論概率統(tǒng)計(jì)課程中經(jīng)典教學(xué)案例的選用準(zhǔn)則

孫彩云

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京東燕郊 101601)

0 引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支，其理論方法獨(dú)特，抽象，建立在公理化結(jié)構(gòu)之上，理論嚴(yán)密，體系完整，同時(shí)，它的實(shí)踐性又很強(qiáng)，很多重要的統(tǒng)計(jì)思想，方法都是來自于實(shí)踐，又運(yùn)用于實(shí)踐［1－2］。從概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程所具有的這種特點(diǎn)來看，如果教師在該課程的教學(xué)中仍沿用類似其它數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方法，側(cè)重理論的推理證明，重視計(jì)算技巧的演練，解題方法的訓(xùn)練，輕視甚至忽視思想方法、理解能力及應(yīng)用能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生抓不住概率統(tǒng)計(jì)的精髓所在，不能利用該知識(shí)解決實(shí)際問題，學(xué)以致用［3］。然而，學(xué)習(xí)的目的是為了運(yùn)用。為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)教師可以在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)過程中，適當(dāng)延伸課本內(nèi)容，選取社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生活等經(jīng)典案例，結(jié)合所學(xué)的理論對(duì)案例問題進(jìn)行深入的分析，指出其存在的問題、根源，并策劃出解決問題的方案。

經(jīng)典案例的選取關(guān)系到是否能夠使學(xué)生在分析案例的過程中掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題［4］。那么，教師應(yīng)該選取怎樣的經(jīng)典案例，才能活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。從而達(dá)到學(xué)習(xí)目的，使案例發(fā)揮事半功倍的作用呢?筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出選取經(jīng)典案例幾個(gè)準(zhǔn)則如下:

1 經(jīng)典教學(xué)案例的選用準(zhǔn)則

1.1 代表性

生活中會(huì)呈現(xiàn)出多樣的現(xiàn)象，有些現(xiàn)象雖然表現(xiàn)形式不一樣，但是反映的問題卻本質(zhì)相同。比如大家熟知的有生日問題:假設(shè)有n個(gè)人組成的人群，在不考慮特殊因素的前提下，例如閏年、雙胞胎等，并假設(shè)一年365日出生概率是平均分布的，計(jì)算所有人生日都不相同的概率。實(shí)際這個(gè)問題等同于裝球入箱問題:將n個(gè)不同編號(hào)的球隨機(jī)放入N(N≥n)個(gè)箱子中，每個(gè)球以相同的概率被放入箱中，每箱容納的球數(shù)不限，求n個(gè)盒中恰有一個(gè)球的概率。類似這樣的同類案例需要教師精心選取具有代表性的，并且給學(xué)生歸類總結(jié)，舉一反三，會(huì)收到很好的教學(xué)效果。

1.2 趣味性

興趣是學(xué)習(xí)的最大動(dòng)力。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)來源于生活，從中很容易找到引人入勝的典故和身邊一些有趣的例子?？梢蚤_發(fā)際問題作為教學(xué)素材來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。比如在講授數(shù)學(xué)期望內(nèi)容時(shí)，可以引入如何分配賭金的例子:假設(shè)兩個(gè)賭博者(德·梅勒和他的一個(gè)侍衛(wèi)官朋友)每人出30個(gè)金幣，兩人各自選取一個(gè)點(diǎn)數(shù)進(jìn)行擲骰子，誰選擇的點(diǎn)數(shù)首先被擲出三次，誰就贏得全部的賭注，在游戲進(jìn)行了一會(huì)兒后，德·梅勒選擇的點(diǎn)數(shù)“5”出現(xiàn)了兩次而他朋友選擇的點(diǎn)數(shù)“3”只出現(xiàn)了一次，這時(shí)候，德·梅勒由于一件緊急事情必須離開，游戲不得不停止。他們?cè)撊绾畏峙滟€桌上的60個(gè)金幣的賭注呢?德·梅勒說:“我只要再擲出1次5點(diǎn)，就可以贏得全部金幣，而你要擲2次3點(diǎn)，才能贏得60枚金幣，所以我應(yīng)該得到全部金幣的3/4，也就是45枚金幣?！笔绦l(wèi)官卻說:“假如繼續(xù)賭下去，我要兩次好機(jī)會(huì)才能取勝，而你只一次就夠了，是2∶1，所以你只能取走全部金幣的2/3，即40枚金幣”。兩人互相堅(jiān)持自己的意見，賭金無法分配。讓學(xué)生說明哪中分配正確。這是一個(gè)有趣的例子，學(xué)生期待找到答案，學(xué)習(xí)的動(dòng)力會(huì)更足。

1.3 知識(shí)性

在遇到一些概率統(tǒng)計(jì)問題時(shí)，可利用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析解答。反過來，如何利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)考慮其它數(shù)學(xué)學(xué)科的數(shù)學(xué)問題，好像是一件新鮮事。因此教師應(yīng)該把概率思想滲入到教學(xué)過程中，利用概率論的思想方法，建立適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ腿ソ鉀Q一些表面上看來不屬于概率統(tǒng)計(jì)范疇內(nèi)的問題，如利用概率統(tǒng)計(jì)模型可以證明組合恒等式、不等式，求解級(jí)數(shù)、積分、極限等數(shù)學(xué)問題，增加概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)性。比如:證明，雖然是一個(gè)組合等式，卻可以用概率模型來求解。證明過程:考慮一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn):設(shè)一個(gè)袋中裝有n個(gè)球，其中有且只有一個(gè)紅球，先從袋中取出r個(gè)球來，則有種取法，可以將這種取法分為2類:(1)包含紅球的.取定了那個(gè)紅球之外還需在余下的n－1個(gè)球中取r－1個(gè)，共有種取法;(2)不包含紅球的.應(yīng)在除去紅球后的n－1個(gè)球中取出r個(gè)球.因此，共有種取法.所以，等式成立。該例子的引入可以使學(xué)生樹立起概率統(tǒng)計(jì)意識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的思想方法分析處理以前所學(xué)數(shù)學(xué)問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維與直觀思維能力，進(jìn)一步提高分析判斷與解決問題的能力.

1.4 實(shí)用性

在案例的選取中要注意增加與經(jīng)濟(jì)生活貼近的例子，如:庫存與收益問題、有關(guān)彩票中獎(jiǎng)率問題、隱私問題的調(diào)查等，對(duì)這些案例進(jìn)行講解，如能結(jié)合統(tǒng)計(jì)軟件分析處理。相信不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也能使學(xué)生明白概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是建立在現(xiàn)實(shí)生活的基礎(chǔ)上運(yùn)用性很強(qiáng)的學(xué)科，使學(xué)生更加重視對(duì)該門課的學(xué)習(xí)。

引入案例后，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每一個(gè)案例進(jìn)行分析，分析過程為:(1)要解決什么問題?(2)有些什么方法，而這些方法的基本思想是什么?合理性?(3)運(yùn)用這些方法解決問題的基本步驟是什么?(4)如何將這些方法運(yùn)用于實(shí)際問題中?這樣能使學(xué)生理清思路，從整體上把握統(tǒng)計(jì)的基本思想。

筆者在講授全概率公式時(shí)引入以下案例:

某經(jīng)理需要招聘1個(gè)秘書，現(xiàn)n個(gè)人同時(shí)應(yīng)聘。經(jīng)理隨機(jī)與應(yīng)聘者逐個(gè)面試，把應(yīng)聘者與已面試的人比較而決定是否錄用。但是，應(yīng)聘者要求經(jīng)理當(dāng)場(chǎng)答復(fù)，因?yàn)樗?她)好決定是否到另一處謀職業(yè)。如果經(jīng)理要把n個(gè)人都面試完全，那就只能錄用最后一名。于是他錄用到最好的那一位的概率僅有1/n。經(jīng)理采取什么策略，才能從n個(gè)中選到最好的或較好的秘書呢?

對(duì)此問題，可考慮如下策略:

假設(shè)對(duì)n個(gè)應(yīng)聘人，先放棄部分應(yīng)聘人，不錄取前k(k=1、2、…、n－1)個(gè)人，若后面有比前 k個(gè)應(yīng)聘人更理想的人選，立即簽約，否則，繼續(xù)等待。在此策略下，尋找k，使選到理想秘書簽約的概率最大，稱k為最優(yōu)策略。

設(shè)Ak表示在此策略下和最理想秘書;

由全概率公式可得:

對(duì)不同的n，由上式計(jì)算得Pk如表1:

表1

由表1可以看出，對(duì)于不同的n，可得最優(yōu)策略如表2。

表2

從表2可以看出，隨著n的增加，最優(yōu)的k值也相應(yīng)增加，但相應(yīng)的概率隨之減小.對(duì)于更大的n，有下面的近似公式:

表3

圓圈標(biāo)出了中選者，*號(hào)指出選中最優(yōu)者的情形。明顯看出，選到最優(yōu)者概率是11/24，比隨意挑選的成功率(1/4)高得多。而選中第一名或第二名的概率則高達(dá)18/24=0.75。

此案例亦可在別的場(chǎng)合使用，如金融市場(chǎng)，有許多投資機(jī)會(huì)，為抓住最佳投資機(jī)會(huì)，可考慮以上策略。

2 結(jié)語

結(jié)合幾年來概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)實(shí)踐中引入適當(dāng)案例并進(jìn)行分析，用具體生動(dòng)的實(shí)例把抽象的概念形象化，使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)取得了如下顯著的效果:

1)以上經(jīng)典案例在教學(xué)中的引用與分析使學(xué)生真正體會(huì)到該課程的內(nèi)容在工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及日常生活中的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，同時(shí)也增加了學(xué)生動(dòng)手能力和應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的能力。

2)取得了良好的教學(xué)效果，提高了教學(xué)質(zhì)量，得到了學(xué)生的認(rèn)可和贊同。在對(duì)所教授的13級(jí)測(cè)繪1、2、3班學(xué)生的問卷調(diào)查中，85%以上的學(xué)生對(duì)選用的經(jīng)典案例給予大力肯定;另外，該班學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)課程考試的平均成績及及格率都明顯好于其它班的學(xué)生，其中經(jīng)典案例選擇對(duì)教學(xué)效果具有促進(jìn)作用，使得大多數(shù)學(xué)生對(duì)該門課程的思想方法和應(yīng)用性有了較深刻的認(rèn)識(shí)。

總之，教學(xué)經(jīng)典案例的選取在課程教學(xué)中具有一定的教學(xué)意義，能夠取得意想不到教學(xué)效果，具有一定的教學(xué)借鑒意義。

［1］ 鄧華玲，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的改革與實(shí)踐［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，(1):34 －37.

［2］ 施慶生，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)改革與實(shí)踐［J］.南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版)，2004，(3):94 －96.

［3］ 李曉康.案例式教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的應(yīng)用［J］.價(jià)值工程，2011，(2):204－205.

［4］ 陳海杰，等.應(yīng)用案例分析提高概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)效果［J］.東北農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào) (社會(huì)科學(xué)版)，2012，(2):98－100.