在排列組合教學中發(fā)展學生的抽象思維能力和邏輯思維能力

【摘要】排列組合在中學數(shù)學教學內容中具有相對的獨立性，是一種思維方式較為獨特的教學內容，在教學中可以很好地培養(yǎng)學生有程序地思考問題的習慣，體會反向思維、歸納、轉化、分類等數(shù)學思想，認識數(shù)學與日常生活的緊密聯(lián)系，敢于大膽猜測猜想.

【關鍵詞】有程序地思考問題；反向思維；歸納、轉化、分類、類比等數(shù)學思想；大膽猜測猜想；數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系

排列組合這部分內容較之中學數(shù)學的其他內容更具有抽象性，研究的是計數(shù)問題.這部分內容概念性質公式都不多，但這些概念性質公式的靈活應用都需要有較高的抽象思維能力.這就是說排列組合知識對發(fā)展學生的思維能力是一個很好的機會.

一、培養(yǎng)學生有程序地思考問題

在排列組合這部分內容中，所有的題目都包含著一種重要的數(shù)學思想，就是有程序地思考問題，久而久之，會對學生產生一種積極的促進作用，在思考問題和辦事情時，養(yǎng)成一種按程序來思考，按程序來辦事的習慣.所以我們教師應該抓住教材的這種思想讓學生逐步養(yǎng)成這種良好的習慣.

例1 某城市的電話號碼由8位數(shù)字組成，其中從左邊算起的第1位只用6或8，其余7位可以從前10個自然數(shù)0，1，…，9中任意選取.允許數(shù)字重復.試問：該城市最多可裝電話多少門？

解 裝一門電話需要指定一個電話號碼.由于第1位只用6或8，因此電話號碼可以分為兩類：第1位用6的是第一類，第1位用8的是第二類.

第一類電話號碼還剩下7位.此時指定一個電話號碼可以分成7步來完成：第一步確定第2位數(shù)字，這有10種取法；對于這每一種取法，第二步確定第3位的數(shù)字，這有10種取法（因為允許數(shù)字重復）：對于第一、二步已取好的每一對數(shù)字，第三步確定第4位數(shù)字，又有10種取法……對于第一步至第六步已取好的每一組數(shù)字，第七步確定第8位的數(shù)字，又有10種取法.因此第一類電話號碼共有

10×10×10×10×10×10×10=107（個）.

同理，第二類電話號碼也有107個.

根據分類計數(shù)原理，該城市所用的電話號碼一共有107+107=2×107，從而最多可裝電話2×107，即兩千萬門.

從例1看到，有些計數(shù)問題既要用分類計數(shù)原理，又要用分步計數(shù)原理.通常是先把計數(shù)的對象分類，然后對每一類里的對象用分步計數(shù)原理.

例2 排列數(shù)公式的推導.

從n個不同元素中取出m（m≤n）個不同元素的一個排列，可以分成m步來完成：

第一步，確定第一個位置的元素，這有n種取法；對于這一種取法，第二步，確定第二個位置的元素，這時剩下n-1個元素，因此有n-1種取法；對于第一、二個位置已經選好的每一對元素，第三步，確定第三個位置的元素，這時剩下n-2個元素，因此有n-2種取法……對于第一個至第m-1個位置已經選好的每一組元素，第m步，確定第m個位置的元素，這時剩下n-（m-1）個元素，因此有n-m+1種取法.根據分步計數(shù)原理得到，從n個不同元素中取出m（m≤n）個不同元素的所有排列的個數(shù)Pmn為：

Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），（m≤n）

此公式稱為排列數(shù)公式.右端是m個連續(xù)正整數(shù)的乘積，最大的因數(shù)是n，最小因數(shù)是n-m+1.

二、體會反向思維的方法

正難則反是我們思考問題和解決問題所采取的一種策略，好多事情和問題按常規(guī)來思考或按常規(guī)來辦時很繁或很難時，我們可以采取間接的辦法來思考來解決，反向思維是一種行之有效的方法.排列組合這部分內容就驗證了這一點.

例1 組合數(shù)公式的推導.

為了求Cmn，其中m≤n，我們用兩種不同的方法來計算Pmn：

方法1 前面已經知道

Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），（m≤n）.

方法2 從n個不同元素中取出m個不同元素的一個排列，可以分兩步來完成：第一步，從這n個元素中取出m個元素組成一組，這有Cmn種取法；對于這每一種取法，第二步，把這一組的m個元素按一定次序排成一列，這有Pmn=m！種取法.根據分步計數(shù)原理得到，從n個不同元素中取出m個不同元素的所有排列的個數(shù)為Pmn=Cmn·m！.

三、體會分類、歸納、類比、轉化等數(shù)學思想

1.分類思想

例1 在產品檢驗時，常常從產品中抽出一部分檢查.現(xiàn)從100件產品中任意抽出3件進行檢查.如果這100件產品中有5件次品，其余是合格品.

（1）抽出的3件中最多有1件次品的抽法有多少種？

（2）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？

解 （1）抽出的3件中最多有1件次品的抽法可以分成兩類：第一類抽法沒有次品，即3件都是合格品，這有C395種抽法；第二類抽法恰好有1件次品，有C15C295 種抽法.根據分類計數(shù)原理，抽出的3件中最多有1件次品的抽法的數(shù)目為C395+C15C295=160740（種）.

（2）從100件產品中抽出3件的抽法的總數(shù)為C3100，其中抽出的3件都是合格品的數(shù)目為C395.因此抽出的3件中至少有1件次品的抽法的數(shù)目為

C3100-C395=23285（種）.

2.歸納思想

例2 如排列數(shù)公式、組合數(shù)性質和二項式定理等的推導都用到了歸納思想.

3.類比思想

如何區(qū)分哪類問題是排列問題，哪類問題是組合問題？排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系？就要用到類比思想.

排列與組合的區(qū)別是：從n個不同元素取出m（m≤n）個元素的一個組合，不去區(qū)分取出的m個元素的次序，把這m個元素看成一組；而從n個不同元素取出m（m≤n）個不同元素的一個排列，要區(qū)分這m個元素的次序.關系：Pmn=Cmn·Pmm.

4.化歸思想

如二項式定理通項的應用：求二項式展開式的某一項、某一項的系數(shù)、常數(shù)項、最大項、最小項都要用到二項式定理的通項.

例3 求（x-2）10的展開式中x6的系數(shù).

解 （x-2）10的展開式的通項是

Ck10x10-k（-2）k=（-1）k2k Ck10x10-k.

于是x6的系數(shù)是

（-1）4 24C410=16×

四、體會數(shù)學與日常生活的緊密聯(lián)系

數(shù)學不僅僅是抽象的，實際上它與我們日常生活緊密聯(lián)系，它有著廣泛的應用.讓學生體會到數(shù)學其實離我們很近和我們日常生活密不可分.從而增強學生學習數(shù)學的興趣，認識到學習數(shù)學的重要性.排列組合中許多問題都與生活有關.例如電話號碼、車牌號、身份證號碼、彩票、體育比賽都與排列組合有關.

例1 某班級有50名學生，下星期六要去郊游，不強迫每同學都去，共有多少種不同的情況？

解 共有C050+C150+C250+…+C5050 =250（種）不同的情況.

例2 在二項式定理中，我們可以大膽猜想n是否可以推廣到負整數(shù)、有理數(shù)，甚至推廣到實數(shù).實際上，數(shù)學家已經做了這件事情，而且是可以做到的，但對學生來說卻是一種創(chuàng)造，一種發(fā)現(xiàn).

總之，排列組合是中學數(shù)學教材中相對獨立又相對獨特的內容，其內容比其他教材內容更具抽象性，但其蘊含著豐富的數(shù)學思想，我們正好可以利用這一點充分發(fā)揮教材的教育功能，充分發(fā)揮教材的作用，不失時機地培養(yǎng)學生的抽象思維能力和邏輯思維能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

【參考文獻】

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[3]丘維聲.數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2002.