論導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中的一個重要分支，它的應(yīng)用很廣泛，尤其利用它可以解決初等數(shù)學(xué)中的一些難點問題.本文以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為切入點，闡述了如何利用導(dǎo)數(shù)解決初等數(shù)學(xué)中求曲線的切線、不等式的證明、求函數(shù)的極值以及判斷某些方程的根的個數(shù)的問題.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用；初等數(shù)學(xué)

導(dǎo)數(shù)是從許多實際問題抽象出來的數(shù)學(xué)概念，它可以研究函數(shù)的變化速率問題，即變化率問題，它的應(yīng)用很廣泛，尤其在初等數(shù)學(xué)中也有很大的用途，以下從四個方面談?wù)剬?dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是增量之比的極限，即lim例1 在曲線 y=x3+x-2上求一點，使曲線在該點的切線與直線4x-y-3=0平行.

解 由于y′=3x2+1，又直線4x-y-3=0的斜率為4，因為切線與直線平行，

所以有3x2+1=4，得x=±1，代入曲線得y=0，y=4.故所求點為（1，0），（-1，-4）.

二、不等式的證明

這里主要利用函數(shù)的單調(diào)性及拉格朗日中值定理兩種方法.用單調(diào)性的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù).拉格朗日定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間（a，b）上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得

三 、求函數(shù)的極值

設(shè)函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)，如果點x0是f（x）的極值點，則在點x0處的導(dǎo)數(shù)為零，即f′（x0）=0，使f′（x0）=0的點x0叫駐點.f（x）=0只是極值存在的必要條件.但在實際問題中，往往駐點就是極值點，也即取得最大（?。┲档狞c.