關(guān)于Hamilton群的若干條件

【摘要】給出了Hamilton群的若干必要條件、等價條件、充分條件.

【關(guān)鍵詞】子群；正規(guī)子群；Hamilton群

1.預(yù)備知識

本文用e表示群的單位元，σa表示群的元素a決定的群的內(nèi)自同構(gòu)，用Z表示整數(shù)集合，表示空集，表示集合A的元素個數(shù)，叫作集合A的階.

設(shè)H是群G的子群，a∈G.集合aH={ah|h∈H}與Ha={ha|h∈H}分別稱為H的含有a的左陪集與右陪集.若a∈G，有aH=Ha，則稱H是G的正規(guī)子群.

H的左陪集個數(shù)與右陪集個數(shù)相同.這個個數(shù)稱為H的指數(shù)，記作[G：H].H的左（右）陪集全體構(gòu)成G的一個分類.

設(shè)σ是G的自同構(gòu).若σ（H）={σ（h）|h∈H}H，則稱H在σ下不變；若H在G的所有自同構(gòu)下不變，則稱H是G的特征子群.H是群G的正規(guī)子

若G是一個非交換群，且G的每一個子群都是正規(guī)子群，則稱G是Hamilton群.

2.Hamilton群的必要條件

定理2.1 若G是Hamilton群，則

（1）G的子群也是Hamilton群；（2）G的同態(tài)象也是Hamilton群；

（3）G的商群也是Hamilton群；

（4）a，x∈G，存在整數(shù)k，使得a=（xax-1）k，即a是其任意共軛元的冪.

證明 （1）設(shè)H是G的子群，則H的任意子群W也是G的子群，由條件知W是G的正規(guī)子群，于是a∈HG，有aW=Wa，即W是H的正規(guī)子群，故H是Hamilton群.

（4）由條件，由a生成的子群H=（a）={ak|k∈Z}是G的正規(guī)子群，于是有xH=Hx，所以存在整數(shù)k，使得xak=ax，故a=xakx-1=（xax-1）k.

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