與正方形有關(guān)的幾何習(xí)題的規(guī)律解析

用解析幾何的方法證明與正方形有關(guān)的幾何習(xí)題，可由正方形的特性給出求解規(guī)律.這方法是：首先在與正方形有關(guān)的習(xí)題圖上建立起合適的平面直角坐標(biāo)系.何謂合適的平面直角坐標(biāo)系？其內(nèi)涵就是圖形與軸越相融合越好，坐標(biāo)點(diǎn)的設(shè)定越簡(jiǎn)單越好，譬如使得頂點(diǎn)落在軸上，使得邊與軸重合，如此為之，則建成的坐標(biāo)系謂之合適.然后有選擇性地過(guò)正方形的頂點(diǎn)作平行x軸或y軸的輔助線，此時(shí)正方形的邊與輔助線們便會(huì)形成若干組直角三角形，通過(guò)對(duì)三角形全等的證明，這使得欲求點(diǎn)（即由需要論證的結(jié)果逆向推理而選定的未知點(diǎn)）的坐標(biāo)成為了已知，而圍繞點(diǎn)的各種運(yùn)算都是我們所熟悉的.于是這類(lèi)習(xí)題的求解過(guò)程，經(jīng)此一番轉(zhuǎn)換變得非常規(guī)范和有趣.為了證明該說(shuō)法的可行性，特舉例如下.

例1 如圖（一），已知

O1，O2，O3，O4是正方形ABEF，BCGH，CDPQ，DARS的中心，

求證：O1O3⊥O2O4.

證明 在圖（一）上（按上

述建標(biāo)之要求）建立平面直角

坐標(biāo)系，然后過(guò)E，H 作x軸

的平行線分別交y軸于E1，H1，過(guò) Q，D，R，作y軸的平行線分別交

x軸于Q1，D1，R1，設(shè)點(diǎn)：A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，e），于是我們由AB=BE，∠ABO=∠BEE1推出Rt△ABO≌Rt△BEE1（注：本文推出全等的過(guò)程都略而不寫(xiě)的理由附記于后），再由全等（注：點(diǎn)坐標(biāo)與線段的聯(lián)系其正負(fù)符號(hào)的選用存在訣竅，隨后亦有自行體驗(yàn)的說(shuō)明）推出：

AO=BE1=-a，BO=EE1=-b

綜合（13）、（14）給出的信息（此即確定欲求點(diǎn)的條件），我們立刻可求得下列各欲求點(diǎn)的坐標(biāo)：D（a-6b，-a），F(xiàn)（a+6b，a-4b），設(shè)DF的中點(diǎn)為R1（x，y），由中點(diǎn)公式于是可求得：R1（a，-2b），因已求得R（a，-2b）的情形存在，故知R和R1重合，此即D， R，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且同時(shí)由此而知R必平分DF.證明完畢.

特別說(shuō)明：該證明過(guò)程所建立的直角坐標(biāo)系分別與正方形的邊垂直和平行，這也是最合適的建標(biāo)方式中的一種，在這一操作之下，同一正方形共有三個(gè)頂點(diǎn)落在了坐標(biāo)軸上，這樣的頂點(diǎn)坐標(biāo)使整個(gè)圖形最為簡(jiǎn)潔，以這些頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的輔助三角形們又通過(guò)套路證全等的途徑將設(shè)定點(diǎn)（本題中我們要注意OA=4b的設(shè)定有一定特色，這也是簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程的一種設(shè)定，且很多情況下都可以這樣操作）的信息傳遞給了欲求點(diǎn)，從而為下一步操作做出貢獻(xiàn).

以上兩例與正方形有關(guān)的平面直角坐標(biāo)系的建立，瞄準(zhǔn)的都是一個(gè)“簡(jiǎn)”字，在這個(gè)“簡(jiǎn)”字下，繁難變得清晰，迷途中沒(méi)有驚慌，特別是在我們自行體驗(yàn)求角相等的套路之后，對(duì)輔助三角形全等的確定有了充分的把握，進(jìn)而有效地推進(jìn)了向欲求點(diǎn)信息的傳遞，不用說(shuō)這為中點(diǎn)公式的利用、斜率公式的利用、距離公式的利用……立下了汗馬功勞.總之，這么一個(gè)“簡(jiǎn)”字，一次次為我們的后續(xù)論證提供了實(shí)實(shí)在在的方便，也一次次為我們展示了可圈可點(diǎn)潛能.

我們認(rèn)為熟練地掌握幾種習(xí)題的演證過(guò)程，會(huì)使人們的思緒進(jìn)入一種自信狀態(tài)，而自信是破的基礎(chǔ)，本文采用的這種與正方形有關(guān)的規(guī)律解析習(xí)題的方法簡(jiǎn)單易記、切實(shí)可行，是建立起這種自信心理的加速劑.就例1的情形來(lái)說(shuō)吧，如果用平面幾何的方法來(lái)求解，則必須用既靈且巧的一些特殊方法來(lái)助陣，否則將勞而無(wú)功，由于該題的非解析求解存在相當(dāng)大的難度，誤時(shí)誤事的情形時(shí)常有之.為從根本上解除這種困擾，我們建議有意諸君不妨將例1的兩種求解方式一一探試，體驗(yàn)其不同求解思路的風(fēng)韻.兩相比較之下，我們當(dāng)然地更喜歡本規(guī)律解析的直觀和明朗.希此心得的交流能獲共鳴，并希就此能形成一種求解共識(shí)，從根本上解決這類(lèi)與正方形有關(guān)的幾何習(xí)題的求解.由此進(jìn)一步議而論之：對(duì)于比較繁難或凡難于上手的一類(lèi)幾何習(xí)題的求解（譬如與三角形、與圓、與其組合形式有關(guān)的幾何習(xí)題），在使用平面幾何的方法暫時(shí)不得要領(lǐng)的情況下，大多可參考這一求解規(guī)律的思路而直明真諦.