體育賽事中的概率問題

數(shù)學(xué)之所以有生命力，就在于有趣。數(shù)學(xué)之所以有趣，就在于它對(duì)思維有所啟迪。讓我們一起來研究下面這道與概率論起源息息相關(guān)的問題。

數(shù)學(xué)概率問題生活題目：在某種球的比賽中規(guī)定：每一次的結(jié)果不能出現(xiàn)平的情況，每勝一次記1分，輸一次記0分，先得滿20分者為贏，贏者可獲得16萬元獎(jiǎng)金?，F(xiàn)有甲、乙兩名水平相當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)員。當(dāng)比賽進(jìn)行到甲、乙兩人積分為17︰18時(shí)，比賽因某種原因停止。如果按甲、乙兩人獲勝的概率來分這筆獎(jiǎng)金，那么甲、乙各應(yīng)分得多少錢？

解法一：

當(dāng)比賽進(jìn)行到甲、乙積分為17︰18時(shí)，如果甲、乙繼續(xù)比賽，最多只要再賽4場(chǎng)便可決出勝負(fù)。用“甲”表示甲獲勝，用“乙”表示乙獲勝，那么最后4場(chǎng)的結(jié)果不外乎以下16種排列

乙甲甲甲乙乙乙乙乙乙甲甲

甲乙甲甲乙乙乙甲乙甲乙甲

甲甲乙甲乙乙甲乙乙甲甲乙

甲甲甲乙乙甲乙乙甲甲乙乙

甲甲甲甲甲乙乙乙甲乙甲乙

甲乙乙甲

（甲獲勝）（乙獲勝）

在這16種排列中，甲獲勝的情況有5種，乙獲勝的情況有11種。因此，獎(jiǎng)金應(yīng)該按5︰11分配即甲得5萬元、乙得11萬元。

解法二：

解法三：

甲、乙的積分為17︰18即甲、乙已經(jīng)比賽了35場(chǎng)，其中甲勝了17場(chǎng)，乙勝了18場(chǎng)。又甲、乙水平相當(dāng)即每場(chǎng)比賽中甲、乙獲勝的概率各是12。

欲按甲、乙兩人獲勝的概率來分配獎(jiǎng)金，則需計(jì)算如果繼續(xù)比賽甲乙獲勝的概率各是多大。

下面分析乙獲勝的幾種可能性：

事件A：前35場(chǎng)乙18勝17負(fù)，最后兩場(chǎng)乙全勝。共賽了37場(chǎng)。相當(dāng)于進(jìn)行了37次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

按甲、乙兩人獲勝的概率來分這筆獎(jiǎng)金甲應(yīng)分得5萬元，乙應(yīng)分得11萬元。

解法四：

甲、乙水平相當(dāng)，則每場(chǎng)比賽中甲、乙獲勝的概率各是12。如果甲、乙積分相同，則應(yīng)由兩人平分這筆獎(jiǎng)金；如果甲（或乙）先達(dá)到20分，則獎(jiǎng)金全部歸甲（或乙）所有。下面分析如果繼續(xù)比賽，甲、乙積分的幾種可能情況：

①如果甲、乙再賽1場(chǎng)，乙輸了，則兩人各勝18場(chǎng)，獎(jiǎng)金應(yīng)該對(duì)半分；②如果甲、乙再賽2場(chǎng)，乙全勝，則獎(jiǎng)金全部歸乙；③如果甲、乙再賽3場(chǎng)，乙1勝2負(fù)，則兩人各勝19場(chǎng)，獎(jiǎng)金應(yīng)該對(duì)半分；④如果甲、乙再賽3場(chǎng)，前兩場(chǎng)乙1勝1負(fù)，第三場(chǎng)乙勝了，則獎(jiǎng)金全部歸乙。所以乙應(yīng)該拿的錢是 （萬元），當(dāng)然，甲就應(yīng)該拿5萬元。

在上述解法中應(yīng)用了概率論中一個(gè)重要概念——數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望是一個(gè)加權(quán)平均數(shù)。對(duì)將來不確定的錢今天應(yīng)該怎么算，就要用乙贏、輸?shù)母怕?2乘以他可能得到的錢，再把它們加起來。

解答本題可以用到獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、互斥事件、對(duì)立事件、數(shù)學(xué)期望、楊輝三角形等眾多數(shù)學(xué)知識(shí)且與實(shí)際生活息息相關(guān)。概率問題的最大特點(diǎn)是極具現(xiàn)實(shí)意義，幾乎每一道概率題講述的就是發(fā)生在我們周邊的一段原汁原味的小故事，是一道實(shí)實(shí)在在的應(yīng)用題，所以近幾年很多省的高考試卷中就用概率題代替了傳統(tǒng)的應(yīng)用題。正如著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說：“生活中最重要的問題，絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率問題。”在數(shù)學(xué)中，排列、組合、概率與統(tǒng)計(jì)無論從內(nèi)容上還是思想方法上，都體現(xiàn)了實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)。在展現(xiàn)分類討論思想、化歸思想的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。此類問題不論是思考方法還是解題方法，都具備概念性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)、靈活性強(qiáng)、思維方法新穎的特點(diǎn)。高考中概率與統(tǒng)計(jì)的問題一般出在解答題中。從教材改革和今后發(fā)展趨勢(shì)來看，高考勢(shì)必會(huì)對(duì)其加大考試力度且會(huì)?？汲Ｐ?。