基于等風(fēng)險(xiǎn)的抽樣檢驗(yàn)方案

田 英，蔣仁言

抽樣檢驗(yàn)是指從一批產(chǎn)品或過程中隨機(jī)抽取部分樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，并將檢驗(yàn)結(jié)果與判斷標(biāo)準(zhǔn)比較，進(jìn)而決定該批產(chǎn)品是否接收的活動(dòng)。其中，抽取的樣本量和有關(guān)批判斷準(zhǔn)則的組合為抽樣檢驗(yàn)方案，簡稱抽檢方案。抽樣檢驗(yàn)是通過樣本來判別總體的，難免會(huì)將合格的產(chǎn)品批錯(cuò)判為不合格，導(dǎo)致整批拒收，其概率α稱為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)；或?qū)⒉缓细竦漠a(chǎn)品批錯(cuò)判為合格，導(dǎo)致整批接收，其概率β稱為使用方風(fēng)險(xiǎn)。因此，在確定抽檢方案前，生產(chǎn)方和使用方應(yīng)共同協(xié)商，合理確定兩類風(fēng)險(xiǎn)的大小，以及產(chǎn)品批的接收質(zhì)量水平（Acceptable Quality Level，簡稱為AQL）與拒收質(zhì)量水平（Rejectable Quality Level，簡稱為RQL），以保護(hù)雙方利益。

抽檢方案對(duì)產(chǎn)品優(yōu)劣的判別能力可用接受概率來衡量。接收概率是指根據(jù)規(guī)定的抽檢方案，把具有給定質(zhì)量水平的檢驗(yàn)批判為接收的概率，它是關(guān)于批質(zhì)量指標(biāo)（如：不合格品率p、平均值μ）的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為抽樣特性函數(shù)（Operating Characteristic Function，簡稱為OC函數(shù)）；如果以質(zhì)量指標(biāo)為橫坐標(biāo)，接收概率為縱坐標(biāo)，由兩者之間關(guān)系作的曲線為抽樣特性曲線（Operating Characteristic Curve，簡稱為OC曲線）。抽樣檢驗(yàn)依據(jù)檢驗(yàn)批的質(zhì)量指標(biāo)及其質(zhì)量特性分為計(jì)數(shù)型和計(jì)量型兩類。美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的道奇（Dodge）和羅米格（Roming）是抽樣檢驗(yàn)的創(chuàng)始人，他們把數(shù)理統(tǒng)計(jì)引入到質(zhì)量管理領(lǐng)域。針對(duì)計(jì)數(shù)型抽樣檢驗(yàn)，道奇的抽樣理論提出了兩類風(fēng)險(xiǎn)和兩個(gè)質(zhì)量水平的概念。隨后，很多文獻(xiàn)［1－3］應(yīng)用統(tǒng)計(jì)抽樣檢驗(yàn)理論，由事先確定的4個(gè)參數(shù)，把（AQL，1－α）和（RQL，β）作為OC曲線上的兩個(gè)約束點(diǎn)來設(shè)計(jì)抽檢方案。但在生產(chǎn)實(shí)踐中，這些參數(shù)多數(shù)是根據(jù)產(chǎn)品過程質(zhì)量的先驗(yàn)信息或產(chǎn)品的質(zhì)量要求來確定的，很難獲得精確值。Tong［4］等人應(yīng)用模糊超幾何分布和模糊泊松分布，設(shè)計(jì)了模糊抽檢方案，以解決參數(shù)不精確和模糊的問題。Jiang［5］對(duì)參數(shù)確定時(shí)存在主觀性，引起不公平情況，提出了等風(fēng)險(xiǎn)方法，并應(yīng)用二項(xiàng)分布模型，確定了計(jì)數(shù)型抽檢方案。然而，用二項(xiàng)分布模型，相當(dāng)于每次抽樣后把樣本放回總體中去，但這只有在樣本量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于批量時(shí)，誤差才可以忽略。而生產(chǎn)中，小批量的情況并不罕見，樣本不可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于批量，因此二項(xiàng)分布模型不精確。

作者擬應(yīng)用等風(fēng)險(xiǎn)方法，通過確定等風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量水平和平均風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)參數(shù)，設(shè)計(jì)基于超幾何分布模型的一次計(jì)數(shù)型和基于正態(tài)分布模型的計(jì)量型抽檢方案。并通過實(shí)例，分析等風(fēng)險(xiǎn)方法與傳統(tǒng)方法的聯(lián)系與區(qū)別。

1 傳統(tǒng)抽樣檢驗(yàn)方法

1.1 計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)型一次抽樣檢驗(yàn)方案

1.1.1 原理及參數(shù)設(shè)定

計(jì)數(shù)型抽樣檢驗(yàn)是把樣本中的每個(gè)產(chǎn)品分為合格品和不合格品，并與抽檢方案中的不合格品的判定數(shù)對(duì)比，判斷批是否接收。設(shè)批接收概率為L（p），給定AQLp0，RQLp1，α及β。抽檢方案滿足：當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量較好時(shí)（p ≤p0），以高概率（L（p）＝1－α）判為接收；當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量較差時(shí)（p≥p1），以低概率（L（p）＝β）判為接收；當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量變壞時(shí)（p0≤p≤p1），接收概率應(yīng)迅速減少，其OC曲線如圖1所示。

圖1 計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)型一次抽樣檢驗(yàn)方案的OC曲線Fig.1 The OC curve of single sampling for having desired plan by attributes

α和β作為選取p0，p1的標(biāo)準(zhǔn)，通常取10%（國家標(biāo)準(zhǔn)中α＝0.05，β＝0.1）；p0，p1則由供需雙方協(xié)商確定。先根據(jù)參照法、反推法、計(jì)算法、歸納分類法、過程平均法及損益平衡點(diǎn)等方法確定。再依據(jù)p0確定相應(yīng)p1，若p1／p0過小，會(huì)增加抽檢樣本量，使費(fèi)用增加。為此，p1與p0需拉開一定距離。但p1／p0過大，又會(huì)放松對(duì)質(zhì)量的要求，對(duì)使用方不利。當(dāng)α＝0.05，β＝0.1時(shí)，國際電工委員會(huì)推薦（IEC）p1為p0的1.5倍，2倍或3倍［7］，也有國家推薦p1為p0的4～10倍［8］。

1.1.2 計(jì)數(shù)型數(shù)學(xué)模型

從批量為N的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取容量為n的樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，通過樣本中不合格數(shù)x來判定該批是否合格。當(dāng)x≤c時(shí)，接收該批產(chǎn)品；當(dāng)x＞c時(shí)，則拒收。抽檢方案的確定，實(shí)際就是（n，c）的確定。采用“不放回”式隨機(jī)抽樣，樣本中不合格數(shù)為x（0≤x≤c）的概率服從超幾何分布，批接收概率［7］為：

依據(jù)設(shè)計(jì)原理和給定的參數(shù)，可通過解不等式組確定抽檢方案（n，c）：

當(dāng)N 很大、而n相對(duì)較?。∟≥10n）時(shí)，N 對(duì)OC函數(shù)的影響很小，即：可將“不放回”抽樣近似為“放回”抽樣，超幾何分布可用二項(xiàng)分布近似表示為：

抽檢方案可由公式確定：

代數(shù)方程組（2）和（4）均為非線性超越方程，其解n和c必須是非負(fù)整數(shù)。假若參數(shù)取值不合理，則方程組收斂性較差或不能收斂，使抽檢方案不合理。因此，需采用數(shù)學(xué)逼近法［2］、試算法［5］或用軟件仿真求解［9］。

1.2 計(jì)量一次抽樣檢驗(yàn)方案

1.2.1 特點(diǎn)及原理

計(jì)量型抽樣檢驗(yàn)是通過測量樣本的質(zhì)量特性值并與判斷標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，進(jìn)而推斷整批產(chǎn)品是否接受。其產(chǎn)品質(zhì)量特性值能用連續(xù)尺度來度量，服從正態(tài)分布，它常以批中所有單位產(chǎn)品特性值的平均值μ表示批質(zhì)量。根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量的要求，有的要求μ越大越好，即質(zhì)量特性有下規(guī)格限；有的要求μ越小越好，即質(zhì)量特性有上規(guī)格限；有的規(guī)定了質(zhì)量特性的雙側(cè)規(guī)格限。以下規(guī)格限情況為例進(jìn)行討論。給定AQLμ0，RQLμ1（μ0＞μ1），α及β。抽檢方案需滿足：當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量較好時(shí)（μ≥μ0），以高概率（1－α）判為接收；當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量較差時(shí)（μ≤μ1），以低概率（β）判為接收。

1.2.2 計(jì)量型正態(tài)分布模型

設(shè)計(jì)此類抽檢方案，首先需確定參數(shù)μ0，μ1，α，β，其參數(shù)確定存在的問題與計(jì)數(shù)型類似。

假設(shè)產(chǎn)品質(zhì)量特性值X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），從被檢批中抽取一個(gè)容量為n的樣本檢驗(yàn)，樣本質(zhì)量特性值為X1，X2，…，Xn，其均值為X，則X ～N（μ，σ2／n），可定一個(gè) K 值。當(dāng) X≥K時(shí)，接收該批產(chǎn)品；否則，拒收。則抽檢方案為（n，K）。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，σ已知，則批接收概率［7］為：

式中：Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

根據(jù)計(jì)量抽樣檢驗(yàn)設(shè)計(jì)原理，其抽檢方案必須滿足：

整理得：

式中：Φ－1（·）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ（·）的反函數(shù)，給定4個(gè)參數(shù)，由式（7）可得抽檢方案（n，K），其中n要選擇圓整后能使相對(duì)約束點(diǎn)誤差最小的整數(shù)。

2 等風(fēng)險(xiǎn)方法

等風(fēng)險(xiǎn)方法是通過確定供應(yīng)方與使用方風(fēng)險(xiǎn)相等時(shí)的質(zhì)量水平即等風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量，和限制供應(yīng)方或使用方的平均風(fēng)險(xiǎn)來設(shè)計(jì)抽檢方案，以得到公平可靠的方案。

2.1 計(jì)數(shù)型等風(fēng)險(xiǎn)方法

2.1.1 設(shè)計(jì)原理

供需雙方協(xié)商確定等風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0.5，使批接收概率L（p0.5）＝0.5，即

可得不同接收數(shù)ci時(shí)的樣本量n0.5（ci）。由供應(yīng)方風(fēng)險(xiǎn)r（p）＝1－L（p），可求得供應(yīng)方平均風(fēng)險(xiǎn)為：

根據(jù)抽樣檢驗(yàn)的寬嚴(yán)程度，給α0.5設(shè)定一個(gè)極限值γ，使α0.5≤γ，則能得到滿足要求的抽樣方案（n，c）。等風(fēng)險(xiǎn)方案的參數(shù)與OC曲線的關(guān)系如圖2所示。

圖2 計(jì)數(shù)型等風(fēng)險(xiǎn)抽樣方案的OC曲線Fig.2 The OC curve of equal－risk sampling plan by attributes

2.1.2 確定抽樣方案

等風(fēng)險(xiǎn)法抽檢方案可在Microsoft Excel（2010版）中通過相關(guān)函數(shù)運(yùn)算求得，其求解步驟為：

1）給定p0.5和γ，求ni。依次取ci＝i和對(duì)應(yīng)的任意樣本量ni（i＝0，1，…，10），由函數(shù) HYPGEOM.DIST求出相應(yīng)L（p0.5）；根據(jù)“規(guī)劃求解”，使（L（p0.5）－0.5）2最小，得滿足式（8）的ni；再由取整函數(shù)INT（ni＋0.5）對(duì)ni取整得n0.5（ci）。

2）求α0.5。把（n0.5（ci），ci）代入式（9），采用梯形法求定積分，令圖2陰影部分曲邊梯形面積為S，把區(qū)間［0，p0.5］分為k個(gè)小區(qū)間，每區(qū)間寬為p0.5／k，每個(gè)小曲邊梯形面積近似為：Si≈（i ＝ 1，2，Si。k的取值，可根據(jù)α0.5精度要求選取，如：k＝1 000，步長為p0.5／1 000，α0.5的精度在0.001以上。

3）根據(jù)α0.5≤γ，求抽檢方案。部分p0.5的抽檢方案和平均風(fēng)險(xiǎn)見表1。由表1可知，如果批量N＝3 000，給定參數(shù)p0.5＝0.03，γ＝0.15，知α0.5＝0.143 4，c＝4，n0.5（c）＝155滿足要求，即抽檢方案為（155，4）。

表1 以p0.5、n和c為函數(shù)的平均風(fēng)險(xiǎn)（N ＝3 000）Table 1 Mean risks as functions of p0.5，nand c（N ＝3 000）

實(shí)例1某電子儀器廠與協(xié)作的電容器廠商定，當(dāng)電容器廠提供產(chǎn)品的不合格品率不超過3%時(shí)，以高于95%的概率接收；當(dāng)不合格品率超過12%時(shí)，將以低于10%的概率接收［8］。假定產(chǎn)品批量N＝1 000，試制定抽檢方案。

傳統(tǒng)方法：依題意，應(yīng)用超幾何分布模型，把給定參數(shù)代入方程式（2），在Excel中試算得抽檢方案（66，4）。又由于1 000＞10×66，則誤差可忽略，由二項(xiàng)分布模型，把參數(shù)代入方程式（4），試算得最優(yōu)抽檢方案（66，4）。該方案雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)為α＝0.042，β＝0.083，可知其OC曲線沒有精確通過所約束的兩點(diǎn)。

等風(fēng)險(xiǎn)方法：由雙方協(xié)商確定p0.5。如果傳統(tǒng)參數(shù)合理，可由方案（66，4）得L（7%）＝0.5，則定p0.5＝7%。不同寬嚴(yán)程度（不同α0.5）時(shí)的抽檢方案見表2。當(dāng)平均風(fēng)險(xiǎn)α0.5＝0.139時(shí)，所求結(jié)果和傳統(tǒng)法一致，說明等風(fēng)險(xiǎn)法合理。供需雙方在確定α0.5時(shí)，可根據(jù)表2中α和β的大小選取。如果β需在0.04～0.12的范圍時(shí)，α0.5可取0.12～0.16的值。

表2 等風(fēng)險(xiǎn)法抽檢方案Table 2 Sampling inspection plan of equal－risk method

2.2 計(jì)量型等風(fēng)險(xiǎn)法

2.2.1 設(shè)計(jì)原理

供應(yīng)方和使用方共同協(xié)商確定等風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量μ0.5，使其滿足L（μ0.5）＝0.5，即：

由式（10）得 K＝μ0.5，則對(duì)于抽檢方案（n，K），只需求樣本量n。

對(duì)于任意（n，μ0.5），根據(jù) OC函數(shù)，可求供應(yīng)方或使用方的平均風(fēng)險(xiǎn)α0.5，然后，由抽檢的寬嚴(yán)程度對(duì)α0.5設(shè)一個(gè)約束γ，使α0.5＝γ來求抽檢方案。由于不同產(chǎn)品批μ值的差異較大，為了保證α0.5的精度，只求區(qū)間［μ0.5，μ0.5＋σ］的平均風(fēng)險(xiǎn)α0.5，如圖3所示。

圖3 計(jì)量型等風(fēng)險(xiǎn)方案的OC曲線Fig.3 The OC curve of equal－risk sampling plan by variables

2.2.2 確定抽樣方案

等風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量抽樣檢驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)在Excel中具體操作步驟為：

1）雙方協(xié)商確定μ0.5和γ，選擇大體符合要求的樣本量n′。

2）根據(jù)式（12），由梯形法求（n′，μ0.5）的平均風(fēng)險(xiǎn)α0.5。

3）優(yōu)化n′。在“規(guī)劃求解”中設(shè)立目標(biāo)值α0.5＝γ，變量為n′，可得樣本量n。

案例2有一批產(chǎn)品做壽命試驗(yàn)，假設(shè)產(chǎn)品壽命X 服從N（μ，σ2）。已知壽命標(biāo)準(zhǔn)差σ＝20h，供需雙方協(xié)定μ0＝1 020h，μ1＝1 000h，α＝0.05，β＝0.1，試確定抽檢方案［10］。

傳統(tǒng)方法：根據(jù)題意把給定參數(shù)代入式（7），得n≈8.56，K≈1 008.8，對(duì)n取整，得抽檢方案（9，1 008.8），則質(zhì)量為μ0和μ1的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)α＝0.047，β＝0.093，可知其OC曲線實(shí)際沒有精確通過所約束的兩點(diǎn)。

等風(fēng)險(xiǎn)法：經(jīng)雙方協(xié)商，要求產(chǎn)品的平均壽命為1 010h，即μ0.5＝1 010h，不同寬嚴(yán)程度（平均風(fēng)險(xiǎn)）時(shí)抽檢方案的參數(shù)見表3。且當(dāng)α0.5＝0.133時(shí)，抽檢方案（9，1 010）與傳統(tǒng)法最接近，此時(shí)質(zhì)量為μ0和μ1的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)α＝β＝0.067。供需雙方在確定α0.5時(shí)，可選擇α和β在0.04～0.1的范圍的α0.5，即α0.5可取0.12～0.15，見表3。

表3 等風(fēng)險(xiǎn)法抽檢方案Table 3 Sampling inspection plan of equal－risk approach

3 聯(lián)系與區(qū)別

傳統(tǒng)方法是通過事先確定兩個(gè)點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)作為約束條件求抽檢方案，但由于n，c必須為非負(fù)整數(shù)，因此，OC曲線實(shí)際不會(huì)精確通過那兩點(diǎn)；而平均風(fēng)險(xiǎn)法則通過控制區(qū)間平均風(fēng)險(xiǎn)，它避免了定義兩個(gè)點(diǎn)，而且一方平均風(fēng)險(xiǎn)定出后，另一方也相應(yīng)確定，能保證方案公平可靠，過程更簡單。

由傳統(tǒng)方法給定的4個(gè)參數(shù)可得抽檢方案，而每個(gè)抽檢方案都有其相應(yīng)的OC曲線，則可求得等風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量和平均風(fēng)險(xiǎn)。而由等風(fēng)險(xiǎn)法參數(shù)求得抽檢方案后不能直接得到4個(gè)參數(shù)，只有給定α、β或AQL、RQL作為標(biāo)準(zhǔn)求其他兩個(gè)參數(shù)。用兩種方法對(duì)同一待檢批求得的兩個(gè)抽檢方案，在相同AQL和RQL下，如果傳統(tǒng)方案和等風(fēng)險(xiǎn)方案風(fēng)險(xiǎn)分別為α、β和α′、β′，由風(fēng)險(xiǎn)變化可知傳統(tǒng)方案的利益偏向：當(dāng)α＝α′、β＝β′表明利益一致；當(dāng)α＜α′、β＞β′偏向供應(yīng)方；當(dāng)α＞α′、β＜β′偏向使用方。如例2，傳統(tǒng)方案（9，1 008.8）和等風(fēng)險(xiǎn)方案（9，1 010）的風(fēng)險(xiǎn)0.047＜0.067，0.093＞0.067，可知傳統(tǒng)方案偏向供應(yīng)方。

4 結(jié)論

運(yùn)用等風(fēng)險(xiǎn)方法設(shè)計(jì)了服從超幾何分布模型的一次計(jì)數(shù)型和服從正態(tài)分布模型的一次計(jì)量型抽檢方案。該方法是基于供應(yīng)方和使用方風(fēng)險(xiǎn)相等時(shí)的質(zhì)量水平和供應(yīng)方的平均風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)參數(shù)來設(shè)計(jì)抽樣方案，它較傳統(tǒng)方法減少了參數(shù)設(shè)定的個(gè)數(shù)，簡化了參數(shù)設(shè)定過程；避免定義OC曲線本來就很難經(jīng)過的兩點(diǎn)，改進(jìn)了傳統(tǒng)方法中參數(shù)確定存在主觀性而導(dǎo)致的不公平性和雙方矛盾，使抽檢方案更可靠。等風(fēng)險(xiǎn)法是一種新型抽檢方案設(shè)計(jì)方法，期待能為供需雙方更好的實(shí)現(xiàn)雙贏。

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