數學中的審美直覺

法國數學家龐加萊認為“邏輯起始于直覺”，而直覺往往是受思維主體的審美情感所支配的.在解題訓練中，如能運用美學觀點考察對象和思考問題，就會形成數學思維的美學方法和解題策略.美學觀點一旦與數學問題的條件和特征相結合，思維主體就能憑借已有的知識和經驗產生審美直覺，而數學審美直覺孕育著解題思路，有啟迪解題靈感的作用.

數學美的表現(xiàn)形式是簡單的、和諧的、對稱的.對學生來說，數學的審美直覺對他們的思維活動影響是潛在的、不被覺察的，但這種審美情感卻是驅動學生直覺思維的一股強大的力量.

一、簡單審美直覺的指向性

簡單性審美直覺是優(yōu)化解題策略的內驅力因素之一，簡潔美不僅揭示了數學理論的高度抽象性，同時包含著數學解題思維方法的敏捷性.對于一道題目，如何盡快地從各個方面選擇新的信息，并有效地聯(lián)系已知信息，進行組合、編碼，獲得最佳解題方案，簡單性審美直覺有著明確的指向性.

片段一：已知a是實數，函數f（x）=6x2-（6+a）x+3a-a2，若函數y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上至少有一個零點，求實數a的取值范圍.

對于此題，在實際操作中思維主體一般直接聯(lián)系“函數的零點存在定理”解決該題，在推導過程中我們會發(fā)現(xiàn)越推導越復雜，此時我們就會自然而然地考慮到思路是否正確或可能不當，此時審美直覺就告訴我們應該另辟蹊徑

數學的簡潔美不僅表現(xiàn)在它的公式、定理、符號的表述之中，更重要的是體現(xiàn)在數學理論基礎的邏輯簡單性上.在解題過程中需將不同的認知結構與具體題目內容結合起來，共同組成精確化、具體化的情境，同時，在推理過程中往往需要提取新的認知結構，改變新的解題情境，再提取認知結構的循環(huán)往復，最終達到深入淺出的效果.

二、和諧審美直覺的統(tǒng)一性

和諧性美感是促使解題成功的重要因素之一.“美的意識力越強，發(fā)現(xiàn)和辨認隱蔽的和諧關系的直覺也就越強.”一個嚴謹的數學題是一個有機的整體，其各部分之間具有和諧性.但是，這些和諧關系和外部表現(xiàn)形式可以是多種多樣的，有的甚至是繁雜的.我們擬訂解題計劃時要善于運用審美直覺洞察其內在的、隱蔽的相依關系，從“繁雜”中區(qū)分簡潔明了的、實質性的東西，從而發(fā)現(xiàn)解題途徑.

片段二：對于函數y=f（x），若存在區(qū)間[a，b]，當x∈[a，b]時f（x）的值域為[ka，kb]（k>0），則稱y=f（x）為k倍值函數.若f（x）=lnx+x是k倍值函數，求實數k的取值范圍.

本題中思維主體面對的條件有兩個：“值域”，“k倍值函數”.根據具體的數學情境本題可以將條件具化為整體印象：“方程lnx+x=kx在[0，+∞）有兩個相異的實根.”在擬訂解題計劃時我們需要完成兩個部分的感知：如何將根的個數與k的范圍聯(lián)系起來？如何判斷此方程的根的個數？對于第一部分，思維主體面對的是“聯(lián)系方程的根的個數與k的范圍”，此時思維主體能選擇的有“函數零點存在定理”與“分離參數，化歸為圖像交點個數”，即畫出函數y=與函數y=k的圖像，尋找其交點個數.對于第二部分，思維主體面對的是“判斷方程根的個數方法”這個認知結構.此時，結合第一部分的感知及通過“回視”題目條件lnx，思維主體通過甄選，自然會聯(lián)系起“導數的應用”這個認知結構.

在現(xiàn)實解題中，甚至會出現(xiàn)有些數學題的條件與條件、條件與結論之間的和諧關系不夠明顯，需要我們憑美的意識去發(fā)掘.直覺的感知是在對問題獲得認知的整體后完成的.感知中整體大于部分之和，為了獲得感知的整體性，就需要通過不停的“回視”，聯(lián)系各個關鍵情境，從而尋找出最恰當的認知結構來聯(lián)系題目，同時通過反復的“回視”尋找前后關系來甄別直覺的感知，從而使得后續(xù)的思維可以得以繼續(xù)并趨于完整.

三、對稱性審美直覺的創(chuàng)造性

對稱美是創(chuàng)造解題策略的重要手段之一，數學對稱包括狹義對稱、常義對稱與泛對稱等，內容十分豐富.狹義對稱可分為代數對稱（共軛根式、共軛復數、對稱多項式、輪換對稱多項式等）與幾何對稱（軸對稱、中心對稱等）；同時，對稱又上升為一種解題的數學思想方法，即在解題時，充分利用問題自身的某些對稱性，“對稱性地處理具有對稱性的問題”，或積極構造問題的某些對稱性，簡練靈活地解決問題.創(chuàng)造對稱性，體驗數學美.

四、結 語

通過對近幾年的中學生在數學解題中遇到的問題的分析，應重視對相關知識所涉及的基本概念、基本性質、基本定理、基本方法的復習和基本能力的提高，尤其是觀察能力、分析能力和運算能力的培養(yǎng)和訓練.教師在組織課堂教學過程中要應用美的手段去揭示數學美，創(chuàng)造美的意境，讓學生參與美的創(chuàng)造，進行數學加情感加美感的教育.由于認知過程的感知，表象屬于形象思維的低級形式，只能給學生以快感，而理性階段的概念、判斷、推理，才屬于邏輯思維過程，是認知各種數學內容，體驗各種數學美的認知過程.為引發(fā)學生學習需要，誘發(fā)學習動機，要利用數學美創(chuàng)設問題情景，啟動學生邏輯思維，使之逐漸在解題中體驗到美感.