高中數(shù)學(xué)中的一題多解問(wèn)題

【摘要】本文著意探討高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一題多解的問(wèn)題.通過(guò)一題多解，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)不同章節(jié)、不同內(nèi)容的復(fù)習(xí)運(yùn)用，使不同內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)之間發(fā)生聯(lián)系，對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化，由點(diǎn)成面，形成一個(gè)完整而系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.通過(guò)一題多解，也能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的活學(xué)活用，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，提高學(xué)生的解題水平和技巧，最終實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合素質(zhì)的目的.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；一題多解

高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容有“兩多”：知識(shí)點(diǎn)多，題型多.因此老師就常使用“舉一反三”的方法進(jìn)行教學(xué)，其目的在于以點(diǎn)帶面，觸類旁通.對(duì)學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生而言，能拓寬知識(shí)面，提高知識(shí)的應(yīng)用能力.然而，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較困難的學(xué)生，舉一反三很難達(dá)到此目的，反而會(huì)造成他們理解上的諸多混亂，使他們望而卻步，一定程度上影響其學(xué)習(xí)效果.因此，在教學(xué)中，特別是在高三復(fù)習(xí)中，可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用題組訓(xùn)練構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)一題多解，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，自然需要解題，波利亞的觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)技能就是解題能力——不僅能解決一般的問(wèn)題，而且能解決需要某種程度的獨(dú)立思考、判斷力、獨(dú)創(chuàng)性想象力的問(wèn)題.所以中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練.”解題是實(shí)踐性的技能，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)審題，養(yǎng)成驗(yàn)算的良好習(xí)慣，懂得反思總結(jié).

讀審題是一種綜合能力，它包括認(rèn)真細(xì)致的態(tài)度等多種非智力因素，也包括閱讀、理解、分析等多種智力因素.

一個(gè)題目包含的信息有時(shí)是比較隱蔽的，甚至隱藏得很深，這就需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、發(fā)掘、辨別、分析，這是一種能力，也是解題的關(guān)鍵點(diǎn).讀題是解題的基礎(chǔ)，是正確、迅速解題的前提.為此在解題時(shí)要注意審視題目的條件、結(jié)論、結(jié)構(gòu)，充分挖掘題目顯性和隱性的信息，引導(dǎo)學(xué)生分析題目中各個(gè)量的特點(diǎn)、聯(lián)系，調(diào)動(dòng)既有知識(shí)體系中關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)解題.

驗(yàn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題不可缺少的環(huán)節(jié)，是初步完成解題后不可或缺的一步，它可以進(jìn)一步檢查、更正、補(bǔ)充學(xué)生在初次解題中存在的錯(cuò)誤和缺失，是保證題目正確解決的必要步驟和手段.掌握驗(yàn)算的方法，養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要條件之一.

學(xué)會(huì)反思是指解題后對(duì)審題過(guò)程和解題方法及解題所用知識(shí)的回顧與思考.學(xué)會(huì)反思，對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)等各方面的培養(yǎng)都有積極的意義.

數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系縱橫交錯(cuò)，解題思路靈活，解題方法多樣，但終卻能殊途同歸.即使一次性解題合理正確，也未必就是最佳思路，未必就是最優(yōu)最簡(jiǎn)潔的解法.

例 在△ABC中，b=2，B=45°，求邊a的取值范圍.

分析 題目已知一角和對(duì)邊，求另一邊的范圍，故考慮用正弦定理求解.

解法一 由正弦定理得

解完題應(yīng)該進(jìn)一步反思，探求一題多解、多題一解的問(wèn)題，開(kāi)拓思路，溝通知識(shí)，掌握規(guī)律，權(quán)衡解法優(yōu)劣，在更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié)，使自己的解題能力更勝一籌.如上例題，再次分析一下題意，考慮試用余弦定理求解，見(jiàn)下.

解法二 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，∵b=2，B=45°，∴22=a2+c2-2accos45°.

【軌跡定理】和已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)的連線的夾角等于已知角的點(diǎn)的軌跡，是以已知線段為弦，所含圓周角等于已知角的兩段?。ǘ它c(diǎn)除外）.

一題多解，每一種解法會(huì)用到不同章節(jié)的知識(shí)，這樣可以復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，掌握不同解題技巧，同時(shí)每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中哪一種最簡(jiǎn)潔.把每一種解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，既可實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運(yùn)用，又可總結(jié)出一般方法和思路.善于總結(jié)，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q碰到的這類問(wèn)題，這對(duì)提高解題能力尤其重要.

解題之后，要反復(fù)探究問(wèn)題的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性.對(duì)問(wèn)題蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行縱向深入地探究，加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系，把問(wèn)題所蘊(yùn)含孤立的知識(shí)“點(diǎn)”，擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”.通過(guò)不斷地聯(lián)系、拓展，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解，進(jìn)而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的系統(tǒng)性.要讓學(xué)生明白，問(wèn)題之間不是孤立的，許多看似無(wú)關(guān)的問(wèn)題卻有著內(nèi)在的聯(lián)系，解題不能就題論題，要尋找問(wèn)題與問(wèn)題之間本質(zhì)的聯(lián)系，要質(zhì)疑為什么有這樣的問(wèn)題，它和哪些問(wèn)題有聯(lián)系，能否受這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā).將一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效的整合，創(chuàng)造性地設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生在不斷的知識(shí)聯(lián)系和知識(shí)整合中，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，體驗(yàn)“創(chuàng)造”帶來(lái)的樂(lè)趣，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維是非常有利的.點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，能喚起學(xué)生的成就感，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索問(wèn)題的興趣.長(zhǎng)期的積累，更有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的個(gè)性特征的形成，并增加知識(shí)的存儲(chǔ)量.

總之，解題后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行反復(fù)思考并做出新的判斷，讓學(xué)生體會(huì)解題帶來(lái)的樂(lè)趣，享受探究帶來(lái)的成就感.逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件.