，6］，其假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，且具有固定的漂移率和波動(dòng)率.在經(jīng)典BS模型基礎(chǔ)上，Merton在純擴(kuò)散過(guò)程中加入跳躍，并在MJD模型中允許對(duì)數(shù)收益存在復(fù)合泊松跳躍，同時(shí)Merton假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格跳躍的大小服從正態(tài)分布，滿足

其中，r為風(fēng)險(xiǎn)中性利率;q為分紅率或股息率;S為資產(chǎn)價(jià)格;λ為市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn);yt為控制跳躍幅度的量;qt為泊松跳躍;k為常數(shù).此外，MJD模型下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程可表示為

其中，S0為資產(chǎn)的初始價(jià)格;Nt是過(guò)程參數(shù)為λ的泊松過(guò)程;Yi為資產(chǎn)價(jià)格跳躍幅度.根據(jù) Lévy-Khintchine表示定理［6］，封閉形式的 Xt特征函數(shù)為［15］

其中，ω和μ為漂移量;π(dx)為關(guān)于Xt的跳躍部分測(cè)度;μ為期望;δ2為方差.該模型假定跳躍服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，但不足以刻畫(huà)標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)收益率的非對(duì)稱性與波動(dòng)率微笑現(xiàn)象.

VG模型最早由Madan和Seneta提出［5］，用以建立20世紀(jì)80年代股票回報(bào)率模型.VG模型由時(shí)間變化的布朗運(yùn)動(dòng)定義，其中時(shí)間的增量服從伽瑪分布，在VG模型下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程可寫(xiě)為

其中，v為控制峰度的參數(shù);θVG為控制偏度的參數(shù).Xt的特征函數(shù)為

CGMY模型最早由 Koponen［7］提出.為獲得比VG模型更加靈活的隨機(jī)過(guò)程，Carr等在VG模型中引入?yún)?shù)Y來(lái)描述跳躍活動(dòng)到達(dá)率水平，衡量隨機(jī)過(guò)程中的有限活動(dòng)與無(wú)限活動(dòng).VG模型是Y=0的特殊情形;Y＜0屬于類似于復(fù)合泊松分布的有限活動(dòng)率過(guò)程;0＜Y＜1為無(wú)限活動(dòng)率過(guò)程;1＜Y＜2為無(wú)限活動(dòng)率且不存在有限變差;Y＞2為無(wú)限活動(dòng)率且不存在二次變差.CGMY模型下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程為

其中，Z(t;C，G，M，Y)是滿足 CGMY Lévy 測(cè)度的Lévy過(guò)程;C表示漂移率;G表示伽瑪?shù)膮?shù);M表示中間量的參數(shù);Y表示有限活動(dòng)和無(wú)限活動(dòng).Xt的特征函數(shù)為

1.2 隨機(jī)波動(dòng)率模型

Heston模型［3］是運(yùn)用最廣的隨機(jī)波動(dòng)率模型，它假設(shè)波動(dòng)率 (方差)遵循 Cox-Ingersoll-Ross(CIR)過(guò)程，且滿足式(10)和(11)

其中，W1(t)和W2(t)為獨(dú)立布朗運(yùn)動(dòng);ρ為dW1(t)與dW2(t)之間的相關(guān)系數(shù);Vt為波動(dòng)率的平方;θ為波動(dòng)率平方的長(zhǎng)期均值水平;κ為均值回復(fù)速度;σλ為波動(dòng)率.

在該模型下，Xt的特征函數(shù)為

其中，V0為Vt的初始值，

Heston模型下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程為

VG模型與CGMY模型都是純跳躍模型.由于VG模型沒(méi)有擴(kuò)散部分，無(wú)法用Heston模型通過(guò)引進(jìn)簡(jiǎn)單隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述波動(dòng)率隨機(jī)的特性.Carr等［8］和Bakshi等［9］提出一種變時(shí)間方法構(gòu)造隨機(jī)波動(dòng)率.VGSA模型假設(shè)經(jīng)濟(jì)時(shí)間 (economic time)的增長(zhǎng)遵循反向的平方根過(guò)程

其中，y表示反向平方根過(guò)程.在VGSA模型中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程滿足

其中，ZVG(t)代表VG過(guò)程.Xt的特征函數(shù)為

其中，φVGSA為VGSA過(guò)程的特征函數(shù);ψVG為VG過(guò)程的特征函數(shù).

2 極大似然參數(shù)估計(jì)方法

由于建立Lévy分布的特征函數(shù)與概率密度函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以，其所包含的信息完全等價(jià)，而極大似然估計(jì)的基本原理是運(yùn)用概率密度函數(shù)得到似然函數(shù)，然后對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)并對(duì)相應(yīng)參數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)為零得到似然方程，解方程獲得極大似然估計(jì).基于特征函數(shù)的參數(shù)估計(jì)與基于概率密度函數(shù)的極大似然估計(jì)在效率上是相同的.

對(duì)于普通的歐式看漲期權(quán)，定義k為敲定價(jià)格K的對(duì)數(shù)，CT(k)為到期時(shí)間為T(mén)時(shí)該期權(quán)的價(jià)格.再定義風(fēng)險(xiǎn)中性下，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的對(duì)數(shù)lgsT為qT(s)，則其特征函數(shù)為

根據(jù)期權(quán)定價(jià)公式，風(fēng)險(xiǎn)中性條件下歐式看漲期權(quán)價(jià)格可表示為

當(dāng)k→-∞時(shí)，有CT→0，函數(shù)CT為非平方可積的.因此，可做變換

此時(shí)，存在α＞0，使cT(k)平方可積.α的選擇通常依賴于st.cT(k)的快速傅立葉變換為將ΨT(v)用特征函數(shù)ΦT表示，得到逆變換下的看漲期權(quán)價(jià)格為

將cT(k)代入式(21)可得

變換積分順序并積分可得

代入CT(k)后，歐式看漲期權(quán)傅立葉變換的完整形式為

從應(yīng)用角度考慮，快速傅立葉變換可有效降低計(jì)算復(fù)雜性.因此，通過(guò)快速傅立葉變換，CT(k)可表示為

其中，η為可調(diào)參數(shù).Carr和 Madan指出［10］，式(25)無(wú)法實(shí)現(xiàn)既讓積分區(qū)域足夠稠密，又保持足夠大的敲定價(jià)格區(qū)間范圍，因?yàn)楫?dāng)η太小時(shí)，對(duì)數(shù)敲定價(jià)格k的積分區(qū)域會(huì)很小，只能涵蓋少部分的k.因此，Carr和Madan［19］提出用Simpson的權(quán)重準(zhǔn)則獲得較準(zhǔn)確的積分計(jì)算，η可以選取較大的值.此時(shí)，期權(quán)計(jì)算公式為

參照文獻(xiàn)［11-13］，本研究采用類似BS公式中求隱形波動(dòng)率方法，首先獲得基于特征函數(shù)的似然函數(shù)，然后得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)，再利用下面步驟估計(jì)式(26)中的參數(shù).已知CT(k)為敲定價(jià)格k與交割時(shí)間T下的看漲期權(quán)模型價(jià)格，為方便起見(jiàn)，將其簡(jiǎn)記為ω，并將第i個(gè)期權(quán)的看漲期權(quán)價(jià)格記為ωi.同時(shí)，記?i為第i個(gè)期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格.假定ωi與?i滿足

其中，εi～ N(0，1);ωi的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

其中，θ為待估參數(shù)向量.Madan等指出［13］，該極大似然估計(jì)等價(jià)于以下目標(biāo)函數(shù)的最小化

此時(shí)，參數(shù)估計(jì)就轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題，可用標(biāo)準(zhǔn)Levenberg-Marquardt法獲得參數(shù)集中的最優(yōu)點(diǎn).

3 基于期權(quán)價(jià)格的數(shù)值分析

鑒于國(guó)內(nèi)期權(quán)產(chǎn)品的匱乏，本研究數(shù)據(jù)截取香港恒生指數(shù)作為標(biāo)的資產(chǎn)，恒生指數(shù)期權(quán)作為參數(shù)估計(jì)原始數(shù)據(jù)，收錄時(shí)間為2012年3月20日.這里從港交所網(wǎng)站收集了47個(gè)恒生指數(shù)看漲期權(quán)收盤(pán)價(jià)格，當(dāng)天恒生指數(shù)收盤(pán)價(jià)為S0=21 317.85.假定風(fēng)險(xiǎn)中性利率為0.03，股息率為0.01.

基于極大似然參數(shù)估計(jì)法討論結(jié)果，采用模型校正(model calibration)方式利用期權(quán)價(jià)格估計(jì)不同模型下待估參數(shù).模型參數(shù)如表1，擬合結(jié)果如圖1.

從恒生指數(shù)的擬合結(jié)果來(lái)看，相比經(jīng)典BS模型，MJD、VG、CGMY、Heston和VGSA模型擬合結(jié)果占優(yōu)勢(shì)，因此在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格模擬上Lévy過(guò)程占據(jù)優(yōu)勢(shì).由于MJD模型考慮跳躍因素，更符合恒生指數(shù)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)比BS模型結(jié)果有了較大提升;VG過(guò)程是一個(gè)純跳躍過(guò)程，從參數(shù)估計(jì)的結(jié)果可得，VG過(guò)程很好地反映出恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率分布非對(duì)稱且左偏的情況(θ＜0，則G＞M，偏度與均值皆為負(fù));CGMY是VG模型的一個(gè)推廣，加入Y值描述有限活動(dòng)與無(wú)限活動(dòng).從參數(shù)估計(jì)結(jié)果來(lái)看，Y值為1.25，因此恒生指數(shù)是無(wú)限活動(dòng)過(guò)程 (有限區(qū)間內(nèi)無(wú)限跳躍)，且是無(wú)限變差的.Heston與VGSA模型在MJD與VG模型基礎(chǔ)上加入隨機(jī)時(shí)間，以模擬隨機(jī)波動(dòng)率的運(yùn)動(dòng)特征.從擬合結(jié)果看，提高了原模型的擬合度，更符合恒生指數(shù)的運(yùn)行態(tài)勢(shì).

表1 模型校正參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 1 The results of models'revised parameter estimation

圖1 從6組模型看漲期權(quán)價(jià)格擬合結(jié)果Fig.1 The fitting results of call option pricing under six models

表2 不同模型下擬合質(zhì)量比較Table 2 The comparison of fitting quality under different models

結(jié) 語(yǔ)

本研究所選取的6種模型皆是固定波動(dòng)率與隨機(jī)波動(dòng)率的典型模型.幾何布朗運(yùn)動(dòng)作為奠基模型，其在操作應(yīng)用上具有簡(jiǎn)便的優(yōu)勢(shì)，但無(wú)法對(duì)應(yīng)現(xiàn)有特征.將尖峰、厚尾與跳躍考慮進(jìn)去后，MJD、VG與CGMY模型更貼近現(xiàn)實(shí)，它們分別將運(yùn)動(dòng)過(guò)程處理成有限跳躍與無(wú)限跳躍，但假定波動(dòng)率固定，而Heston模型與VGSA模型則分別采用CIR過(guò)程與隨機(jī)時(shí)間描述隨機(jī)波動(dòng)率特征.基于上述模型在參數(shù)估計(jì)方面的應(yīng)用，本研究在經(jīng)典極大似然法基礎(chǔ)上，運(yùn)用基于特征函數(shù)的方法與期權(quán)價(jià)格的校準(zhǔn)方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，與經(jīng)典BS模型對(duì)比，MJD、VG、CGMY、Heston與VGSA模型能更精確地?cái)M合看漲期權(quán)價(jià)格.

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2013-12-13;

2014-04-17

The research of parameter estimation under the Lévy process based on option pricing

Liu Xiangdong?and Yang Fei
College of Economics，Jinan University，Guangzhou 510632，P.R.China

The Lévy process can accurately describe the complex features of distribution，such as spikes，fat tails，and the discontinuity of the underlying asset reflected in the movement.Thus，the application of the Lévy processes in financial engineering becomes extensive and effective.However，estimation of the Lévy process parameters is difficult.Based on the option pricing formula，we used the maximum likelihood method and the fast Fourier transforms to make valid estimation on several typical Lévy process parameters，including the Variance-Gamma(VG)model，Carr-Geman-Madan-Yor(CGMY)model and VGSA(the exponential form for combining VG with Cox-Ingersoll-Ross)model.The method is tested by the Hong Kong Hang Sheng Index Options data，which is important to promote the achievements of previous results which focus on the Lévy parameter estimation.

application of statistical mathematics;Lévy process;option pricing;maximum likelihood parameter estimation;characteristic function;fast Fourier transform

O 211.9;F 830

A

10.3724/SP.J.1249.2014.03325

Foundation:Scientific Research Foundation for the Returned Overseas Chinese Scholars，State Education Ministry(35813003)

?

Associate professor Liu Xiangdong.E-mail:tliuxd@jnu.edu.cn

:Liu Xiangdong，Yang Fei.The research of parameter estimation under the Lévy process based on option pricing ［J］.Journal of Shenzhen University Science and Engineering，2014，31(3):325-330.(in Chinese)

教育部留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(35813003)

柳向東 (1973—)，男 (漢族)，湖南省瀏陽(yáng)市人，暨南大學(xué)副教授、博士.E-mail:tliuxd@jnu.edu.cn

引 文:柳向東，楊 飛.基于期權(quán)價(jià)格的Lévy過(guò)程參數(shù)估計(jì)研究［J］.深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2014，31(3):325-330.

【中文責(zé)編:方 圓;英文責(zé)編:海 潮】