對單點(diǎn)弦截法迭代公式收斂性定理的推廣

【摘要】單點(diǎn)弦截法迭代公式收斂性定理的條件較強(qiáng)，影響了人們對該公式的使用，本文通過研究廣義凸函數(shù)在開區(qū)間上的連續(xù)性，將求實(shí)根近似值的單點(diǎn)弦截法迭代公式收斂性定理從二階可導(dǎo)函數(shù)推廣到了一般的凸函數(shù)，從而降低了定理的條件.

【關(guān)鍵詞】弦截法；凸函數(shù)；迭代公式

【中圖分類號】O241.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【基金項目】遵義師院教研課題：“初等數(shù)論”指導(dǎo)高中專題“初等數(shù)論初步”教學(xué)研究 編號：11-22

一、引 言

弦截法又叫單點(diǎn)割線法、弦位法、正割法、弦割法等，如果實(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）f（b）<0，則f（x）在區(qū)間[a，b]上至少有一個實(shí)根.在此區(qū)間上用曲線f（x）的弦逼近函數(shù)y=f（x），弦截法的思想是用曲線y=f（x）的弦與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為方程f（x）=0的近似根[1].弦截法分為單點(diǎn)弦截法與兩點(diǎn)弦截法兩種.單點(diǎn)弦截法是在一定條件下，使用經(jīng)過同一點(diǎn)的弦來不斷逼近f（x），單點(diǎn)弦截法的迭代公式為[2]

目前，關(guān)于這個迭代公式的收斂性定理為：

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件：

1° f（a）f（b）<0；

2° f′（x）≠0，x∈[a，b]；

3° f″（x）在[a，b]上不變號；

4° x0是a，b中滿足條件f（x0）f″（x0）>0的一個，x1為另一個時，則由單點(diǎn)弦截法產(chǎn)生的迭代序列{xn}單調(diào)收斂于方程f（x）=0在[a，b]上的唯一根，且是線性收斂的.

我們經(jīng)過研究后發(fā)現(xiàn)，這個收斂性定理的條件太強(qiáng)，至少可以刪去條件2°.

二、對凸函數(shù)的說明

關(guān)于凸函數(shù)，各本書上的定義不盡相同，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《數(shù)學(xué)分析》中，有前提“y=f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)”，而人們對凸函數(shù)最廣泛的定義是：

【參考文獻(xiàn)】

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