x2+y2=z2本原解的素數(shù)定理

【摘要】尋找不定方程x2+y2=z2本原解個數(shù)的計算公式，對解不定方程x2+y2=z2是十分有意義的.在解決這一問題的過程中，又進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了不定方程x2+y2=z2本原解個數(shù)的奇偶性與4k+3形式的素數(shù)有著十分密切的聯(lián)系，得到4k+3形式的素數(shù)定理.

【關(guān)鍵詞】初等數(shù)論；不定方程；本原解；素數(shù)

二次不定方程：x2+y2=z2 （1-1）

y為偶數(shù)的全體本原解由以下公式給出：

x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2 （1-2）

其中a，b滿足條件：a>b>0，（a，b）=1，2不整除（a+b） （1-3）

（1-1）式本原解的個數(shù)隨a值的變化而變化，它有以下幾個重要結(jié)論.

引理 設(shè)φ（n）為正整數(shù)集上的歐拉函數(shù)，那么

（1）當(dāng)n為偶數(shù)時，1，2，3，…，n-1中與n互素的奇數(shù)的個數(shù)等于φ（n）；

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，1，2，3，…，n-1中與n互素的偶數(shù)的個數(shù)等于

問題探究：

1.費馬（1640年）給出了4k+1形式的素數(shù)都可以表示為兩個整數(shù)的平方和（二平方定理），1747年被歐拉證明；而4k+3形式的素數(shù)也一樣存在完美的素數(shù)定理，即本原解的素數(shù)定理.這兩個定理之間有什么本質(zhì)的聯(lián)系？

2.不定方程mx2+ny2=kz2，其中m，n，k是整數(shù)，求它的本原解表示和本原解個數(shù)計算公式.m，n，k是否可以擴(kuò)展到有理數(shù)？

【參考文獻(xiàn)】

潘承洞.初等數(shù)論.北京大學(xué)出版社，2003.