卡爾曼濾波在陽山金礦控制測量中的應(yīng)用

葉 培

（武警黃金第十二支隊，成都 610036）

武警黃金十二支隊對甘肅文縣陽山金礦帶進行了大面積GPS控制測量，由于陽山地區(qū)地形、氣候復(fù)雜，切割和高差較大，如果利用傳統(tǒng)方法不能保證在有效星歷的情況下采用最優(yōu)信號源，星歷殘差也較為復(fù)雜，特別是信號波源不能穩(wěn)定在一個有效的區(qū)間內(nèi)。因此，利用卡爾曼濾波數(shù)學(xué)模型對控制測量中的GPS信號、星歷和殘差進行優(yōu)化，從而在同一時、間同一地點、同一天氣的情況下盡量提高GPS精度。

1 卡爾曼濾波

1960年，卡爾曼發(fā)表了用遞歸方法解決離散數(shù)據(jù)線性濾波問題的論文。在這篇文章里，一種克服了維納濾波缺點的新方法被提出來，這就是我們今天稱之為卡爾曼濾波的方法?？柭鼮V波應(yīng)用廣泛且功能強大，它可以估計信號的過去和當(dāng)前狀態(tài)，甚至能估計將來的狀態(tài)，即使并不知道模型的確切性質(zhì)[1]。

1.1 濾波器的計算模型

從建立的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型出發(fā)，可以導(dǎo)出卡爾曼濾波的計算原型，包括：時間更新方程和測量更新方程。為了便于描述，做以下說明：⑴X Rnk? ，第K步之前的狀態(tài)已知的情況下第K步的先驗狀態(tài)估計值；⑵ Xk?Rn，測量Zk已知情況下第K步的后驗狀態(tài)估計值。由此定義先驗估計誤差和后驗估計誤差：

先驗估計誤差的協(xié)方差矩陣為：

后驗估計誤差的協(xié)方差矩陣為：

先驗代表的是對過去波形的描述，后驗是對未來波形的預(yù)測，而測量的過程中，信號總是有殘差的存在的，殘差采取迭代的數(shù)學(xué)方法進行轉(zhuǎn)換，將Pk對K進行求導(dǎo)，使一階導(dǎo)數(shù)為零，我們可以得到殘差的數(shù)學(xué)形式[2]：

1.2 濾波器模型的建立

卡爾曼濾波器包括兩個主要過程：預(yù)估與校正。預(yù)計過程主要是利用時間更新方程建立對當(dāng)前狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差估計的值，以便在下一個時間狀態(tài)構(gòu)造先驗估計值；校正過程負責(zé)反饋，利用測量更新方程在預(yù)測過程的先驗估計值及當(dāng)前測量變量的基礎(chǔ)上建立起對當(dāng)前狀態(tài)的改進的后驗估計。這樣一個過程，我們稱之為預(yù)估-校正過程，對應(yīng)的方法我們可以稱為預(yù)估-校正法。

時間更新方程：

狀態(tài)更新方程：

2 陽山金礦控制測量卡爾曼濾波模型的建立

2012年中國黃金公司要求對陽山金礦帶安壩礦段七個控制點進行復(fù)測，得到數(shù)據(jù)要求與2001年所測數(shù)據(jù)誤差必須在規(guī)范以內(nèi)。當(dāng)時的困難很多，首先時間緊，沒有充分的時間進行星歷預(yù)測，并且施工期間，雨水多，云層厚，天氣情況極為惡劣，最關(guān)鍵的問題，兩次測量相隔時間近11年，誤差除08年地震造成測量標志移動因素外，還有不同時間段的氣候、信號和電離層都有可能對數(shù)據(jù)造成影響，為了取得最優(yōu)的信號，盡量避開信號干擾，我們決定采用卡爾曼濾波數(shù)學(xué)模型，對GPS信號、星歷和殘差進行優(yōu)化，從而滿足工程需要。

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立

首先考慮局部卡爾曼濾波器1，這種標準的濾波器模型為：

再考慮局部卡爾曼濾波器2，這種標準的濾波器模型為：

2.2 選用卡爾曼濾波器算法

在上述方程的建立中，考慮到機動速度均值和方差的自適應(yīng)算法，分別對應(yīng)于GPS定位系統(tǒng)（3-1）和（3-2）兩個模型。在聯(lián)合卡爾曼濾波器中，對應(yīng)于各局部濾波器和主濾波器的信息分配系數(shù)β1、β2、…βm的取值決定了聯(lián)合卡爾曼濾波器的信息分配系數(shù)的性能。就前面所設(shè)計的GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的聯(lián)合卡爾曼濾波器的性能，因此可通過選擇不同的信息分配系數(shù)來改變?yōu)V波器的性能，以滿足不同的需要。根據(jù)信息分配原理，有：

此次工作的性質(zhì)決定了，我們面對的是一種極端情況，即令β1為0，β2為1，對濾波器1有：因為β1為0，故經(jīng)推導(dǎo)可知，此時模型1輸出的狀態(tài)估計值對整體狀態(tài)的影響最小。在實際算法中，不可能出現(xiàn)β1為0，β2為1，否則將會出現(xiàn)發(fā)散，但可根據(jù)需要取β1或β2為盡可能最小的值。經(jīng)過大量的計算和平差，我們可以發(fā)現(xiàn)β1和β2都為0.5時，聯(lián)合卡爾曼濾波器輸出的值最佳。若β1＞0.5、β2＜0.5，則濾波器的整體輸出性能上以局部濾波器模型1為主，且β1越接近于1，而β2越接近于0，濾波器的整體輸出中模型1所占的比例會越大，即整個濾波器性能上越接近于模型1，這也是我們在實地計算中所希望的。

若能根據(jù)具體情況自動調(diào)整β1和β2的大小，這時聯(lián)合卡爾曼濾波器便成為一種自適應(yīng)聯(lián)合卡爾曼濾波器。利用 GPS接收機輸出的反映定位精度的參數(shù)為依據(jù)，自動調(diào)整β1和β2的大小。本文使用的是天寶4600LS接收機，其定位精度完全有p反應(yīng)（包括衛(wèi)星測量誤差），可根據(jù)p大小，來決定β1和β2的取值。β1和β2的自適應(yīng)算法為[3]：

3 結(jié)果分析、演算和比較

當(dāng)選用了適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型、狀態(tài)和濾波器后，我們來看看在實際工作中各個過程的分析、演算和比較。整個平差過程采用天寶公司的軟件TBC1.0進行計算。我們可以先來看看如果沒有選用卡爾曼濾波，衛(wèi)星殘差和衛(wèi)星星歷的穩(wěn)定情況（圖1）。

從圖1可以看到，2012年5月7日平差軟件自動采取了星歷最優(yōu)的10顆衛(wèi)星，其中可以看到G3、G19、G20、G32的衛(wèi)星星歷信號非常不穩(wěn)定，殘差較大，基本不能使用，信號較好的只有 G13、G16、G23、G30和G31，G6前一個時段的信號也并不穩(wěn)定。

圖1 未使用卡爾曼濾波衛(wèi)星星歷圖

圖2 未使用卡爾曼濾波衛(wèi)星信號殘差圖

圖3 使用卡爾曼濾波衛(wèi)星星歷圖

圖4 使用卡爾曼濾波衛(wèi)星信號殘差圖

圖2是衛(wèi)星信號殘差圖的顯示，從圖的顯示來看，標準偏差軟件默認為0.006M，但是這里最大和最小的誤差都達到了0.013M，從理論上來講，已經(jīng)超限，并且，從10點23分45秒到11點28分45秒，衛(wèi)星信號為零，信號從11點28分45秒之后出現(xiàn)，波動也較大，這樣的信號和殘差取得數(shù)據(jù)精度基本是不可靠的。

表1是矢量表，表2是標準誤差表，表4-3是后驗協(xié)方差矩陣，從上面三個表格看出，沒有使用卡爾曼濾波，得到的GPS平差的幾個重要數(shù)據(jù)，也符合規(guī)范要求，但平差情況不是最優(yōu)。

表1 未使用卡爾曼濾波矢量表

表2 未使用卡爾曼濾波標準誤差表

接下來，我們再看看，當(dāng)我們使用了卡爾曼濾波模型之后出現(xiàn)的信號源和殘差情況。

圖 3是采用了卡爾曼濾波后的衛(wèi)星信號殘差圖的顯示，從圖的顯示來看，標準偏差軟件默認為0.002M，但是這里最小誤差為-0.005M，最大誤差也僅為0.007M，從理論上來講，平差結(jié)果不僅符合規(guī)范，精度也達到最佳。GPS整個觀測從10點23分45秒到11點33分45秒衛(wèi)星信號非常穩(wěn)定，波動較小，誤差始終圍繞標準誤差均勻波動。表4-3、表4-4和表4-5分別是使用卡爾曼濾波模型后的矢量表，標準誤差和后驗協(xié)方差矩陣。從以上三個表格看出，使用卡爾曼濾波，得到的GPS平差的幾個重要數(shù)據(jù)，不僅符合規(guī)范要求，平差情況也達到最優(yōu)。

表3 未使用卡爾曼濾波后驗協(xié)方差矩陣表

表4 使用卡爾曼濾波矢量表

表5 使用卡爾曼濾波標準誤差表

金控制測量以金子山和馬齒梁為已知控制點，通過測量平差后得到的未知坐標結(jié)果見表7，幾個未知坐標的增量變化見表8。

表6 使用卡爾曼濾波后驗協(xié)方差矩陣表

4 結(jié)論

從以上圖和表格的數(shù)據(jù)比較和分析，我們不難可以得出以下結(jié)論：卡爾曼濾波數(shù)學(xué)模型可以大大提高GPS控制測量精度，可以大大減弱衛(wèi)星信號殘差、使星歷信號盡量保持在一個較小區(qū)間內(nèi)波動，從而優(yōu)化平差演算過程。

表7 平差測量所得未知坐標

表8 未知坐標增量變化表

[1] 彭丁聰. 卡爾曼濾波的基本原理及應(yīng)用. 軟件導(dǎo)刊，2009.

[2] 敬喜. 卡爾曼濾波器及其應(yīng)用基礎(chǔ)[M]. 北京：國防工業(yè)出版社，1973.

[3] 于德興，楊兆升，劉雪杰. 基于卡爾曼濾波的GPS/DR導(dǎo)航信息融合方法[Z]. 2006.