導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】導(dǎo)數(shù)把初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)緊密的結(jié)合，在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中充當(dāng)著紐帶、橋梁的作用.在教學(xué)解題過(guò)程中可以充分利用導(dǎo)數(shù)的思想來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題、切線問(wèn)題、不等式問(wèn)題以及實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用；高中數(shù)學(xué)

一、導(dǎo)數(shù)的概述

“新課標(biāo)”在教程的目標(biāo)、觀念上的一個(gè)發(fā)展就是在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更加強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解.在“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)中，通過(guò)導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì).高中數(shù)學(xué)由必修和選修組成，在所學(xué)課程中多處涉及導(dǎo)數(shù)方面的問(wèn)題，足以看到導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有很高的地位.

在高中學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等來(lái)理解函數(shù)的性質(zhì).而這些性質(zhì)都可以通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖像表示出來(lái).基本初等函數(shù)可用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖像，而一些比較難的非基本初等函數(shù)無(wú)法用描點(diǎn)法繪制函數(shù)圖像.在這種情況下，我們可以用所掌握的導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)求一階導(dǎo)數(shù)，并利用其判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)，利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)，然后利用極限的思想來(lái)找出水平漸近線和垂直漸近線，最后再利用描點(diǎn)法來(lái)畫(huà)出較為準(zhǔn)確的函數(shù)圖像.這不僅僅能使學(xué)生更好地掌握所學(xué)的基本知識(shí)，同時(shí)擴(kuò)展了數(shù)學(xué)思維.

讓學(xué)生們體會(huì)研究導(dǎo)數(shù)所用到的思想方法：先研究函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)一步過(guò)渡到一個(gè)區(qū)間上；在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)來(lái)研究曲線在某一點(diǎn)處的性質(zhì).這種從局部到整體，再由整體回到局部的思想方法是非常值得學(xué)生學(xué)習(xí)的.

二、導(dǎo)數(shù)在解題過(guò)程中的應(yīng)用

1.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一，是我們研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí).它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的用處是非常廣泛的.其思維方法有：（1）利用增（減）函數(shù)的定義判斷單調(diào)性.（2）導(dǎo)數(shù)法.利用在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f（x）在（a，b）上遞增（或遞減）的充要條件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0），x∈（a，b）恒成立（但f′（x）在（a，b）的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0）.方法（1）中的化簡(jiǎn)較為煩瑣，比較適合解決抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，而利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性既快捷又容易掌握，特別是對(duì)于具體函數(shù)更加適用.

2.利用導(dǎo)數(shù)求極值和最值

最值和極值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).它涉及了高中數(shù)學(xué)知識(shí)的很多方面，要解決這類問(wèn)題往往需要各種能力，同時(shí)需要選擇合理的解題途徑和策略.用導(dǎo)數(shù)解決這類問(wèn)題可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)單化，步驟清晰，學(xué)生也更容易掌握.應(yīng)注意函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，極值是一個(gè)局部性概念，而最值是某個(gè)區(qū)間的整體性概念.

一般地，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，則f（x）在[a，b]上的最值求法：

（1）求函數(shù)f（x）在（a，b）上的極值點(diǎn)；

（2）計(jì)算f（x）在端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值；

（3）比較f（x）在端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值，最大的就是最大值，最小的就是最小值.

3.切線問(wèn)題

在某一點(diǎn)的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），但應(yīng)注意點(diǎn)P（x0，f（x0））在曲線y=f（x）上，否則易錯(cuò).利用導(dǎo)數(shù)求切線問(wèn)題一般可以分為兩類：過(guò)一點(diǎn)的切線方程和兩曲線切線方程.第一種題型分為點(diǎn)在曲線上和點(diǎn)在曲線外兩種情況，f′（x0）的幾何意義就是曲線在點(diǎn)P（x0，f（x0））處切線的斜率；而第二類用常規(guī)方法求解，運(yùn)算量大，過(guò)程特別煩瑣，而利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)就為解決這類問(wèn)題提供了簡(jiǎn)潔的方法，即先分別求出兩曲線的切線，利用它們是同一直線來(lái)建立關(guān)系求解.

4.證明不等式

縱觀這幾年高考，凡涉及不等式證明的問(wèn)題，其思維量大、綜合性強(qiáng)，因此歷來(lái)是高考的難點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)去證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或者間接等價(jià)轉(zhuǎn)化后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù).通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題.

5.討論方程解的個(gè)數(shù)

在討論方程的根的存在性及個(gè)數(shù)問(wèn)題上，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)很好的工具，在這一類的問(wèn)題上關(guān)鍵是將方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)或者函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合根的存在性定理及函數(shù)圖像來(lái)解決問(wèn)題.

三、利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)不僅可以解決函數(shù)、切線、不等式問(wèn)題，還可以解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.近年來(lái)，高考越來(lái)越關(guān)注對(duì)實(shí)際問(wèn)題的考查.

生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、效率最高、費(fèi)用最省等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為最優(yōu)化問(wèn)題，我們可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法來(lái)解決這類問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)描述了一個(gè)函數(shù)的因變量相對(duì)于自變量變化的快慢程度，即因變量關(guān)于自變量的變化率.

利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟：

（1）分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f（x），要注意x的范圍.

（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的極值和函數(shù)的最值，給出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答.

（3）把數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的答案.

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是微積分學(xué)的重要組成部分，是解決許多問(wèn)題的有力工具，它全面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值.既給學(xué)生提供了一種新的方法，又開(kāi)闊了學(xué)生的視野，讓學(xué)生接觸到極限等新的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)學(xué)新的發(fā)展將會(huì)有進(jìn)一步的了解.總而言之，導(dǎo)數(shù)的開(kāi)設(shè)促進(jìn)了學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，而且發(fā)展了學(xué)生的辯證思維能力，也為將來(lái)進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ).因此，在高中階段為學(xué)生開(kāi)設(shè)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用具有深刻的意義.