一元多項(xiàng)式重因式的存在性及求法

【摘要】本文討論了一元多項(xiàng)式重因式的存在性、求法及其重?cái)?shù)的判定，歸納給出解決這三個(gè)問(wèn)題的系統(tǒng)方法，并結(jié)合具體例子驗(yàn)證了這些方法的有效性.

【關(guān)鍵詞】一元多項(xiàng)式；重因式；重因式的重?cái)?shù)；不可約多項(xiàng)式；互素

【中圖分類號(hào)】O151.21

【基金項(xiàng)目】國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（青年科學(xué)基金項(xiàng)目），項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)：11371025.

一元多項(xiàng)式重因式是多項(xiàng)式理論中一個(gè)重要的內(nèi)容，它既是一元多項(xiàng)式整除理論和因式分解理論的應(yīng)用，又是討論多項(xiàng)式函數(shù)求根問(wèn)題的基礎(chǔ)，牽涉整除、最大公因式、互素、不可約多項(xiàng)式等諸多內(nèi)容. 對(duì)于數(shù)域P上的一個(gè)多項(xiàng)式f（x），怎么判斷它有沒(méi)有重因式？在其重因式存在的情況下，怎么求出其重因式和重?cái)?shù)？

本文作者在多年從事高等代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)這些有關(guān)重因式的問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生們需要對(duì)這些問(wèn)題全面深入的分析和解讀.然而，比如[1][2][3]這些廣泛使用的經(jīng)典教材，在處理重因式這一內(nèi)容時(shí)，都只做了簡(jiǎn)略的介紹，沒(méi)有深入細(xì)致的刻畫. 其他大多數(shù)高等代數(shù)教材（例如[4][5][6]等），也都沒(méi)有全面討論重因式的這些問(wèn)題. 基于此，本文將深入系統(tǒng)討論一元多項(xiàng)式重因式的存在性及其求法等問(wèn)題，給出解決這些問(wèn)題的完整方法，以促進(jìn)和加深學(xué)生們及數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)這些問(wèn)題的理解.

本文首先給出幾個(gè)基本結(jié)論，特別之處在于對(duì)它們做了細(xì)致的證明，這為后文所要建立的方法提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ). 接著，給出了重因式存在性的判別方法、重因式的求法以及重因數(shù)重?cái)?shù)的判定方法，這一部分要特別注意給出這些方法的次序，這是一個(gè)系統(tǒng)的方法. 在介紹這些方法的同時(shí)，文中也結(jié)合具體的例子，驗(yàn)證了這些方法的有效性.

一、準(zhǔn)備知識(shí)

1.記 號(hào)

本文中P代表一個(gè)數(shù)域，P[x]表示數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)，f′（x）表示P[x]中多項(xiàng)式f（x）的微商.（f（x），f′（x）為f（x）與f′（x） 的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式.

2.重因式的定義

若p（x）為數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式，對(duì)于多項(xiàng)式f（x）∈P[x]，如果pk（x）|f（x），而pk+1（x），其中k為非負(fù)整數(shù)，則稱p（x）為f（x）的k重因式. 當(dāng)k=0時(shí)，p（x）不是f（x）的因式.當(dāng)k=1時(shí)，稱p（x）為f（x）的單因式. 當(dāng)k>1時(shí)，稱p（x）為f（x）的重因式.（參見(jiàn)[1]）

注意此處“重因式”和“k重因式”的聯(lián)系和區(qū)別. “重因式”是k>1的“k重因式”.

二、理論基礎(chǔ)

命題1 已知f（x）∈P[x]，若數(shù)域p上的不可約多項(xiàng)式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），則它是f′（x）的k-1重因式.

【參考文獻(xiàn)】

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組（王萼芳，石生明修訂）. 高等代數(shù)[M].3. 北京：高等教育出版社，2003：22-24.

[2]張禾瑞，郝钅丙新. 高等代數(shù)[M].4.北京：高等教育出版社，1999：56-58.

[3]張賢科，許甫華.高等代數(shù)學(xué)[M].2.北京：清華大學(xué)出版社，2006：20-21.

[4]陽(yáng)慶節(jié)等.高等代數(shù)簡(jiǎn)明教程[M].2.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2010.

[5]姚慕生.高等代數(shù)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.

[6]施武杰，戴桂生.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2005.