隨機(jī)和非隨機(jī)部件組成的串并聯(lián)系統(tǒng)壽命比較

李松臣，李育鵬，陳迎運(yùn)，魏正紅

深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，深圳 518060

隨機(jī)和非隨機(jī)部件組成的串并聯(lián)系統(tǒng)壽命比較

李松臣，李育鵬，陳迎運(yùn)，魏正紅

深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，深圳 518060

針對(duì)隨機(jī)數(shù)N個(gè)部件和非隨機(jī)數(shù)n個(gè)部件組成的串并聯(lián)系統(tǒng)，引入可交換Copula函數(shù)度量串并聯(lián)系統(tǒng)中各部件壽命的相依性，研究串并聯(lián)系統(tǒng)壽命的隨機(jī)比較問(wèn)題.利用離散函數(shù)的凸性及詹森不等式的概率論形式，證明當(dāng)隨機(jī)數(shù)N的期望滿足條件E(N)≤n時(shí)，隨機(jī)N部件組成串聯(lián)系統(tǒng)的壽命以一般隨機(jī)序優(yōu)于非隨機(jī)n部件組成串聯(lián)系統(tǒng)的壽命;而當(dāng)E(N)≤n時(shí)，非隨機(jī)n部件組成并聯(lián)系統(tǒng)的壽命以一般隨機(jī)序優(yōu)于隨機(jī)N部件組成并聯(lián)系統(tǒng)的壽命.

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué);可靠性理論;次序統(tǒng)計(jì)量;可交換Copula函數(shù);串并聯(lián);一般隨機(jī)序;詹森不等式;離散凸性

系統(tǒng)壽命的隨機(jī)比較理論已廣泛用于可靠性理論和系統(tǒng)安全領(lǐng)域，在系統(tǒng)的可靠性理論中，次序統(tǒng)計(jì)量發(fā)揮著關(guān)鍵作用.考慮最簡(jiǎn)單的串并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，串聯(lián)系統(tǒng)是指當(dāng)系統(tǒng)所有部件都正常工作時(shí)才能正常工作的系統(tǒng)，即串聯(lián)系統(tǒng)壽命的生存函數(shù)對(duì)應(yīng)串聯(lián)系統(tǒng)各部件壽命最小次序統(tǒng)計(jì)量的生存函數(shù);而并聯(lián)系統(tǒng)僅需任意一個(gè)部件正常工作即可，其壽命的分布函數(shù)對(duì)應(yīng)并聯(lián)系統(tǒng)各部件壽命最大次序統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù).因此，研究串并聯(lián)系統(tǒng)的壽命等價(jià)于對(duì)部件的最小最大次序統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行研究.

設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由非隨機(jī)數(shù)(給定正整數(shù))n個(gè)部件組成，且每個(gè)部件的壽命由非負(fù)隨機(jī)變量Xi(i=1，2，…，n)表示，由此可定義這n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的最小和最大次序統(tǒng)計(jì)量分別為 X1:n=min(X1，X2，…，Xn)和 Xn:n=max(X1，X2，…，Xn).文獻(xiàn)［1-4］給出當(dāng)樣本容量為隨機(jī)數(shù)N時(shí)，一組隨機(jī)變量 X1，X2，…，XN的最大次序統(tǒng)計(jì)量 XN:N=max(X1，X2，…，XN)和 最 小 次 序 統(tǒng) 計(jì) 量 X1:N=min(X1，X2，…，XN)的定義、分布函數(shù)及性質(zhì);文獻(xiàn)［5］研究樣本為隨機(jī)數(shù)N，且與隨機(jī)變量Xi獨(dú)立時(shí)，最小最大次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)比較結(jié)果;文獻(xiàn)［6］研究隨機(jī)樣本最小最大次序統(tǒng)計(jì)量壽命分布的隨機(jī)比較結(jié)果;文獻(xiàn)［7］證明當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)樣本的容量N1和N2滿足不同隨機(jī)序關(guān)系時(shí)，對(duì)應(yīng)X1:N和XN:N也有不同的隨機(jī)大小關(guān)系.然而，對(duì)于隨機(jī)數(shù)N和非隨機(jī)數(shù)n組成的串聯(lián) (并聯(lián))系統(tǒng)的壽命X1:N和X1:n(XN:N和Xn:n)的隨機(jī)比較及隨機(jī)序關(guān)系并沒(méi)引起注意.本課題組在前期研究了部件壽命獨(dú)立同分布的假設(shè)下，X1:N和X1:n(XN:N和Xn:n)的一般隨機(jī)序比較關(guān)系［8］.但在實(shí)際中，一方面部件的壽命隨機(jī)變量獨(dú)立很難滿足，部件壽命存在相互依賴的情形更符合實(shí)際;另一方面，若用壽命隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)刻畫系統(tǒng)的壽命和可靠度，則無(wú)法細(xì)致表現(xiàn)相依部件的壽命與整個(gè)系統(tǒng)壽命之間的關(guān)系，有必要引入聯(lián)接函數(shù)Copula來(lái)刻畫各個(gè)部件壽命的邊緣分布函數(shù)與聯(lián)合分布之間的關(guān)系.

本文在引入聯(lián)接函數(shù)Copula基礎(chǔ)上，研究部件壽命相依且同分布情形下，隨機(jī)數(shù)N個(gè)部件和非隨機(jī)數(shù)n個(gè)部件組成的串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)的壽命隨機(jī)比較.介紹Copula函數(shù)及可交換Copula函數(shù)的定義、離散函數(shù)凸性和一般隨機(jī)序的定義;給出串聯(lián)系統(tǒng)中，隨機(jī)數(shù)N個(gè)部件和非隨機(jī)數(shù)n個(gè)部件組成串聯(lián)系統(tǒng)的壽命X1:N和X1:n的隨機(jī)比較結(jié)論;對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng)，有相應(yīng)的結(jié)論在第3部分給出，并舉例給出了研究結(jié)果的實(shí)際應(yīng)用.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［9］稱隨機(jī)變量X以一般隨機(jī)序小于Y(即X≤stY)，只要對(duì)任意實(shí)數(shù) t，滿足(t)≤FY(t)或FX(t)≥FY(t).

定義2［9］n元 Copula函數(shù)是一個(gè)定義域?yàn)镮n(其中 I= ［0，1］)的函數(shù) C:In→ I，即

且函數(shù)C有n個(gè)［0，1］上的均勻邊緣分布，另外需滿足下列條件

1)對(duì)任意 ui∈［0，1］，i=1，2，…，n，有

2)C(u)=C(u1，…，un)為n元增函數(shù)，即對(duì)任意 i=1，2…，n，0 ≤ai≤bi≤1，記 a=(a1，a2，…，an)T和 b=(b1，b2，…，bn)T，有

Sklar定理［9］設(shè)H是n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)，且這n個(gè)隨機(jī)變量的分布分別為F1，F(xiàn)2…，F(xiàn)n，必存在一個(gè)n元 Copula函數(shù)C(稱之為隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的聯(lián)接函數(shù)Copula)，對(duì)任意 x=(x1，x2，…，xn)∈ In都有

若F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n都是連續(xù)函數(shù)，那么Copula函數(shù)C是唯一確定的;反之，若C是n元Copula函數(shù)，且F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n是分布函數(shù)，那么由式(1)定義的函數(shù)H是一個(gè)以F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n為邊緣分布的n元分布函數(shù).

由 Sklar定理可知，Copula函數(shù) C(u1，u2，…，un)將多維聯(lián)合分布與1維邊緣分布聯(lián)系在一起，是聯(lián)合分布與邊緣分布的聯(lián)接函數(shù).對(duì)于1組邊緣分布函數(shù)已知的隨機(jī)變量 Xi(i=1，2，…，n)，當(dāng)其相依關(guān)系確定時(shí)，就可通過(guò)一個(gè)能反映相依關(guān)系的Copula函數(shù)確定這組隨機(jī)變量的聯(lián)合分布.

設(shè)由集合{1，2，…，n}的全部置換組成的置換群為 πn，對(duì)任意置換 σ ∈ πn，設(shè) Xσ(1)，Xσ(2)，…，Xσ(n)為σ作用X1，X2，…，Xn后得到的隨機(jī)變量，則稱X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)H是可交換的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?σ∈πn，有

H(x1，x2，…，xn)=H(xσ(1)，xσ(2)，…，xσ(n))，即X1，X2，…，Xn和Xσ(1)，Xσ(2)，…，Xσ(n)的聯(lián)合分布函數(shù)相等.

定義3［10］若X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)H是可交換的，則對(duì)應(yīng)的Copula函數(shù)是可交換的，且F1=F2=… =Fn，即對(duì)于可交換的Copula函數(shù)必滿足

C(u1，u2，…，un)=C(uσ(1)，uσ(2)，…，uσ(n))對(duì)?σ ∈ πn成立.其中，ui∈［0，1］，i=1，2，…，n.

有關(guān)Copula函數(shù)的詳細(xì)介紹可參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］.以下結(jié)論均基于假設(shè)，各個(gè)部件的壽命隨機(jī)變量是相依的，且有相同的分布函數(shù)F(x)，并通過(guò)可交換Copula函數(shù)衡量其間的相依關(guān)系.

定義5［11］設(shè)定義在自然數(shù)集合N上的實(shí)值函數(shù)a(k)，對(duì)任意k≥2且k∈N滿足

則稱函數(shù)a(k)是集合N上的離散凸函數(shù).

2 串聯(lián)系統(tǒng)的隨機(jī)比較

根據(jù)Sklar定理，當(dāng)已知部件壽命X1，X2，…，Xn的分布時(shí)，可由Copula函數(shù)或生存Copula函數(shù)表示串并聯(lián)系統(tǒng)壽命的分布函數(shù)或生存函數(shù).因此，在串聯(lián)系統(tǒng)中，非隨機(jī)n部件系統(tǒng)壽命X1:n的生存函數(shù)可以由各個(gè)部件壽命的生存函數(shù)表示，即

其中，t≥0，Kn(u，…，u)是n元生存Copula函數(shù).

隨機(jī)N部件系統(tǒng)壽命X1:N的生存函數(shù)為

其中，t≥0，k∈N.

此時(shí)，要得到關(guān)于X1:N和X1:n的隨機(jī)比較結(jié)果，當(dāng)考慮系統(tǒng)部件壽命是相依的，且相依性由可交換Copula函數(shù)度量時(shí)，可令u=(t)，則由式(2)和式(3)可知，X1:n和X1:N的生存函數(shù)分別為

引理 1 設(shè) Kk(u，…，u)=a(k)，即為離散函數(shù)，則a(k)是離散凸函數(shù)且關(guān)于k遞減.

【證】首先，證明a(k)關(guān)于k遞減.

因?yàn)镵k(u，…，u)是k元函數(shù)，且為k+1元聯(lián)合生存Copula函數(shù)的k元邊緣生存函數(shù)，因此

根據(jù)式(4)及生存Copula函數(shù)的單調(diào)性可知

a(k+1)-a(k)=Kk+1(u，…，u，u)-Kk+1(u，…，u，1)≤0，顯然，a(k)關(guān)于k是遞減的.

接著證明，若a(k)是離散凸函數(shù).

當(dāng)且僅當(dāng)a(k+1)+a(k-1)≥2a(k)，k∈N且 k≥2，即等價(jià)于 Kk+1(u，…，u)-Kk(u，…，u)-Kk(u，…，u)+Kk-1(u，…，u)≥ 0 成 立， 又 因Kk+1(u，…，u，u)是k+1元Copula，所以上式成立.

智能控制比較常見(jiàn)的為模糊控制（包括模糊PID）、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制（常見(jiàn)BP,RBF）、專家系統(tǒng)、分級(jí)遞階控制、學(xué)習(xí)理論控制（常見(jiàn)PSO,GA以及學(xué)習(xí)理論-PID模型）。另外，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論也有用于控制的，典型的是支持向量機(jī)回歸（SVMR）。

故函數(shù)a(k)是離散凸函數(shù)且關(guān)于k遞減.

引理2(詹森不等式概率論形式) 設(shè)函數(shù)φ是任意有定義的凸函數(shù)，對(duì)隨機(jī)變量X，都有不等式

成立，即隨機(jī)變量期望的凸函數(shù)變換后的值小于等于隨機(jī)變量凸函數(shù)變換的期望值，這對(duì)下文定理證明有極大幫助.

定理1 若正整數(shù)隨機(jī)變量N的期望值滿足條件E(N)≤n，則X1:N≥stX1:n.

【證】 設(shè)Kk(u，…，u)=a(k)，一方面有

根據(jù)引理1，a(k)是離散凸函數(shù)，則a(k)滿足詹森不等式，即E［a(N)］≥a(E［N］)成立.

另一方面，因?yàn)?a(k)關(guān)于 k遞減，所以當(dāng)E(N)≤n時(shí)，有

由定理 1可知，當(dāng) E(N)=n時(shí)，有 X1:N≥stX1:n.下例可驗(yàn)證這一結(jié)論.

3 并聯(lián)系統(tǒng)的隨機(jī)比較

在并聯(lián)系統(tǒng)中，非隨機(jī)n部件系統(tǒng)壽命Xn:n的分布函數(shù)為

其中，t≥0.

隨機(jī)N部件系統(tǒng)壽命XN:N的分布函數(shù)為

其中，t≥0;k∈N.

這部分將給出并聯(lián)系統(tǒng)壽命Xn:n和XN:N的隨機(jī)比較結(jié)論.令v=F(t)，根據(jù)式(5)和式(6)，則Xn:n和XN:N的分布函數(shù)分別為

因此對(duì)于隨機(jī)和非隨機(jī)部件組成的并聯(lián)系統(tǒng)，其壽命隨機(jī)變量Xn:n和XN:N有如下的隨機(jī)比較.

定理2 若正整數(shù)隨機(jī)變量的期望值滿足條件E(n)≤n，那么XN:N≤stXn:n.

【證】 令Ck(v，…，v)=a(k)

類似定理1的證明，a(k)是離散凸函數(shù)，且關(guān)于k遞減.

另外，根據(jù)詹森不等式和E(N)≤n，可得

因?yàn)镕N:N(t)=E［a(N)］和Fn:n(t)=a(n)，

故FN:N(t)≥Fn:n(t).

即XN:N≤stXn:n.

由定理2可知，E(N)=n時(shí)，有XN:N≤stXn:n.下例可驗(yàn)證這一結(jié)論.

本研究結(jié)論可用于不同系統(tǒng)可靠性研究的隨機(jī)比較.如目前政府和企業(yè)部門采取一票否決制決策時(shí)，設(shè)置投票成員的數(shù)量，其可能是固定數(shù)字，如n人;也可要求數(shù)量在一個(gè)區(qū)間浮動(dòng)，即為滿足一定條件的隨機(jī)變量.所以這兩種設(shè)置成員數(shù)量的方案對(duì)項(xiàng)目投票結(jié)果的影響以及該選擇何種方案，本研究在一定條件下可給出答案.

結(jié) 語(yǔ)

本文研究當(dāng)隨機(jī)部件和非隨機(jī)部件的壽命是相依同分布時(shí)，由其構(gòu)成的串并聯(lián)系統(tǒng)壽命的隨機(jī)比較.結(jié)論表明，在串聯(lián)系統(tǒng)中，當(dāng)隨機(jī)數(shù)與非隨機(jī)部件個(gè)數(shù)間滿足E(N)≤n時(shí)，隨機(jī)部件系統(tǒng)的壽命以一般隨機(jī)序優(yōu)于非隨機(jī)部件系統(tǒng);在并聯(lián)系統(tǒng)中，當(dāng)E(N)≤n時(shí)，非隨機(jī)部件系統(tǒng)的壽命以一般隨機(jī)序優(yōu)于隨機(jī)部件系統(tǒng)的壽命.

/References:

［1］Raghunandanan K，Patil S A.On order statistics for random sample size ［J］.Statistica Neerlandica，1972，26(4):121-126.

［2］Gupta D，Gupta R C.On the distribution of order statistics for a random sample size ［J］.Statistica Neerlandica，1984，38(1):13-19.

［3］Rohatgi V K.Distribution of order statistics with random sample size［J］.Communications in Statistics-Theory and Methods，1987，16(12):3739-3743.

［4］Consul P C.On the distributions of orders statistics for a random sample size ［J］.Statistica Neerlandica，1984，38(4):249-256.

［5］Shaked M，Wong T.Stochastic orders based on ratios of Laplace transforms［J］.Journal of Applied Probability，1997，34(2):404-419.

［6］Bartiszewucz J.Stochastic comparisons of random minima and maxima from life distributions［J］.Statistics＆ Probability Letters，2001，55(1):107-112.

［7］Shaked M，Wong T.Stochastic comparisons of random minima and maxima ［J］.Journal of Applied Probability，1997，34(2):420-425.

［8］Li Songchen，Li Yupeng，ChenYingyun.Comparisons of series and parallel systems with random and non-random components［C］//International Conference on Quality，Reliability，Risk，Maintenance，and Safety Engineering.Chengdu(China):2013:388-390.

［9］Nelsen R B.An introduction to copulas Lecture Notes in Statistics［M］.New York(USA):Springer-Verlag Press，2006:18-19.

［10］Jorge N，F(xiàn)abio S.On the relationships between copulas of order statistics and marginal distributions［J］.Statistics and Probability Letters，2010，80(5/6):473-479.

［11］Qi Feng，Guo Baini.Monotonicity of sequences involving convex function and sequence［J］.Mathematical Inequalities and Applications，2006，9(2):247-254.

2013-06-29;Revised:2013-11-11;

2014-01-05

Comparisons of series and parallel systems with random and non-random dependent components

Li Songchen，Li Yupeng，Chen Yingyun，and Wei Zhenghong?

College of Mathematics and Computational Science，Shenzhen University，Shenzhen 518060，P.R.China

Stochastic comparisons of series and parallel systems composed of random N and non-random n components were studied by implementing an exchangeable copula function.This copula function measures the dependence among the lifetime of each component in the series and parallel systems.By the use of the convexity of discrete functions and the Jensen inequality，when the random variable N satisfies E(N)≤n，we show that the lifetime of a series system composed of random N components is better than that of the system composed of non-random n components under the usual stochastic order;meanwhile，the lifetime of a parallel system composed of non-random n components is better than that of the system composed of random N components under the usual stochastic order.

application of statistical mathematics;reliability theory;order statistics;exchangeable copula;series and parallel system;usual stochastic order;Jensen inequality;discrete convexity

O 211.9

A

10.3724/SP.J.1249.2014.03312

Foundation:National Natural Science Foundation of China(71101095)

?

Professor Wei Zhenghong.E-mail:zhhwei@szu.edu.cn

:Li Songchen，Li Yupeng，Chen Yingyun，et al.Comparisons of series and parallel systems with random and non-random dependent components［J］.Journal of Shenzhen University Science and Engineering，2014，31(3):312-316.(in Chinese)

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (71101095)

李松臣 (1978—)，男 (漢族)，湖北省洪湖市人，深圳大學(xué)講師、博士.E-mail:lisongchen@szu.edu.cn

引 文:李松臣，李育鵬，陳迎運(yùn)，等.隨機(jī)和非隨機(jī)部件組成的串并聯(lián)系統(tǒng)壽命比較［J］.深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2014，31(3):312-316.

【中文責(zé)編:方 圓;英文責(zé)編:海 潮】