數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的三個著力點

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的三個著力點：深入研究教材，挖掘教材背后蘊含的數(shù)學(xué)思想方法；細化教學(xué)過程，有意識地落實數(shù)學(xué)思想方法；突出數(shù)學(xué)思想方法在解題教學(xué)中的指導(dǎo)與統(tǒng)攝.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)教學(xué)；著力點

數(shù)學(xué)思想方法是指支配學(xué)習(xí)者如何學(xué)習(xí)、如何思考、如何解決問題的一套程序.這套程序支配的不是外在的數(shù)學(xué)符號，而是學(xué)生自己的思維過程，因而從心理學(xué)角度看，它屬于策略性知識范疇，即數(shù)學(xué)認知策略.數(shù)學(xué)思想方法蘊含于數(shù)學(xué)知識與技能之中，需要結(jié)合數(shù)學(xué)知識與技能的學(xué)習(xí)來進行教學(xué). 然而中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的編排一般是沿知識的縱方向展開的.大量的數(shù)學(xué)思想方法只是蘊涵在數(shù)學(xué)知識的體系之中，并沒有明確的揭示和總結(jié).這就產(chǎn)生了如何在數(shù)學(xué)課中怎樣進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的問題？下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐就數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的三個著力點作一探討.

一、深入研究教材，挖掘教材背后蘊含的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是前人探索數(shù)學(xué)真理過程的積累，但數(shù)學(xué)教材并不是這種探索過程的真實記錄，恰恰相反，教材對完美演繹形式的追求往往掩蓋了內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法，因此我們必須深入分析教材，挖掘教材背后蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，使教材發(fā)揮更大的學(xué)習(xí)功能.

例如，絕對值是初一數(shù)學(xué)中的一個重要概念，在初二數(shù)學(xué)“二次根式的性質(zhì)”中得到加深，到高三“復(fù)數(shù)的模的定義”才算劃上一個句號.可見絕對值概念幾乎貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.在初中進行絕對值概念教學(xué)設(shè)計時，教師要理解絕對值概念背后蘊含的核心的數(shù)學(xué)思想，即分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想.具體地說，從研究表示一個有理數(shù)的點在數(shù)軸上的三種可能位置入手，相應(yīng)地將絕對值的意義分三部分敘述：即正數(shù)的絕對值是其本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零.使學(xué)生初步認識數(shù)學(xué)中研究某個有理數(shù)的問題，常把它分為正數(shù)、負數(shù)和零這三種類型，定義的過程體現(xiàn)了無限集（這里指有理數(shù)集）的一種分類方法.以滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想.同時，從數(shù)軸上表示一個正數(shù)的點在原點右方，表示一個負數(shù)的點在原點左方，使學(xué)生嘗試到“數(shù)”和“形”是相互表示的，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.在初二教學(xué)算術(shù)平方根的概念的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析

這樣，對初中階段絕對值概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法就有了一個完整的認識.于是教師對絕對值概念的教學(xué)可以重點地進行如下兩方面的設(shè)計：引入絕對值概念時，有意識地滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法； 運用絕對值概念解題時，運用分類討論、數(shù)形結(jié)合等常用的數(shù)學(xué)思想方法來指導(dǎo)學(xué)生的思考，讓學(xué)生對絕對值概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法不斷地得到領(lǐng)悟.

又如，“一元二次方程”這一章，化歸思想是本章的主導(dǎo)思想.一元二次方程化歸為一元一次方程來解，無理方程化歸為有理方程來解，分式方程化歸為整式方程來解，高次方程化歸為一元一次方程或一元二次方程來解，二元二次方程組化歸為一元二次方程或二元一次方程組來解.還有整體思想，根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用就體現(xiàn)了整體思想. 這章還滲透了配方法、消元法、降次法、換元法等數(shù)學(xué)方法.教師對教材中數(shù)學(xué)思想方法理解的深度和廣度，直接影響著教學(xué)方法的設(shè)計，決定著教學(xué)的成敗，所以我們必須把研究教材放在第一位，全面把握教材，理解教材背后蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，以制訂出良好的教學(xué)策略.

二、細化教學(xué)過程，有意識地落實數(shù)學(xué)思想方法

1.在數(shù)學(xué)概念、定理的教學(xué)中，有意識地落實數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念、定理本身就蘊含者數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)時要有意識地落實.所謂有意識地進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，就是對數(shù)學(xué)概念、定理教學(xué)的過程進行精心設(shè)計，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念、定理中的數(shù)學(xué)家的觀察、試驗、歸納、概括、邏輯推理與證明等思維活動打開，并設(shè)計一定的載體（如教學(xué)情境、教師講解、學(xué)生探究和反思、變式訓(xùn)練等），用以展開這些數(shù)學(xué)思維活動，從而使數(shù)學(xué)的思想方法、思維方法及研究方法得以滲透和提煉，充分地向?qū)W生展現(xiàn)如何思考的過程，使學(xué)生領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法.

例如，在教學(xué)“圓周角”一節(jié)時，教師有意識地設(shè)置下面的問題情境，來滲透數(shù)學(xué)思想方法.

問題1：請你畫出同一條弧對應(yīng)的圓心角及圓周角的基本圖形.

設(shè)計意圖：訓(xùn)練學(xué)生畫圖能力，滲透分類的思考方法，讓學(xué)生通過畫圖（如圖1、圖2、圖3）觀察到：一條弧對應(yīng)一個圓心角，但一條弧對應(yīng)著無數(shù)個圓周角，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力.

問題2：一條弧所對的圓心角與它所對的圓周角有什么大小關(guān)系？

設(shè)計意圖； 讓學(xué)生動手測量、觀察，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，并得出猜想：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想的數(shù)學(xué)思維方法.

問題3：根據(jù)圖1，請說一說你的思路：如何證明上面得到的猜想.

問題4，對于圖2、圖3的情況，請你獨立證明.證明后與同伴交流.

設(shè)計意圖； 有意識地滲透轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想方法.

事實上，中學(xué)數(shù)學(xué)概念、定理在教科書中往往是在抽象意識、化歸意識、分類、一般化思想指導(dǎo)下設(shè)計的，教學(xué)時，要把這些數(shù)學(xué)思想方法的精神實質(zhì)傳遞給學(xué)生，讓學(xué)生在探索思考的過程中獲得對數(shù)學(xué)思想方法的體驗和領(lǐng)悟，進而形成運用這些數(shù)學(xué)思想方法進行思考的意識和習(xí)慣.

2.重視歸納總結(jié)，落實數(shù)學(xué)思想方法的概括和提煉

數(shù)學(xué)思想來源于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本方法，又高于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本方法，它指導(dǎo)知識與方法的運用，能使知識向更深更高層次發(fā)展. 在數(shù)學(xué)課上，由于能力，心理發(fā)展的限制，學(xué)生往往只注意了數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識的觀點，以及由此產(chǎn)生的解決問題的方法與策略.即使有所覺察，也是處于“朦朦朧朧”，“似有所悟”的境界.所以在反復(fù)滲透數(shù)學(xué)思想方法的同時，要引導(dǎo)學(xué)生進行對數(shù)學(xué)思想方法進行歸納總結(jié).例如，涉及比較大小的問題，可這樣提問：“到今天為止，比較兩個數(shù)的大小或兩個代數(shù)式的大小，你會那些方法了？”來引導(dǎo)學(xué)生進行歸納總結(jié).在課堂小結(jié)中，既要讓學(xué)生小結(jié)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與技能，又要讓學(xué)生小結(jié)基礎(chǔ)知識與技能背后蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.例如，“同底數(shù)冪的乘法（1）”這節(jié)課的小結(jié)可這樣設(shè)計：今天我們發(fā)現(xiàn)、歸納運用了一個新的法則，請同學(xué)們思考：

（1）法則的內(nèi)容是什么？

（2）我們是怎樣發(fā)現(xiàn)和歸納這個法則的（從特殊到一般、觀察歸納發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)思想方法）？

（3）在運用法則過程中要注意什么？

通過概括和提煉，使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解由“朦朦朧朧”到逐漸明朗.

3.突出數(shù)學(xué)思想方法在解題教學(xué)中的指導(dǎo)與統(tǒng)攝

1.解題教學(xué)，不是搞題型訓(xùn)練，更不是搞題海戰(zhàn)術(shù)，它的正確含義是要通過解題和反思活動，在解題的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納解題方法，并上升到思想的高度. 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法一般來說可分以下三個階段：模仿形式階段；初步應(yīng)用階段；自覺應(yīng)用階段.

在模仿階段，教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生進行總結(jié).如學(xué)生開始學(xué)習(xí)用換元法解分式方程時，對換元法的理解是按老師要求：設(shè)未知數(shù)，換元，解換元后的方程等解題步驟，這些解題步驟教師要引導(dǎo)學(xué)生進行總結(jié).此時，學(xué)生是把換元法當(dāng)作解題步驟來記憶，而未能體會出換元思想是數(shù)學(xué)中常用的思想方法.

在初步應(yīng)用階段，教師應(yīng)設(shè)計變式訓(xùn)練，有意識地引導(dǎo)學(xué)生運用和反思數(shù)學(xué)思想方法.讓學(xué)生慢慢理解解題過程中所使用的探索方法和策略，并會概括總結(jié)出來.如換元法解分式方程，由題目注明要求用換元法解分式方程，到題目沒有注明換元法時，學(xué)生能主動地用換元法解方程.這說明學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的認識已經(jīng)比較明朗.能夠初步應(yīng)用.

隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法有深入的理解與應(yīng)用，學(xué)生能依據(jù)題意，恰當(dāng)運用某種思想方法進行探索，以求得問題的解決.

例如，對于解下列關(guān)于x的方程：

=5，解出y后再求x，那么說明學(xué)生能主動根據(jù)方程特點自覺地運用換元的方法解無理方程，其換元的方法也已上升到了思想的高度.

事實上，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，是不可能一步到位的，應(yīng)有一個相應(yīng)的循序漸進，由淺入深和循環(huán)反復(fù)的過程.

2.充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想與轉(zhuǎn)化功能，突出數(shù)學(xué)思想方法對解題的統(tǒng)攝與引領(lǐng)作用.

例如，對“簡單的二元二次方程組的教學(xué)”，教師在講每一道例題時，要從總體上把握住消元和降次這兩種數(shù)學(xué)方法，將其確立為解這類題的指導(dǎo)思想，并由此設(shè)計教學(xué)方法，促使學(xué)生明白，什么情況下可以考慮用消元法，如何運用消元的方法（代入、加減），什么情況下可以考慮用降次的方法，如何運用降次的方法（因式分解），這樣，學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法這一層次上，就能比較全面和確切地把握解二元二次方程組的解法.

又如，比較 |a|+|b|與|a+b|的大小.

解這道題要分析數(shù)a，b，a+b的符號，如按常規(guī)仍將a，b分別劃分為正數(shù)、負數(shù)和零，那么問題就有九種可能情況，顯然很繁雜，但如果引導(dǎo)學(xué)生將a，b的符號分為“同號”、“異號”、“至少一個為零”，那么問題就只有三種可能.由此，滲透分類思想的本質(zhì)屬性，使學(xué)生領(lǐng)悟到分類思想方法的重要作用.

結(jié)束語：數(shù)學(xué)思想方法的形成絕不是一朝一夕可以實現(xiàn)的，必須要日積月累，長期滲透才能逐漸為學(xué)生所掌握.學(xué)生通過對數(shù)學(xué)思想方法的反復(fù)學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟，對數(shù)學(xué)思想方法的認識不斷提高，可以逐漸內(nèi)化為自己的行動方式，這時就可以使他們對自己的學(xué)習(xí)過程、解決問題的過程以及解題時所采用的數(shù)學(xué)方法的合理性等進行自覺的、及時的調(diào)控.一旦學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法具備了這樣的水平，我們就可以說學(xué)生的思考達到了策略水平.

【參考文獻】

邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想方法[J].上海：上海教育出版社，2009.